Тэарэма Ферма — Эйлера

Тэарэма Ферма-Эйлера або тэарэма аб прадстаўленні простых лікаў сумай двух квадратаў сцвярджае:

Няцотны просты лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў (цэлых лікаў), калі і толькі калі ён мае выгляд 4k + 1.

Інакш кажучы, для простага ліку p > 2 існаванне цэлых лікаў x і y, такіх што

$p=x^{2}+y^{2}$

раўназначна таму, што лік p пры дзяленні на 4 дае ў астачы 1:

$p\equiv 1{\pmod {4}}.$

У замежнай літаратуры гэта сцверджанне часта называюць Каляднай тэарэмай Ферма, бо яно стала вядома з пісьма П'ера Ферма, дасланага ім 25 снежня 1640 года.

Прыклады:

$5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.$

Гісторыя

Упершыню гэта сцвярджэнне сустракаецца ў Альбера Жырара ў 1632 годзе. П'ер Ферма заявіў у сваім пісьме Мерсену (1640), што ён даказаў гэту тэарэму, але доказу не прывёў. Праз 20 год у пісьме да Каркаві (жнівень 1659 года) Ферма намякае, што доказ заснаваны на метадзе бесканечнага спуску.

Першы абнародаваны доказ метадам бесканечнага спуску быў знойдзен Леанардам Эйлерам паміж 1742 і 1747 гадамі. Пазней доказы, заснаваныя на іншых ідэях, далі Жазэф Лагранж, Карл Гаус, Герман Мінкоўскі, Якобшталь і Дон Цагір. Апошні прывёў доказ у адзін сказ.

Доказ

Адзін з самых кароткіх доказаў прыдумаў нямецкі матэматык Дон Цагір.

Абагульненне

З гэтага сцверджання пры дапамозе тоеснасці Брахмагупты:

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$

выводзіцца агульнае сцверджанне:

Натуральны лік можна запісаць у выглядзе сумы квадратаў двух цэлых лікаў тады і толькі тады, калі любы просты лік выгляду 4k + 3 уваходзіць у яго раскладанне на простыя множнікі ў цотнай ступені.

Часам іменна гэта сцверджанне разумеюць пад тэарэмай Ферма — Эйлера.

Літаратура

• Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Квант, № 3 (1999), стр. 14-22.