Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне

У фізіцы, гравітацыйнае чырвонае зрушэнне з’яўляецца праявай эфекту змены частаты выпушчанага некаторай крыніцай святла (наогул кажучы, любых электрамагнітных хваль) па меры аддалення ад масіўных аб’ектаў, такіх як зоркі і чорныя дзіры; яно назіраецца як зрух спектральных ліній блізкіх да масіўных цел крыніц у чырвоную вобласць спектра. Святло, якое прыходзіць з абласцей з больш слабым гравітацыйным полем, адчувае гравітацыйнае сіняе зрушэнне.

Эфекты зрушэння не абмяжоўваюцца выключна электрамагнітным выпраменьваннем, а праяўляюцца ва ўсіх перыядычных працэсах — у месцах, далёкіх ад масіўнага аб’екта дэ-бройлеўскія частоты элементарных часціц (фатонаў, электронаў, пратонаў) вышэй, чым на яго паверхні, і ўсе працэсы ідуць з большай хуткасцю. Дадзены эфект з’яўляецца адной з праяў гравітацыйнага запаволення часу.

Вызначэнне

Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне прынята пазначаць сімвалам $z_{G}$ :

$z_{G}={\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\nu _{0}-\nu }{\nu }},$

дзе

$\nu$ і $\lambda$ — вымераная частата і даўжыня хвалі фатона,

$\nu _{0}$ і $\lambda _{0}$ — лабараторная частата і даўжыня хвалі фатона.

Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне было прадказана А. Эйнштэйнам (1911) пры распрацоўцы агульнай тэорыі адноснасці (АТА):

$z_{G}={\frac {V-V_{0}}{c^{2}}}={\frac {GM}{c^{2}r}}-{\frac {GM}{c^{2}R}},$

дзе

$z_{G}$ — адноснае зрушэнне спектральных ліній пад уплывам гравітацыі,

$~V=-{\frac {GM}{c^{2}R}}$  і  $~V_{0}=-{\frac {GM}{c^{2}r}}$ — значэнні гравітацыйнага патэнцыялу ў пунктах назірання і выпраменьвання адпаведна,

$G$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана;

$M$ — маса гравітуючага цела,

$c$ — скорасць святла,

$r$ — радыяльная адлегласць ад цэнтра мас цела да пункта выпраменьвання,

$R$ — радыяльная адлегласць ад цэнтра мас цела да кропкі назірання.

Для святла, выпрамененага на адлегласці $r$ ад цэнтра мас масіўнага цела і прымятага на бесканечнасці ($R=\infty$), гравітацыйнае чырвонае зрушэнне прыблізна роўна:

$z_{G}={\frac {GM}{c^{2}r}}.$

Універсальная формула для змены частаты, прыдатная ў любой метрычнай тэорыі гравітацыі ва ўмовах прымянімасці прыбліжэння геаметрычнай оптыкі (эйканала):

${\frac {\nu _{r}}{\nu _{e}}}={\frac {s_{e}}{s_{r}}}={\frac {{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {k}}_{r}}{{\vec {u}}_{e}\cdot {\vec {k}}_{e}}},$

дзе

$\nu _{r}$ і $\nu _{e}$ — частоты прынятага (recieved) і выпрамененага (emitted) сігналу, адпаведна,

$s_{r}$ і $s_{e}$ — уласныя часы ваганняў,

$u_{r}$ і $u_{e}$ — 4-скорасці прыёмніка і крыніцы, а

$k_{r}$ і $k_{e}$ ўяўляюць сабой датычны святлападобны вектар (хвалевы 4-вектар сігналу), паралельна перанесены ўздоўж траекторыі распаўсюджвання сігналу.

Гісторыя

Аслабленне энергіі святла, выпрамененага зоркамі з моцнай гравітацыяй, было прадказана Джонам Мітчэлам яшчэ ў 1783 годзе, на аснове карпускулярнага ўяўлення пра святло, якога прытрымліваўся Ісаак Ньютан. Уплыў гравітацыі на свет даследавалі ў свой час П’ер-Сімон Лаплас і Ёхан Георг ван Зольднер (1801) задоўга да таго, як Альберт Эйнштэйн у артыкуле 1911 пра святло і гравітацыю вывеў свой варыянт формулы для гэтага эфекту.

Філіп Ленард абвінаваціў Эйнштэйна ў плагіяце за тое, што ён не працытаваў больш раннюю працу Зольднера — аднак, прымаючы пад увагу, наколькі гэта тэма была забыта і закінута да таго моманту, як Эйнштэйн вярнуў яе да жыцця, практычна не падлягае сумненню, што Эйнштэйн не быў знаёмы з папярэднімі працамі. У любым выпадку, Эйнштэйн пайшоў крыху далей сваіх папярэднікаў і паказаў, што ключавым следствам з гравітацыйнага чырвонага зрушэння з’яўляецца гравітацыйнае запаволенне часу. Гэта была вельмі арыгінальная і рэвалюцыйная ідэя. Эйнштэйн упершыню выказаў здагадку, што страту энергіі фатонам пры пераходзе ў вобласць з больш высокім гравітацыйным патэнцыялам можна растлумачыць праз рознасць ходу часу ў пунктах прыёму і перадачы сігналу. Энергія кванта электрамагнітнага выпраменьвання прапарцыянальная яго частаце паводле формулы $E=\hbar \omega$, дзе $\hbar$ — прыведзеная пастаянная Планка. Такім чынам, калі час для прыёмніка і перадатчыка цячэ з рознай скорасцю, назіраная частата выпраменьвання, а разам з ёй і энергія асобных квантаў, таксама будзе рознай для прыёмніка і перадатчыка. У 2010 годзе фізікам удалося вымераць эфект запаволення ў лабараторных умовах.

Важныя моманты

• Для назірання гравітацыйнага чырвонага зрушэння прыёмнік павінен знаходзіцца ў месцы з больш высокім гравітацыйным патэнцыялам, чым крыніца (бо патэнцыял — велічыня адмоўная).

• Існаванне гравітацыйнага чырвонага зрушэння пацвярджаецца шматлікімі эксперыментамі, якія год ад года праводзяцца ў розных універсітэтах і лабараторыях па ўсім свеце.

• Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне прадказваецца не толькі ў тэорыі адноснасці. Іншыя тэорыі гравітацыі таксама прадказваюць гравітацыйнае чырвонае зрушэнне, хоць тлумачэнні могуць адрознівацца.

• Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне праяўляецца, але не абмяжоўваецца Шварцшыльдаўскім рашэннем ураўненняў агульнай тэорыі адноснасці — пры гэтым маса $M$, згаданая раней, можа быць масай заверчанага ці зараджанага цела.

Эксперыментальнае пацверджанне

Эксперымент Паўнда і Ребкі 1960 прадэманстраваў існаванне гравітацыйнага чырвонага зрушэння спектральных ліній. Эксперымент быў ажыццёўлены ў вежы Лайманаўскай лабараторыі фізікі Гарвардскага універсітэта з выкарыстаннем эфекту Мёсбаўэра; крыніца і паглынальнік гама-квантаў (ядры жалеза-57) знаходзіліся адно ад аднаго на адлегласці 22,5 м па вертыкалі ў гравітацыйным полі Зямлі. Адносны зрух частаты ў гэтых умовах складаў 2,57×10⁻¹⁵.

Прымяненне

Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне актыўна ўжываецца ў астрафізіцы. Рэлятывісцкая папраўка на гравітацыйнае чырвонае зрушэнне ўводзіцца ў бартавыя гадзіннікі спадарожнікаў глабальных сістэм пазіцыянавання GPS і ГЛОНАСС.

Сувязь з запаволеннем часу

Гравітацыйнае запаволенне часу — фізічная з’ява, якая заключаецца ў змене тэмпу ходу часу (і, адпаведна, гадзінніка) у гравітацыйным патэнцыяле. Асноўная складанасць ва ўспрыманні гэтай акалічнасці заключаецца ў тым, што ў тэорыях гравітацыі часавая каардыната звычайна не супадае з фізічным часам, які вымяраецца стандартным атамным гадзіннікам.

Пры выкарыстанні формул агульнай тэорыі адноснасці для разліку змены энергіі і частаты сігналу (пры ўмове, што мы не ўлічваем эфекты залежнасці ад траекторыі, выкліканыя, напрыклад, захапленнем прасторы вакол чорнай дзіры) гравітацыйнае чырвонае зрушэнне ў дакладнасці адваротнае велічыні фіялетавага зрушэння. Такім чынам назіраемае змяненне частаты адпавядае адноснай рознасці скорасці ходу гадзіннікаў у пунктах прыёму і перадачы.

У той час як гравітацыйнае чырвонае зрушэнне вымярае назіраны эфект, гравітацыйнае запаволенне часу кажа, што можна заключыць на падставе вынікаў назірання. Гэта значыць, кажучы іншымі словамі: вымяраючы адзінае чырвонае/фіялетавае зрушэнне для любога спосабу пасылкі сігналаў «адтуль» — «сюды», мы прыходзім да высновы, што аднолькавы з нашым гадзіннік там ідзе «неяк не так», хутчэй або павольней.

Для статычнага гравітацыйнага поля гравітацыйнае чырвонае зрушэнне можна цалкам растлумачыць рознасцю тэмпу ходу часу ў пунктах з розным гравітацыйным патэнцыялам. Працытуем Вольфганга Паўлі: «У выпадку статычнага гравітацыйнага поля заўсёды можна так выбраць часавую каардынату, каб велічыні g_ik ад яе не залежалі. Тады лік хваль светлавога прамяня паміж дзвюма кропкамі P1 і P2 таксама будзе незалежным ад часу і, такім чынам, частата святла ў прамяні, вымераная ў зададзенай шкале часу, будзе аднолькавай у P1 і P2 і, такім чынам, незалежнай ад месца назірання.»

Аднак згодна з сучаснай метралогіяй час вызначаюць лакальна для адвольнай сусветнай лініі назіральніка (у прыватным выпадку — для адной і той жа кропкі прасторы з цягам часу) праз тоесны атамны гадзіннік (гл. азначэнне секунды). Пры такім азначэнні часу тэмп ходу гадзінніка строга зададзены і будзе адрознівацца ад лініі да лініі (ад кропкі да кропкі), у выніку чаго наяўная рознасць частот, напрыклад, у вопыце Паўнда — Рэбкі, ці чырвонае зрушэнне спектральных ліній, выпрамененых з паверхні Сонца або нейтронных зорак, знаходзіць сваё тлумачэнне ў рознасці тэмпу ходу фізічнага часу (вымеранага стандартным атамным гадзіннікам) паміж кропкамі выпраменьвання і прыёму. На самай справе, паколькі скорасць святла лічыцца пастаяннай велічынёй, то даўжыня хвалі цвёрда звязана з частатой $\lambda =cT=c/\nu$, таму змяненне даўжыні хвалі раўназначна змене частаты і назад.

Калі ў некаторай кропцы выпраменьваюцца, напрыклад, сферычныя ўспышкі святла, то ў любым месцы ў вобласці з гравітацыйным полем каардынатныя «часавыя» інтэрвалы паміж успышкамі можна зрабіць аднолькавымі — шляхам адпаведнага выбару часавай каардынаты. Рэальная ж змена вымеранага часавага інтэрвалу вызначаецца рознасцю тэмпу ходу стандартных тоесных гадзіннікаў паміж сусветнымі лініямі выпраменьвання і прыёму. Пры гэтым у статычным выпадку абсалютна ўсё роўна, чым канкрэтна вядзецца перадача сігналаў: светлавымі ўспышкамі, гарбамі электрамагнітных хваль, акустычнымі сігналамі, кулямі або бандэролямі па пошце — усе спосабы перадачы будуць падвяргацца абсалютна аднолькаваму «чырвонаму/фіялетаваму зрушэнню».

У нестацыянарнам жа выпадку наогул дакладным і інварыянтным чынам аддзяліць «гравітацыйнае» зрушэнне ад «доплераўскага» немагчыма, як напрыклад, у выпадку пашырэння Сусвету. Гэтыя эфекты — адной прыроды, і апісваюцца агульнай тэорыяй адноснасці адзіным чынам. Некаторае ўскладненне з’явы чырвонага зрушэння для электрамагнітнага выпраменьвання ўзнікае пры ўліку нетрывіяльнага распаўсюджвання выпраменьвання ў гравітацыйным полі (эфекты дынамічнай змены геаметрыі, адхіленняў ад геаметрычнай оптыкі, існавання гравітацыйнага лінзавання, гравімагнетызму, захаплення прасторы і гэтак далей, якія робяць велічыню зрушэння залежнаю ад траекторыі распаўсюджвання святла), але гэтыя тонкасці не павінны зацяняць зыходнай простай ідэі: скорасць ходу гадзіннікаў залежыць ад іх становішча ў прасторы і часе.

У ньютанаўскай механіцы тлумачэнне гравітацыйнага чырвонага зрушэння прынцыпова магчыма — зноў-такі праз увядзенне ўплыву гравітацыйнага патэнцыялу на ход гадзіннікаў, але гэта вельмі складана і непразрыста з канцэптуальнага пункту гледжання. Распаўсюджаны спосаб вывядзення чырвонага зрушэння як пераходу кінетычнай энергіі святла $E=\hbar \omega$ у патэнцыяльную у самой аснове апелюе да тэорыі адноснасці і не можа разглядацца як правільны. У эйнштэйнаўскай тэорыі гравітацыі чырвонае зрушэнне тлумачыцца самім гравітацыйным патэнцыялам: гэта не што іншае, як праява геаметрыі прасторы-часу, звязанай з адноснасцю тэмпу ходу фізічнага часу.

Эўрыстычны вывад гравітацыйнага чырвонага зрушэння з метрычных уласцівасцей прасторы-часу

Гравітацыйнае чырвонае зрушэнне можна атрымаць, выкарыстоўваючы закон складання скарасцей.

Разгледзім ўстаноўку, якая складаецца з крыніцы сігналу (да прыкладу, куль) і прыёмніка. Адлегласць паміж імі, вымераную ў нерухомай сістэме адліку, абазначым $l$. Пры гэтым ўстаноўка рухаецца ў пустаце з пастаянным паскарэннем ${\vec {a}}$ адносна нерухомай сістэмы адліку, што, згодна з прынцыпам эквівалентнасці, раўназначна размяшчэнню ўстаноўкі ў аднароднае гравітацыйнае поле.

Далей, уставім у прыёмнік і крыніцу аднолькавыя гадзіннікі $\tau _{out}=\tau _{in}$, і папросім назіральніка, які знаходзіцца ў пункце «прыёмніка», параўнаць іх ход. Свой уласны час $\tau _{in}$ ён памерае непасрэдна, а каб вымераць ход часу ў пункце «крыніцы», ён будзе вымяраць частату сігналу, які прыходзіць. Скорасць кулі адносна «крыніцы» пазначым як $w$, скорасць самой крыніцы ў момант адпраўкі сігналу $v.$ Тады, карыстаючыся законам складання скарасцей, атрымліваем скорасць кулі $u$ ў нерухомай сістэме:

$u={\frac {w+v}{1+wv/c^{2}}}={\frac {c^{2}(w+v)}{c^{2}+wv}}.\qquad (1)$

На пераадоленне адлегласці $l$ сігнал расходуе час $t,$, а прыёмнік за гэты час перамесціцца на $vt+at^{2}/2.$ Адсюль атрымліваем ураўненне:

$ut=l+vt+at^{2}/2,$

рашыўшы якое адносна $t,$ атрымаем:

$t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1-{\frac {2al}{(u-v)^{2}}}\right)^{-1/2}\right]$

або прыбліжана:

$t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1+{\frac {la}{(u-v)^{2}}}+\cdots \right)\right].$

Такім чынам, прыходзім да двух рашэнняў:

$t_{1}=-{\frac {l}{u-v}},\qquad t_{2}=2{\frac {u-v}{a}}+{\frac {l}{u-v}}.$

Відавочна, што першае рашэнне ў дадзеным выпадку — лішняе.

Падставім $u$ з формулы (1) у формулу для $t$ і пры гэтым абмяжуемся $w$ і $v$ настолькі малымі, каб мы маглі адкінуць малыя члены парадку $w^{2}$ і $v^{2}:$

$t={\frac {l(c^{2}+wv)}{wc^{2}}}=l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right).$

Скорасць устаноўкі за час $\tau$, што раздзяляе адпраўку двух паслядоўных сігналаў, павялічыцца на $a\tau$ і стане роўнай $v+a\tau$. Таму розніца ў часе праходжання двух паслядоўных сігналаў складзе:

$\Delta t=\Delta \tau =l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v+a\tau _{0}}{c^{2}}}\right)-l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right)={\frac {al\tau _{0}}{c^{2}}}$

і ў выніку

${\frac {\Delta \tau }{\tau _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \tau _{1}=\tau _{0}\left(1+{\frac {al}{c^{2}}}\right).$

Змяненні $l$ і $\tau$ (функцыі скорасці) мы не ўлічвалі, як велічыні адпаведнага парадку маласці. «… Такім чынам, гадзіннік ідзе павольней, калі ён устаноўлены паблізу важкіх мас. Адсюль вынікае, што спектральныя лініі святла, якое трапляе да нас з паверхні вялікіх зорак, павінны зрушыцца да чырвонага канца спектра», пісаў Эйнштэйн.

Для частаты атрымаем:

${\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \nu _{1}=\nu _{0}\left(1-{\frac {al}{c^{2}}}\right).$

Пазначыўшы рознасць гравітацыйных патэнцыялаў на паверхні зоркі і паверхні Зямлі як $\Delta \Phi =-al,$ атрымаем:

$\tau _{1}=\tau _{0}\left(1-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right);\qquad \nu _{1}=\nu _{0}\left(1+{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right).$

Гэтыя выразы былі выведзеныя Эйнштэйнам ў 1907 годзе для выпадку $\Delta \Phi /c^{2}\ll 1$.

Спасылкі

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. «Гравитация, фотоны, часы». УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Р. В. Паунд, «О весе фотонов». УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.