Цотнасць функцыі

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.

$f(x)=x$ — прыклад найпрасцейшай няцотнай функцыі.

$f(x)=x^{2}$ — прыклад цотнай функцыі.

$f(x)=x^{3}$ няцотная

$f(x)=x^{3}+1$ ні цотная, ні няцотная.

• Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
• Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
• Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

Строгае азначэнне

Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння $X\subset \mathbb {R}$, напрыклад, адрэзка ці прамежка.

• Функцыя $f$ называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць

$f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.$

• Функцыя $f:X\to \mathbb {R}$ называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць

$f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.$

• Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

Уласцівасці

• Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат $O$.
• Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат $Oy$.
• Адвольную функцыю $f:[-X,X]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:

$f(x)=g(x)+h(x),$

дзе

$g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}},\;h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.$

• Функцыя $f(x)=0$ — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.
• Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
• Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
• Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
• Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
• Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
• Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
• Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
• Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:

$\int \limits _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int \limits _{0}^{a}f(x)\,dx=2\int \limits _{-a}^{0}f(x)\,dx.$

• Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:

$\int \limits _{-a}^{a}f(x)\,dx=0.$

Прыклады

Няцотныя функцыі

• Няцотная ступень $f(x)=x^{2k+1},\quad x\in \mathbb {R} ,$ дзе $k\in \mathbb {Z}$ — адвольны цэлы лік.
• Сінус $f(x)=\sin x,\quad x\in \mathbb {R}$.
• Тангенс $f(x)=\operatorname {tg} x,\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})$.

Цотныя функцыі

• Цотная ступень $f(x)=x^{2k},\quad x\in \mathbb {R} ,$ дзе $k\in \mathbb {Z}$ — адвольны цэлы лік.
• Косінус $f(x)=\cos x,\quad x\in \mathbb {R}$.
• Абсалютная велічыня (модуль) $f(x)=|x|$.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Even Function (нявызн.). MathWorld.

• Weisstein, Eric W.. Odd Function (нявызн.). MathWorld.