Пункты Лагранжа

Пункты Лагранжа (лац. librātiō — разгойдванне) або L-пункты — пункты ў сістэме з двух масіўных цел, у якіх трэцяе цела з зусім малой масай, на якое не дзейнічаюць ніякія іншыя сілы, акрамя гравітацыйных сіл з боку двух першых цел, можа заставацца нерухомым адносна гэтых цел.

Пункты Лагранжа і эквіпатэнцыяльныя паверхні сістэмы двух цел.

Больш дакладна пункты Лагранжа ўяўляюць сабой прыватны выпадак пры вырашэнні т. з. абмежаванай задачы трох цел — калі арбіты ўсіх цел з’яўляюцца кругавымі і маса аднаго з іх нашмат менш масы любога з двух іншых. У гэтым выпадку можна лічыць, што два масіўных цела звяртаюцца вакол іх агульнага цэнтра мас з пастаяннай вуглавой хуткасцю. У прасторы вакол іх існуюць пяць пунктаў, у якіх трэцяе цела з занядбана малой масай можа заставацца нерухомым у круцільнай сістэме адліку, якая звязаная з масіўнымі целамі. У гэтых пунктахах гравітацыйныя сілы, якія дзейнічаюць на малое цела, ўраўнаважваюцца цэнтрабежнай сілай.

Пункты Лагранжа атрымалі сваю назву ў гонар матэматыка Жазэфа Луі Лагранжа, які першым у 1772 выявіў гэту з’яву.

Схема пяці лагранжевых пунктаў у сістэме двух целаў, калі адно цела нашмат масіўней іншага (Сонца і Зямля). У такой сістэме пункты L₃, L₄, L₅ паказаны на самой арбіце, хоць фактычна яны будуць знаходзіцца трохі за ёй

Размяшчэнне пунктаў Лагранжа

Усе пункты Лагранжа ляжаць у плоскасці арбіт масіўных целаў і абазначаюцца загалоўнай лацінскай літарай L з лічбавым індэксам ад 1 да 5. Першыя тры пункты размешчаны на лініі, якая праходзіць праз абодва масіўных целы. Гэтыя пункты Лагранжа называюцца калінеарными і абазначаюцца L₁, L₂ і L₃.

L₁ знаходзіцца паміж дзвюма целамі сістэмы, бліжэй да менш масіўнага цела, L₂ — звонку, за менш масіўным целам і L₃ — за больш масіўным. Адлегласці ад цэнтра мас сістэмы да гэтых пунктаў у першым набліжэнні па α разлічваюцца з дапамогай наступных формул:

$r_{1}=\left(R\left[1-\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right)$

$r_{2}=\left(R\left[1+\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right)$

$r_{3}=\left(R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \right],0\right)$

где $\alpha ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$,

R — адлегласць меж целамі

M₁ — маса больш масіўнага цела,

M₂ — маса другога цела.

L₁

Пункт L₁ ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M₁ і M₂ (M₁ > M2), і знаходзіцца паміж імі, паблізу другога цела. Яе наяўнасць абумоўлена тым, што гравітацыя цела M₂ часткова кампенсуе гравітацыю цела M₁. Пры гэтым чым больш M₂, тым далей ад яго будзе размяшчацца гэты пункт.

Выкарыстанне

У сістэме Сонца-Зямля пункт L1 можа быць ідэальным месцам для размяшчэння касмічнай абсерваторыі для назірання Сонца, якое ў гэтым месцы ніколі не перакрываецца ні Зямлёй, ні Месяцам. Напрыклад, Сонечная геліясферная абсерваторыя (SOHO) рухаецца менавіта вакол пункта L₁, разам з дзвюма іншымі апаратамі Advanced Composition Explorer (ACE) і WIND.

Месяцавы пункт L₁ (у сістэме Зямля-Месяц) можа стаць ідэальным месцам для будаўніцтва касмічнай пілатуемай арбітальнай станцыі, якая дазволіла б лёгка дабрацца да Месяца з мінімальнымі выдаткамі паліва і стаць ключавым вузлом грузавога патоку паміж Зямлёй і нашым спадарожнікам.

L₂

Пункт L2 у сістэме Сонца-Зямля

Пункт L₂ ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M₁ і M₂ (M₁>M₂) і знаходзіцца за целам з меншай масай. Пункты L₁ і L₂ размяшчаюцца на адной лініі і ў мяжы M₁ >> M₂ сіметрычныя адносна M₂. У пункце L₂ гравітацыйныя сілы, якія дзейнічаюць на цела, кампенсуюць дзеянне цэнтрабежных сіл у круцільнай сістэме адліку.

Пункт L₂ ў сістэме Сонца-Зямля з’яўляецца ідэальным месцам для будаўніцтва арбітальных касмічных абсерваторый і тэлескопаў. Паколькі аб’ект у пункце L₂ здольны працяглы час захоўваць сваю арыентацыю адносна Сонца і Зямлі, вырабляць яго экранаванне і каліброўку становіцца значна прасцей. Аднак гэты пункт размешчаны крыху далей зямной цені (у галіне паўцені) , так што сонечная радыяцыя блакуецца не цалкам. У гэтым пункце ўжо знаходзяцца апараты амерыканскага і еўрапейскага касмічных агенцтваў WMAP, Планк і касмічны тэлескоп Гершэль. У 2013 годзе да іх можа далучыцца тэлескоп Gaia, а ў 2018 — Джэймс Вебб. Пункт L₂ ў сістэме Зямля-Месяц можа быць выкарыстана для забеспячэння спадарожнікавай сувязі з аб’ектамі на адваротным баку Месяца, а таксама быць зручным месцам для размяшчэння заправачнай станцыі для аблугоўвання грузапатоку паміж Зямлёй і Месяцам

Калі M₂ шмат менш па масе, чым M₁, то пункты L₁ і L₂ знаходзяцца на прыкладна аднолькавай адлегласці r ад цела M₂, роўным радыусе сферы Хіла:

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

L₃

Тры з пяці пунктаў Лагранжа размешчаны на адной восі

Пункт L₃ ляжыць на прамой, якая злучае два цела з масамі M₁ і M₂ (M₁>M₂), і знаходзіцца за целам з большай масай. Гэтак жа, як для пункта L₂, у гэтым пункце гравітацыйныя сілы кампенсуюць дзеянне цэнтрабежных сіл.

Да пачатку касмічнай эры сярод пісьменнікаў-фантастаў была вельмі папулярная ідэя аб існаванні на супрацьлеглым баку зямной арбіты ў пункце L₃ іншай аналагічнай ёй планеты, званай «Супрацьзямля», якая з-за свайго размяшчэння была недаступная для прамых назіранняў. Аднак, з з’яўленнем магчымасці вырабляць назірання з дапамогай касмічных апаратаў і зондаў было паказана, што гэтая гіпотэза з’яўляецца памылковай. На самай справе з-за гравітацыйнага ўплыву іншых планет пункт L₃ ў сістэме Сонца-Зямля з’яўляецца вельмі няўстойлівым. Так, падчас супрацьстаянняў паміж Зямлёй і Венерай, якія здараюцца кожныя 20 месяцаў, Венера знаходзіцца ўсяго ў 0,3 а. а. ад пункту L₃ і такім чынам аказвае вельмі сур’ёзны ўплыў на яе размяшчэнне адносна зямной арбіты. Акрамя таго, з-за незбалансаванасці цэнтра цяжару сістэмы Сонца-Юпітэр адносна Зямлі і эліптычнасці зямной арбіты, так званая Супрацьзямля ўсё роўна, час ад часу, была б даступная для назіранняў і абавязкова была б заўважана.

Арбітальныя касмічныя апараты і спадарожнікі, размешчаныя паблізу гэтага пункту L₃, могуць пастаянна сачыць і аператыўна дакладваць на Зямлю інфармацыю аб розных формах актыўнасці на паверхні Сонца, у прыватнасці, аб з’яўленні новых плям або выбліскаў, і выкарыстоўвацца ў якасці сістэмы ранняга папярэджання аб касмічнай надвор’і NOAA Space Weather Prediction Center з запасам часу да 7 дзён. Акрамя таго, інфармацыя з такіх спадарожнікаў можа быць выкарыстана для забеспячэння бяспекі далёкіх пілатуемых палётаў, напрыклад да Марса або астэроідаў. У 2010 годзе былі вывучаны некалькі варыянтаў запуску падобнага спадарожніка.

L₄ і L₅

Гравітацыйнае паскарэнне ў L₄

Калі на аснове лініі, якая злучае абодва цела сістэмы, пабудаваць два роўнабаковыя трохкутнікі, дзве вяршыні якіх адпавядаюць цэнтрам цел M₁ і M₂, то пункты L₄ і L₅ будуць адпавядаць становішчу трэціх вяршыняў гэтых трохвугольнікаў, размешчаных у плоскасці арбіты другога цела ў 60 градусах наперадзе і ззаду яго.

Адлегласці ад цэнтра мас сістэмы да гэтых пунктаў у каардынатнай сістэме з цэнтрам каардынат у цэнтры мас сістэмы разлічваюцца па наступных формулах:

$r_{4}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)$

$r_{5}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,-{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)$

дзе

$\beta ={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$,

R — адлегласць меж целамі,

M₁ — маса больш масіўнага цела,

M₂ — маса друрога цела.

Практычнае прымяненне

Даследчыкі ў галіне касманаўтыкі даўно ўжо звярнулі ўвагу на пункты Лагранжа. Напрыклад, у пункце L₁ сістэмы Зямля-Сонца зручна размясціць касмічную сонечную абсерваторыю — яна ніколі не будзе трапляць у цень Зямлі, а значыць, назіранні можна весці няспынна. Пункт L₂ падыходзіць для касмічнага тэлескопа — тут Зямля амаль цалкам засланяе сонечнае святло, і і сама не перашкаджае назіранням, паколькі звернута да L₂ неасветленым бокам. Пункт L₁ сістэмы Зямля-Месяц зручны для размяшчэння рэтрансляцыйнай станцыі ў перыяд асваення Месяца. Яна будзе знаходзіцца ў зоне прамой бачнасці для большай часткі звернутага да Зямлі паўшар’я Месяца, а для сувязі з ёй спатрэбяцца перадатчыкі ў дзесяткі разоў менш магутныя, чым для сувязі з Зямлёй.

Гл. таксама

• Лібрацыя
• Поласць Роша