Кампазіцыя функцый

У матэматыцы кампазіцыя функцый, ці суперпазіцыя функцый — гэта прымяненне адной функцыі к выніку другой.

g ∘ f , кампазіцыя f і g. Напрыклад, (g ∘ f )(c) = #.

Кампазіцыя функцый $G$ і $F$ звычайна абазначаецца $G\circ F$, што абазначае прымяненне функцыі $G$ к выніку функцыі $F$.

Азначэнне

Няхай $F:X\to Y$ і $G:F(X)\subset Y\to Z$ — дзве функцыі. Тады іх кампазіцыяй называецца функцыя $G\circ F:X\to Z$, вызначаная роўнасцю:

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\quad x\in X.$

Звязаныя азначэнні

• Кампазіцыю дзвюх функцый могуць абазначаць тэрмінам «складаная функцыя». Тым не менш, ён часцей ужываецца ў сітуацыі, калі на ўваход функцыі некалькіх зменных падаецца адразу некалькі функцый ад аднае ці некалькіх зыходных зменных. Напрыклад, складанай можна назваць функцыю $G$ віду

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

таму што яна ўяўляе сабой функцыю $F$, якой на ўваход падаюцца вынікі функцый $u$ і $v$.

Уласцівасці кампазіцыі

• Кампазіцыя асацыятыўная:

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Калі $F=\mathrm {id} _{X}$ — тоеснае адлюстраванне на $X$, г.зн.

  $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\quad \forall x\in X,$

то

$G\circ \mathrm {id} _{X}=G.$

• Калі $G=\mathrm {id} _{Y}$ — тоеснае адлюстраванне на $Y$, г.зн.

  $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\quad \forall y\in Y,$

то

$\mathrm {id} _{Y}\circ F=F.$

• Разгледзім прастору ўсіх біекцый мноства $X$ на сябе і абазначым яе ${\mathcal {F}}_{X}$. Г.зн. калі $F\in {\mathcal {F}}_{X}$, то $F:X\to X$ — біекцыя. Тады
  • кампазіцыя функцый з ${\mathcal {F}}_{X}$ з'яўляецца бінарнай аперацыяй;
  • а $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ — групай;
  • $\mathrm {id} _{X}$ з'яўляецца нейтральным элементам гэтай групы;
  • адваротным да элемента $F\in {\mathcal {F}}_{X}$ з'яўляецца $F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}$ — адваротная функцыя.
  • Група $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$, увогуле кажучы, не камутатыўная, г.зн.

    $F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}.$

Дадатковыя ўласцівасці

• Кампазіцыя непарыўных функцый непарыўная.

Хай $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — тапалагічныя прасторы. Хай $f:X\to Y$ і $g:Y\to Z$ — дзве функцыі, $y_{0}=f(x_{0}),\;f\in C(x_{0}),\;g\in C(y_{0})$. Тады $g\circ f\in C(x_{0})$.

• Кампазіцыя дыферэнцыруемых функцый дыферэнцыруемая.

Хай $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y_{0}=f(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тады $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, і

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0}).$

Літаратура

• Сложная функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — Т. 4. — М.: Советская энциклопедия, 1984. Столбцы 1214—1216.