Дзэта-функцыя Рымана

Дзэта-функцыя Рымана — функцыя $\displaystyle \zeta (s)$ камплекснай зменнай $s=\sigma +it$, якую пры $\sigma >1$ вызначаюць з дапамогай рада Дзірыхле:

Дзэта-функцыя Рымана
Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці
Названа ад	Георг Фрыдрых Бернхард Рыман і Леанард Эйлер
Вывучаецца ў	аналітычная тэорыя лікаў[d]
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	$\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}},\operatorname {Re} z>1$
Пазначэнне ў формуле	$\zeta (z)$, $\operatorname {Re} z$, $\sum _{n=1}^{\infty }$ і $n^{z}$
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Якасны графік дзэта-функцыі Рымана на рэчаіснай восі. Злева ад нуля значэнні функцыі павялічаны ў 100 разоў для нагляднасці

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,$

дзе $\displaystyle s\in \mathbb {C}$.

У зададзенай вобласці $\sigma >1~(\left\{s:\operatorname {Re} s>1\right\})$ гэты рад збягаецца, з’яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

Дзэта-функцыя Рымана для рэчаісных s > 1

Тоеснасць Эйлера

У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера)

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$ ,

дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках p.

Чаму гэта так  

У гэтым доказе для пошуку простых лікаў выкарыстоўваецца рэшата Эратасфена.

Доказ грунтуецца на простых алгебраічных пераўтварэннях, для разумення якіх дастаткова школьных ведаў. Упершыню іменна гэтым спосабам Эйлер вывеў формулу. Наступныя пераўтварэнні па сутнасці з'яўляюцца запісам ідэі Эратасфенавага рэшата:

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots$

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots$

Адымаючы другое з першага, выдаляем элементы з дзельнікам 2:

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots$

Паўтараем для наступнага простага ліку, для тройкі:

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots$

Ізноў адымаем, атрымліваем:

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots$

дзе выдалены ўсе элементы з дзельнікамі 2 і/ці 3.

Такім чынам, правая частка прасейваецца праз рэшата. Паўтараючы гэта для ўсіх простых лікаў (іх бесканечна многа), атрымліваем:

$\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1$

Падзелім абедзве часткі на ўсё, акрамя $\zeta (s)$, атрымаем:

$\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}$

Гэта можна запісаць карацей як бесканечны здабытак па ўсіх простых p:

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

Каб зрабіць доказ строгім, неабходна толькі дадаць умову $\quad \Re (s)>1$. Пры гэтым рад Дзірыхле збягаецца абсалютна, і ўсе вышэйпрыведзеныя пераўтварэнні з бесканечнымі сумамі і здабыткамі становяцца "законнымі".

Гэта роўнасць з’яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

Уласцівасці

• Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:

  $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m},$

  дзе $\displaystyle B_{2m}$ — лік Бернулі.

  • Напрыклад, $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}.$
• Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны.
• Пры $\operatorname {Re} s>1$
  • ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},$

  дзе $\displaystyle \mu (n)$ — функцыя Мёбіуса

  • $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}},$

  дзе $\displaystyle \tau (n)$ — лік дзельнікаў ліку $\displaystyle n$

  • ${\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}},$

  дзе $\displaystyle \nu (n)$ — лік простых дзельнікаў ліку $\displaystyle n$

• $\displaystyle \zeta (s)$ мае ў пункце $\displaystyle s=1$ просты полюс з вылікам, роўным 1.
• Дзэта-функцыя пры $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ задавальняе ўраўненне:

  $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),$

  дзе $\displaystyle \Gamma (z)$ — гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана.

• Для так званай ксі-функцыі Рымана

  $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),$

  уведзенай Рыманам для даследавання $\displaystyle \zeta (s)$, гэта ўраўненне прымае выгляд:

  $\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s).$

Нулі дзэта-функцыі

Асноўны артыкул: Гіпотэза Рымана

Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці $\operatorname {Re} s<0$, функцыя $\zeta (s)$ мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:

$0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots .$

Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей, $\zeta (s)\neq 0$ пры рэчаісных $s\in (0,1)$. Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$ і ляжаць у паласе $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$, якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$.

Абагульненні

Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб’яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

• Дзэта-функцыя Гурвіца:

  $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).

• Полілагарыфм:

  $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.

• Дзэта-функцыя Лерха:

  $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

• Квантавы аналаг (q-аналаг).

Гісторыя

Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак. Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў. Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

Спасылкі

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (нявызн.). MathWorld.