Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані .
Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.
Калі
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
{\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
a
2
x
n
−
2
+
.
.
.
+
a
n
,
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},}
(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:
a
1
=
−
(
c
1
+
c
2
+
…
+
c
n
)
,
a
2
=
c
1
c
2
+
c
1
c
3
+
…
+
c
1
c
n
+
c
2
c
3
+
…
+
c
n
−
1
c
n
,
a
3
=
−
(
c
1
c
2
c
3
+
c
1
c
2
c
4
+
…
+
c
n
−
2
c
n
−
1
c
n
)
,
…
a
n
−
1
=
(
−
1
)
n
−
1
(
c
1
c
2
…
c
n
−
1
+
c
1
c
2
…
c
n
−
2
c
n
+
…
+
c
2
c
3
.
.
.
c
n
)
,
a
n
=
(
−
1
)
n
c
1
c
2
…
c
n
.
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&&\ldots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{matrix}}}
Інакш кажучы,
(
−
1
)
k
a
k
{\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}
k
{\displaystyle k}
a
k
=
(
−
1
)
k
∑
1
≤
i
1
≤
⋯
≤
i
k
≤
n
c
i
1
…
c
i
k
.
{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}\sum _{1\leq i_{1}\leq \dots \leq i_{k}\leq n}c_{i_{1}}\dots c_{i_{k}}.}
Калі старшы каэфіцыент мнагачлена
a
0
≠
1
{\displaystyle a_{0}\neq 1}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы,
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
a
2
x
n
−
2
+
.
.
.
+
a
n
=
(
x
−
c
1
)
(
x
−
c
2
)
⋯
(
x
−
c
n
)
.
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}
Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях
x
{\displaystyle x}
тэарэма адзінасці ), атрымліваем формулы Віета.
Квадратнае ўраўненне
правіць
Калі
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
квадратнага ўраўнення
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}
{
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}}
У асобным выпадку, калі
a
=
1
{\displaystyle a=1}
x
2
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^{2}+px+q=0}
{
x
1
+
x
2
=
−
p
,
x
1
x
2
=
q
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}}
Кубічнае ўраўненне
правіць
Калі
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
кубічнага ўраўнення
p
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
{\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}}
