Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці абсалютна непарыўнага размеркавання — функцыя, якая паказвае адносную імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне ў наваколлі некаторага пункту. Напрыклад, калі шчыльнасць імавернасці ў пункце 0 удвая большая за шчыльнасць у пункце 3, то значэнні выпадковай велічыні будуць трапляць у наваколле нуля ўдвая часцей, чым у наваколле тройкі.

Дыяграма размаху і шчыльнасць імавернасці нармальнага размеркавання N(0, σ²). На графіку IQR — міжквартыльны размах.

Інтэграл шчыльнасці імавернасці па некаторым прамежку (іншымі словамі, плошча пад графікам шчыльнасці) роўны імавернасці таго, што значэнне выпадковай велічыні будзе ляжаць у гэтым прамежку. Шчыльнасць імавернасці прымае толькі неадмоўныя значэнні, а агульная плошча пад цэлым графікам роўная 1^:79.

Прыклад

Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання.

Няхай існуе бактэрыя, якая жыве ў сярэднім ад 4 да 6 гадзін. Дапусцім, што імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў інтэрвале ад 5 да 5.01 гадзіны роўная 0.02 (то бок 2 %), ад 5 да 5.001 гадзіны — 0.002, ад 5 да 5.0001 гадзіны — 0.0002, і гэтак далей. У гэтым выпадку дзель (імавернасць смерці ў інтэрвале)/(працягласць інтэрвалу) роўная ${\frac {0.02}{5.01-5}}=2.$ Тады можна сказаць, што шчыльнасць імавернасці смерці бактэрыі ў пункце 5 роўная 2. Каб знайсці імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў некаторым невялікім інтэрвале каля 5 гадзін, трэба памножыць даўжыню гэтага інтэрвалу (у гадзінах) на шчыльнасць. Напрыклад, імавернасць таго, што бактэрыя загіне цягам 3 секунд пасля 5 гадзін, роўная $2\cdot {\frac {3}{60\cdot 60}}\approx 0.0017=0.17\%.$

Трэба заўважыць, што імавернасць будзе дадатнай для інтэрвалаў, у той час як імавернасць таго, што бактэрыя загіне роўна ў 5 гадзін, роўная нулю, хоць і такая падзея гіпатэтычна магчымая. З гэтай прычыны і ўводзіцца паняцце шчыльнасці, звязанае з імавернасцю на інтэрвале.

На практыцы значэнне дачынення паміж імавернасцю і працягласцю інтэрвалу можа змяняцца пры памяншэнні інтэрвалу, а не быць канстантным як у прыкладзе вышэй, таму каб знайсці шчыльнасць у пункце робяць пераход к ліміту

$f_{X}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P(t\leq X\leq t+\Delta t)}{\Delta t}},$

дзе $X$ — выпадковая велічыня (напрыклад, час смерці бактэрыі), $f_{X}$ — шчыльнасць імавернасці, $P(t\leq X\leq t+\Delta t)$ — імавернасць таго, што $X$ прыме значэнне ад $t$ да $t+\Delta t$.

Сувязь з функцыяй размеркавання

Прыклад шчыльнасці імавернасці (зверху) і адпаведнай функцыі размеркавання (знізу)

Адным са спосабаў задання размеркавання выпадковай велічыні ёсць функцыя размеркавання, якая вызначаецца як^:70

$F_{\xi }(x)=P(\xi <x),$

дзе $\xi$ — выпадковая велічыня, $P(\xi <x)$ — імавернасць таго, што $\xi$ прымае значэнні, меншыя за некаторы рэчаісны лік $x$.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання звязаная са шчыльнасцю імавернасці праз роўнасць $F_{\xi }(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{\xi }(t)dt$. Пры гэтым амаль усюды мае месца роўнасць $F_{\xi }'(x)=f_{\xi }(x)$, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання^:78-79.

Гл. таксама

• Умоўная шчыльнасць размеркавання