Ірацыянальны лік

Ірацыяна́льны лік (ад лац.: irrationalis — неразумны) — усе рэчаісныя лікі, якія не з’яўляюца рацыянальнымі $\mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ (адніманне мностваў рэчаісных і рацыянальных лікаў), — то бок, іх нельга запісаць у выглядзе ${\frac {m}{n}}$, дзе $m$ — цэлы лік, а $n$ — натуральны, $n\neq 0$. Ірацыянальны лік раскладваецца ў бясконцы неперыядычны дзесятковы дроб, і гэтая яго ўласцівасць можа быць прынятая за азначэнне ірацыянальнага ліку.

Лік $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ з’яўляецца ірацыянальным.

Пра існаванне ірацыянальных лікаў (дакладней адрэзкаў, несувымерных з адрэзкам адзінкавай даўжыні), ведалі ўжо старажытныя матэматыкі: ім была вядомая, напрыклад, несувымернасць дыяганалі і бока квадрата, што раўнасільна ірацыянальнасці ліку ${\sqrt {2}}$.

Ірацыянальнымі з’яўляюцца, сярод іншых, адносіны даўжыні акружнасці да дыяметра круга (лік π), аснова натуральнага лагарыфма e, залатое сячэнне φ, квадратны корань з двух. Усе квадратныя карані натуральных лікаў, акрамя поўных квадратаў, ірацыянальны.

Ірацыянальныя лікі таксама могуць разглядацца праз бясконцыя непарыўныя дробы. Следствам доказу Кантара з’яўляецца тое, што рэчаісныя лікі не злічальны, а рацыянальныя — злічальны, адсюль вынікае, што амаль усе рэчаісныя лікі ірацыянальны.

Уласцівасці

• Сума двух дадатных ірацыянальных лікаў можа быць рацыянальным лікам.
• Ірацыянальныя лікі вызначаюць дэдэкіндава сячэнне ў мностве рацыянальных лікаў, у якіх у ніжнім (левым) класе няма найбольшага, а ў верхнім (правым) — найменшага ліку.
• Мноства ірацыянальных лікаў усюды шчыльна на лікавай прамой: паміж любымі двума рознымі лікамі маецца ірацыянальны лік.

Алгебраічныя і трэнсцэндэнтныя лікі

Кожны ірацыянальны лік з’яўляецца або алгебраічным лікам, або трансцэндэнтным лікам (неалгебраічным). Мноства алгебраічных лікаў з’яўляецца злічальным мноствам. Паколькі мноства рэчыўных лікаў незлічальна, то мноства ірацыянальных лікаў таксама незлічальна.

Кожны рэчаісны трансцэндэнтны лік з’яўляецца ірацыянальным; алгебраічны лік можа быць як рацыянальным, так і ірацыянальным.

Мноства ірацыянальных лікаў з’яўляецца мноствам другой катэгорыі.

Ірацыянальныя лікі і непарыўныя дробы

Ірацыянальныя лікі прадстаўляюцца бясконцым непарыўным дробам. Прыклад, лік e:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].$

Квадратычным ірацыянальнасцям адпавядаюць перыядычныя бесперапынныя дробы.

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].$

Прыклады

Ірацыянальнымі з’яўляюцца:

• ${\sqrt {n}}$ для любога натуральнага $n$, які не з’яўляецца дакладным квадратам.
• Лік $e$, а таксама $e^{x}$ для любога рацыянальнага $x\neq 0$.
• $\ln x$ для любога дадатнага рацыянальнага $x\neq 1$.
• Лік $\pi$, а таксама $\pi ^{x}$ для любога рацыянальнага $x\neq 0$.

Літаратура

• Матэматычная энцыклапедыя / Пад рэд. В. Берніка. Мн.: Тэхналогія, 2001.
• У. А. Ільін, В. А. Садоўнічы, Бл. Х. Сендаў. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Пад рэд. А. М. Ціханава. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. В трёх томах / под ред. Юшкевича. — М.: Наука, 1970.
• Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972).
• Matvievskaya, Galina The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics(англ.)  // Annals of the New York Academy of Sciences(англ.) бел. : journal. — 1987. — Т. 500. — DOI:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
• Kurt Von Fritz The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum(англ.)  // The Annals of Mathematics : journal. — 1945.
• Адрыен Мары Лежандр, Éléments de Géometrie, Note IV, (1802), Парыж
• Rolf Wallisser, «On Lambert’s proof of the irrationality of π», in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer