Група Лі

Групай Лі над полем $K$ ($K=\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$) называецца група $G$, забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) мнагастайнасці над $K$ такім чынам, што адлюстраванні $\operatorname {mul}$ і $\operatorname {inv}$:

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

$\operatorname {mul} :G\times G\to G;\quad \operatorname {mul} (x,y)=xy,$

$\operatorname {inv} :G\to G;\quad \operatorname {inv} x=x^{-1}$

з'яўляюцца гладкімі (у выпадку поля $\mathbb {C}$ патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).

Усякая комплексная $n$-мерная група Лі з'яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці $2n$. Усякая камплексная група Лі па азначэнню з'яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны атлас, у якім адлюстраванні $\operatorname {mul}$ і $\operatorname {inv}$ запісваюцца аналітычнымі функцыямі.

Групы былі названы ў гонар Софуса Лі. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных сіметрый. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з'яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі. Яны таксама іграюць значную ролю ў геаметрыі, фізіцы і матэматычным аналізе.

Тыпы груп Лі

Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях (прастаце, паўпрастаце, вырашальнасці, нільпатэнтнасці, абелевасці), а таксама па тапалагічных уласцівасцях (звязнасці, адназвязнасці і кампактнасці).

Падгрупы Лі

Падгрупа $H$ групы Лі $G$ называецца яе падгрупай Лі, калі яна з'яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці $G$, гэта значыць знойдзецца $m>0$ такое, што $H$ задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта $p$ сістэмай з $k$ функцый, якая мае ў $p$ ранг $m$. Не ўсякая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду $(e^{ix},e^{i\pi x})$ у торы $\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, унітарныя матрыцы ў групе абарачальных камплексных матрыц $2\times 2$.

Хай $H$ — падгрупа Лі групы Лі $G$. Мноства $G/H$ сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі $H$ — нармальная падгрупа, то фактаргруппа будзе групай Лі.

Дзеянні груп Лі

Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне дзеянняў груп Лі на розных мнагастайнасцях з'яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены гомамарфізм груп a: G → Diff M, дзе Diff M — група дыфеамарфізмаў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне a_g мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз a_g(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.

Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца l, r и a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншым прыкладам дзеяння з'яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N,

Дзеянне групы Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная G / st x, дзе st x — стабілізатар адвольнага пункта.

Алгебра Лі групы Лі

Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую алгебру Лі, якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.

Вектарнае поле на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць

V(l_g^* f) = l_g^* (Vf) для ўсіх g з G, і любой дыферэнцавальнай функцыі f.

Раўназначна,

dl_g (V_x) = V_gx для ўсіх x, g з G.

Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле V на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем V_e ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар V у датычнай прасторы G_e да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.

Дужка Лі [X,Y] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму G_e з'яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца алгебрай Лі групы G. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.

Гл. таксама

• Алгебра Лі
• Унітарная група
• Простая група Лі

Літаратура

• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995.
• Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ. 1988.
• Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли, «Наука», 1979.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с.

Спасылкі

• Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969 (djvu)