Ранг матрыцы

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы $A$ з $m$ радкоў і $n$ слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза $\dim(\operatorname {Im} (A))$ лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы $A$ абазначаецца $\operatorname {rang} A$ ($\operatorname {rg} A$) або $\operatorname {rank} A$. Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне

Хай $A_{m\times n}$ — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы $A$ з’яўляецца:

• нуль, калі $A$ — нулявая матрыца;
• лік $r\in \mathbb {N} :\;\exists M_{r}\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$, дзе $M_{r}$ — мінор матрыцы $A$ парадку $r$, а $M_{r+1}$ — аблямоўваючы яго мінор парадку $(r+1)$, калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы $A_{m\times n}$ парадку $k$ роўныя нулю ($M_{k}=0$). Тады $\forall M_{k+1}=0$, калі яны існуюць.

Звязаныя азначэнні

• Ранг $\operatorname {rang} M$ матрыцы $A$ памеру $m\times n$ называюць поўным, калі $\operatorname {rang} M=\min\{m,n\}$.
• Базісны мінор матрыцы $A$ — любы ненулявы мінор матрыцы $A$ парадку $r$, дзе $r=\operatorname {rang} A$.
  • Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці

• Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай $r=\operatorname {rang} A,M_{r}$ — базісны мінор матрыцы $A$, тады:
  1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
  2. любы радок (слупок) матрыцы $A$ ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
• Следства:
  • Калі ранг матрыцы роўны $r$, то любыя $p\colon p>r$ радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
  • Калі $A$ — квадратная матрыца, і $\det A=0\iff$, то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
  • Хай $r=\operatorname {rang} A$, тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная $r$.
• Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне $A\sim B$ для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі $A\sim B$, то іх рангі роўныя.
• Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
  • Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
  • Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

Няхай $A$ — матрыца памеру $m\times n$ над полем $\mathbb {C}$ (або $\mathbb {R}$). Няхай $T$ — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае $A$ ў стандартным базісе; гэта значыць, што $T(x)=Ax$. Ранг матрыцы $A$ — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння $T$.

Метады

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

• Метад элементарных пераўтварэнняў

Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

• Метад аблямоўваючых мінораў

Няхай ў матрыцы $A$ знойдзены ненулявы мінор $k$-га парадку $M$. Разгледзім усе міноры $(k+1)$-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор $M$; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны $k$. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.

Літаратура

• Эрнест Винберг. Курс алгебры (руск.) (5 верасня 2017). Праверана 24 жніўня 2018.