Неўласцівы інтэграл

У матэматычным аналізе, неўласці́вы інтэгра́л, ці няўла́сны інтэгра́л — інтэграл ад неабмежаванай функцыі ці па неабмежаванаму мноству. З'яўляецца пашырэннем паняцця Рыманава інтэграла і абазначаецца як звычайны вызначаны інтэграл.

Неўласцівы інтэграл першага роду: інтэграл трэба вызначыць на неабмежаванай вобласці.

Неўласцівы інтэграл другога роду: падынтэгральная функцыя можа быць неабмежаваная на вобласці інтэгравання.

Раздзелы ў матэматычным аналізе

Фундаментальная тэарэма Ліміт функцыі Непарыўнасць Тэарэма Лагранжа Дыферэнцыяльнае злічэнне Дыферэнцыял Вытворная Тэарэма Тэйлара Табліца вытворных Дыферэнцыяванне складанай функцыі Інтэгральнае злічэнне  Інтэграл Табліца інтэгралаў Неўласцівы інтэграл Метады інтэгравання Вектарны аналіз  Градыент Дывергенцыя Віхор Аператар Лапласа Тэарэма Грына Тэарэма Стокса Формула Астраградскага Функцыі некалькіх зменных  Частковая вытворная Кратны інтэграл Крывалінейныя інтэгралы Паверхневыя інтэгралы Матрыца Якобі

Неўласцівы інтэграл вызначаецца як ліміт паслядоўнасці інтэгралаў Рымана пры імкненні іх меж інтэгравання (адной ці абедзвюх) да бесканечнасці ці асаблівых пунктаў падынтэгральнай функцыі. Такім чынам, напрыклад, калі правая мяжа інтэгравання — дадатная бесканечнасць:

$\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to +\infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx;$

ці ў выпадку, калі функцыя неабмежаваная ў наваколлі левай мяжы інтэгравання:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to a+0}\int \limits _{c}^{b}f(x)\,dx.$

Неўласцівыя інтэгралы па неабмежаваных абласцях называюцца неўласцівымі інтэграламі першага роду. Напрыклад, такія інтэгралы:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}.$

Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый называюцца неўласцівымі інтэграламі другога роду. Напрыклад,

$\int \limits _{5}^{10}{\frac {dx}{\sqrt {x-5}}},\qquad \int \limits _{0}^{1}\ln x\,dx.$

Гл. таксама

• Першаісная
• Вызначаны інтэграл
• Інтэграл Рымана

Літаратура

• Кудрявцев Л. Д. Несобственный интеграл // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.