Алгебраічны лік

Алгебраі́чны лік над полем $k$ — элемент алгебраічнага замыкання поля $k$, г. зн. корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю) з каэфіцыентамі з $k$.

Калі поле не пазначана, то маецца на ўвазе поле рацыянальных лікаў, г. зн. $k=\mathbb {Q}$, у гэтым выпадку поле алгебраічных лікаў звычайна абазначаецца $\mathbb {A}$. Поле $\mathbb {A}$ з'яўляецца падполем поля камплексных лікаў.

Гэта артыкул прысвечан іменна гэтым «рацыянальным алгебраічным лікам».

Звязаныя азначэнні

• Камплексны лік, які не з'яўляецца алгебраічным, называецца трансцэндэнтным.
• Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.
• Калі $\alpha$ — алгебраічны лік, то сярод усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якіх $\alpha$ з'яўляецца коранем, існуе адзіны мнагачлен найменшае ступені са старшым каэфіцыентам, роўным $1$. Такі мнагачлен аўтаматычна з'яўляецца непрыводным, ён называецца кананічным, ці мінімальным, мнагачленам алгебраічнага ліку $\alpha$. (Іншы раз кананічным называюць мнагачлен, які атрымліваецца з мінімальнага дамнажэннем на найменшае агульнае кратнае назоўнікаў яго каэфіцыентаў, г. зн. мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі)
  • Ступень кананічнага мнагачлена $\alpha$ называецца ступенню алгебраічнага ліку $\alpha$.
  • Іншыя карані кананічнага мнагачлена $\alpha$ называюцца спалучанымі з $\alpha$.
  • Вышынёю алгебраічнага ліку $\alpha$ называецца найбольшая з абсолютных велічынь каэфіцыентаў у непрыводным і нескарачальным мнагачлене з цэлымі каэфіцыентамі, для якога $\alpha$ з'яўляецца коранем.

Прыклады

• Рацыянальныя лікі, і толькі яны, з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі 1-й ступені.
• Уяўная адзінка $i$ і ${\sqrt {2}}$ з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі 2-й ступені. Спалучанымі да іх з'яўляюцца адпаведна $-i$ і $-{\sqrt {2}}$.
• Пры любым натуральным паказчыку $n$ лік ${\sqrt[{n}]{2}}$ з'яўляецца алгебраічным ступені $n$.

Уласцівасці

• Мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і такім чынам, мае меру нуль.
• Мноства алгебраічных лікаў шчыльнае на камплекснай плоскасці.
• Сума, рознасць, здабытак і дзель двух алгебраічных лікаў (акрамя дзялення на нуль) з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі, г. зн. мноства ўсіх алгебраічных лікаў утварае поле.
• Корань мнагачлена з алгебраічнымі каэфіцыентамі ёсць алгебраічны лік, г. зн. поле алгебраічных лікаў алгебраічна замкнута.
• Для ўсякага алгебраічнага ліку $\alpha$ існуе такое натуральнае $N$, што $N\alpha$ — цэлы алгебраічны лік.
• Алгебраічны лік $\alpha$ ступені $n$ мае $n$ розных спалучаных лікаў (уключаючы сябе).
• $\alpha$ і $\beta$ спалучаныя тады і толькі тады, калі існуе аўтамарфізм поля $\mathbb {A}$, які пераводзіць $\alpha$ ў $\beta$.
• Любы алгебраічны лік вылічымы, і такім чынам, арыфметычны.
• Парадак на мностве рэчаісных алгебраічных лікаў ізаморфны парадку на мностве рацыянальных лікаў.

Гісторыя

Упершыню алгебраічныя палі стаў разглядаць Гаус. Пры абгрунтаванні тэорыі біквадратычных вылікаў ён развіў арыфметыку цэлых гаусавых лікаў, г. зн. лікаў віду $a+bi$, дзе $a$ і $b$ — цэлыя лікі. Далей, вывучаючы тэорыю кубічных вылікаў, Якобі і Эйзенштэйн стварылі арыфметыку лікаў віду $a+b\rho$, дзе $\rho =(-1+i{\sqrt {3}})/2$ — кубічны корань з адзінкі, а $a$ і $b$ — цэлыя лікі. У 1844 годзе Ліувіль даказаў тэарэму аб немагчымасці надта добрага прыбліжэння каранёў мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі рацыянальнымі дробамі, і, як вынік, увёў фармальныя паняцці алгебраічных і трансцэндэнтных (г. зн. усіх астатніх рэчаісных) лікаў. Спробы даказаць вялікую тэарэму Ферма прывялі Кумера да вывучэння палёў дзялення круга, увядзення паняцця ідэала і стварэння элементаў тэорыі алгебраічных лікаў. У працах Дзірыхле, Кронекера, Гільберта і іншых тэорыя алгебраічных лікаў атрымала сваё далейшае развіццё. Вялікі ўклад у яе ўнеслі рускія матэматыкі Залатароў (тэорыя ідэалаў), Вараны (кубічныя ірацыянальнасці, адзінкі кубічных палёў), Маркаў (кубічнае поле), Сахоцкі (тэорыя ідэалаў) і іншыя.

Гл. таксама

• Колца перыядаў

Спасылкі

• Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.
• Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах(недаступная спасылка) // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.