Перкаляцыя

У фізіцы і хіміі перкаляцыяй (ад лац.: percōlāre — прасочвацца, працякаць) называецца з’ява праходжання або не праходжання вадкасцей праз порыстыя матэрыялы, электрычнасці праз сумесь часціц, якія праводзяць і не праводзяць, і іншыя падобныя працэсы. Тэорыя перкаляцыі знаходзіць прымяненне ў апісанні разнастайных сістэм і з’яў, у тым ліку такіх, як распаўсюджанне эпідэмій і надзейнасць камп’ютарных сетак.

Некаторыя прыклады задач, якія вырашаюцца праз тэорыю перкаляцыі:

• Колькі трэба дадаць меднага пілавіння ў скрыню з пяском, каб сумесь пачала праводзіць ток?
• Які адсотак людзей павінен быць успрымальны да хваробы, каб стала магчымая эпідэмія?

Апісанне

З’ява перкаляцыі (або праходжання асяроддзя) вызначаецца:

• асяроддзем, у якім назіраецца гэта з’ява;
• знешняй крыніцай, якая забяспечвае праходжанне ў гэтым асяроддзі;
• спосабам праходжання асяроддзя, які залежыць ад вонкавай крыніцы.

Прыклад

У якасці простага прыкладу можна разгледзець мадэль праходжання (напрыклад, электрычнага прабоя) у двухмернай квадратнай рашотцы, якая складаецца з вузлоў, якія могуць праводзяць ці не праводзіць. У пачатковы момант часу ўсе вузлы сеткі не праводзяць. З часам крыніца замяняе вузлы, якія не праводзяць на тыя, якія праводзяць, і лік вузлоў, якія праводзяць, паступова расце. Пры гэтым вузлы замяшчаюцца выпадковым чынам, г. зн. выбар любога з вузлоў для замяшчэння з’яўляецца роўнаімаверным для ўсёй паверхні рашоткі.

Перкаляцыяй называюць момант з’яўлення такога стану рашоткі, пры якім існуе хаця бы адзін неперарыўны шлях праз суседнія вузлы, якія праводзяць, ад аднаго да процілеглага краю. Відавочна, што з ростам колькасці вузлоў, якія праводзяць, гэты момант наступіць раней, чым уся паверхня рашоткі будзе складацца выключна з вузлоў, якія праводзяць.

Пазначым стан вузлоў «не праводзіць» і «праводзіць» нулямі і адзінкамі адпаведна. У двухмерным выпадку асяроддзю будзе адпавядаць бінарная матрыца. Паслядоўнасць замены нулёў матрыцы на адзінкі будзе адпавядаць крыніцы працякання.

У пачатковы момант часу матрыца складаецца цалкам з элементаў, якія не праводзяць:

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

Пры ўздзеянні вонкавай крыніцы ў матрыцы пачынаюць дадавацца элементы, якія праводзяць, аднак спачатку іх недастаткова для перкаляцыі:

0	0	0	1
1	0	0	0
0	0	1	0
0	0	1	0

Па меры павелічэння колькасці вузлоў, якія праводзяць, надыходзіць такі крытычны момант, калі адбываецца перкаляцыя, як паказана ніжэй:

0	0	0	1
1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Бачна, што ад левай да правай мяжы апошняй матрыцы маецца ланцужок элементаў, якая забяспечвае праходжанне току па вузлах, якія праводзяць (адзінках), якія бесперапынна ідуць адзін за адным.

Перкаляцыя можа назірацца як у рашотках, так і іншых геаметрычных канструкцыях, у тым ліку неперарыўных, якія складаюцца з вялікай колькасці падобных элементаў або неперарыўных абласцей адпаведна, якія могуць знаходзіцца ў адным з двух станаў. Адпаведныя матэматычныя мадэлі называюцца рашотачнымі або кантынуальнымі.

У якасці прыкладу перкаляцыі ў неперарыўным асяроддзі можа выступаць праходжанне вадкасці праз аб’ёмны порысты ўзор (напрыклад, вады праз губку з пенаўтвараючага матэрыялу), у якім адбываецца паступовае надзіманне бурбалак да таго часу, пакуль іх памер не стане дастатковы для прасочвання вадкасці ад аднаго краю ўзору да іншага.

Індуктыўна, паняцце перкаляцыі пераносіцца на любыя канструкцыі або матэрыялы, якія называюцца перкаляцыйным асяроддзем, для якога павінна быць вызначана знешняя крыніца праходжання, спосаб праходжання і элементы (фрагменты) якой могуць знаходзіцца ў розных станах, адзін з якіх (першасны) не задавальняе дадзенаму спосабу праходжання, а іншы задавальняе. Спосаб праходжання таксама мае на ўвазе сабой пэўную паслядоўнасць узнікнення элементаў або змяненне фрагментаў асяроддзя ў патрэбны для праходжання стан, які забяспечваецца крыніцай. Крыніца ж пераводзіць паступова элементы або фрагменты ўзору з аднаго стану ў другі, пакуль не наступіць момант перкаляцыі.

Парог праходжання

Сукупнасць элементаў, па якіх адбываецца праходжанне, называецца перкаляцыйным кластарам. Будучы па сваёй прыродзе звязным выпадковым графам, у залежнасці ад канкрэтнай рэалізацыі ён можа мець розную форму. Таму прынята характарызаваць яго агульны памер. Парогам праходжання называецца мінімальная канцэнтрацыя, пры якой узнікае праходжанне.

З прычыны выпадковага характару пераключэнняў станаў элементаў асяроддзя, у канчатковай сістэме выразна вызначанага парога (памеру крытычнага кластара) не існуе, а маецца так званая крытычная вобласць значэнняў $\delta (N)$, у якую трапляюць значэнні парога перкаляцыі, атрыманыя ў выніку розных выпадковых рэалізацый. З павелічэннем памераў сістэмы вобласць звужаецца ў кропку.

Літаратура

• Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. (Библиотечка «Квант», выпуск 19) — М.: Из-во «Наука», 1982. — 265 с.

Спасылкі

• Протекания теория — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі