Праектыўная прастора

Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.

У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу на гарызонце.

Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KPⁿ і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).

Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KPⁿ называецца праектывізацыяй прасторы L(K).

Пункты KPⁿ можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат.

Аксіяматычнае азначэнне

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

• Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
• Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
• Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых $p,q\in P$ з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг падпрастор віду

$\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя

• Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
• Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
• Размернасць 2 (праектыўная плоскасць): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду $KP^{n}$ для некаторага цела $K$ задавальняюць аксіёму Дэзарга, аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці.
• Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга, любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці

• Няхай $M$ — гіперплоскасць у лінейнай прасторы $L$. Праектыўная прастора $P(M)\subset P(L)$ называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў $P(L)$.
• На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці $A=P(L)\backslash P(M)$ існуе натуральная структура афіннай прасторы.
• Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору $A$ можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне

Таўталагічным расслаеннем $\gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}$ называецца вектарнае расслаенне, прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку $\mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}$

$E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm \;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.$

а слоем — рэчаісная прамая $\mathbb {R}$. Кананічная праекцыя $\gamma ^{n}$ адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры $n\geq 1$ гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры $n=1$ прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

Літаратура

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.