Інтэграл

Інтэгра́л фу́нкцыі — аналаг сумы паслядоўнасці, адно з галоўных паняццяў матэматычнага аналізу. Паняцце ўзнікла ў сувязі з патрэбаю знаходзіць функцыі па іх вытворных (нявызначаны інтэграл) і вызначаць плошчы, аб'ёмы і г.д. (вызначаны інтэграл).

Вызначаны інтэграл як плошча фігуры

Што такое інтэграл (анімацыя)

Працэс знаходжання інтэграла называецца інтэграва́ннем.

Згодна з асноўнай тэарэмай аналізу, інтэграванне ёсць аперацыяй, адваротнай да дыферэнцавання. Гэты факт выкарыстоўваецца пры развязанні дыферэнцыяльных раўнанняў.

Існуе некалькі розных азначэнняў аперацыі інтэгравання, якія адрозніваюцца ў тэхнічных дэталях. Аднак усе яны ўзгодненыя, г.зн. любыя два спосабы інтэгравання, калі іх можна прымяніць да дадзенай функцыі, дадуць адзін і той жа вынік. Найбольш простым з'яўляецца інтэграл Рымана.

Нявызначаны інтэграл

Хай дадзена $f(x)$ — функцыя сапраўднай зменнай. Нявызначаным інтэгралам функцыі $f(x)$ ці яе першаіснай называецца такая функцыя $F(x)$, вытворная ад якой роўная $f(x)$, то-бок $F'(x)=f(x)$. Пазначаецца гэта так:

$F(x)=\int f(x)dx$

У гэтым запісе$\int$ -- знак інтэграла, $f(x)$ называецца падынтэгральны функцыяй, а $dx$ -- элементам інтэгравання.

Першаісная ёсць не для кожнай функцыі. Лёгка паказаць, што, прынамсі, усё бесперапынныя функцыі маюць першаісную. Паколькі вытворныя двух функцый, якія адрозніваюцца на канстанту, супадаюць, у выраз для нявызначанага інтэграла ўключаюць адвольную пастаянную $C$, напрыклад

$\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C$

Аперацыя знаходжання інтэграла называецца інтэграваннем. Аперацыі інтэгравання і дыферэнцыявання процілеглыя адна другой у наступным сэнсе:

${\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C$

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вылічэнне інтэгралаў анлайн з дапамогай сістэмы Mathematica