Авал Касіні
Авал Касіні — крывая, якая з'яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, здабытак адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў (фокусаў) пастаянны і роўны квадрату некаторага ліку .
Прыватным выпадкам авала Касіні пры фокуснай адлегласці роўнай з'яўляецца лемніската Бернулі. З іншага боку, сам авал з'яўляецца прыватным выпадкам лемніскаты.
Крывая была прыдумана астраномам Джавані Касіні. Ён памылкова лічыў, што яна дакладней за эліпс вызначае арбіту Зямлі[1]. Хоць гэту лінію называюць авалам Касіні, яна не заўсёды авальная (гл. ніжэй — Асаблівасці формы).
Крывая пастаяннай сумы адлегласцей да двух зададзеных пунктаў — эліпс, пастаянных адносін — акружнасць Апалонія, пастаяннай рознасці — гіпербала.
Ураўненні
правіцьАдлегласць паміж фокусамі .
Выснова |
---|
Фокусы — і . Возьмем адвольны пункт , знойдзем адлегласць ад фокусаў да яго і прыраўнуем яе да :
Узводзім у квадрат абедзве часткі роўнасці: Раскрываем дужкі ў левай частцы: Раскрываем дужкі, згортваем новы квадрат сумы і выносім агульны множнік: |
- Яўнае ўраўненне ў прамавугольных каардынатах:
Выснова |
---|
Узводзім у квадрат і раскрываем дужкі: Прыводзім да выгляду Гэта квадратнае ўраўненне адносна . Рашыўшы яго, атрымаем Узяўшы корань і адкінуўшы варыянт з адмоўным другім складаемым, атрымаем: дзе дадатны варыянт вызначае верхнюю палову крывой, адмоўны — ніжнюю. |
- У палярнай сістэме каардынат:
Выснова |
---|
Выкарыстоўваючы формулы пераходу да палярнай сістэмы каардынат атрымаем: Выносім агульныя множнікі і выкарыстоўваем трыганаметрычную тоеснасць : Выкарыстоўваем яшчэ адну тоеснасць: : |
Асаблівасці формы
правіцьВа ўраўненні крывой маюцца два незалежныя параметры: — палова адлегласці паміж фокусамі і — корань квадратны са здабытку адлегласцей ад фокусаў да любога пункта крывой. З пункту гледжання формы найбольш істотныя адносіны параметраў, а не іх велічыні, якія пры нязменных адносінах вызначаюць толькі памер фігуры. Можна вылучыць шэсць разнавіднасцей формы ў залежнасці ад велічыні адносін :
- , гэта значыць пры .
- Крывая выраджаецца ў два пункты, якія супадаюць з фокусамі. Пры форма крывой імкнецца да двух пунктаў.
- , гэта значыць
- Крывая распадаецца на два асобныя авалы, кожны з якіх выцягнуты ў кірунку да іншага і па форме нагадвае яйка.
- , гэта значыць
- Правая частка ўраўнення ў прамавугольных каардынатах (гл. вышэй) ператваецца ў нуль, і крывая становіцца лемніскатай Бернулі.
- , гэта значыць
- У крывой з'яўляюцца чатыры сіметрычныя пункты перагібу (па адным у кожнай каардынатнай чвэрці). Крывізна ў пунктах перасячэння з воссю імкнецца да нуля, калі імкнецца да і да бясконцасці, калі імкнецца да .
- , гэта значыць
- , гэта значыць пры
- Па меры павелічэння (гэта значыць імкнення адносін да нуля) крывая імкнецца да акружнасці радыусу . Калі , тады адносіны дасягаюць нуля, і ў гэтым выпадку крывая выраджаецца ў акружнасць.
Уласцівасці
правіць- Авал Касіні — алгебраічная крывая чацвёртага парадку.
- Яна сіметрычная адносна сярэдзіны адрэзка паміж фокусамі.
- Пры мае два абсалютныя максімумы і два мінімумы:
- Геаметрычнае месца пунктаў абсалютных максімумаў і мінімумаў — акружнасць радыусу з цэнтрам у сярэдзіне адрэзка паміж фокусамі.
- Пры крывая мае чатыры пункты перагібу. Іх палярныя каардынаты:
- Геаметрычнае месца пунктаў перагібу — лемніската з вяршынямі .
- Радыус крывізны для прадстаўлення ў палярных каардынатах:
Прымяненне
правіцьПры двухпазіцыйнай радыёлакацыі вобласцю выяўлення цэлі з'яўляецца фігура, абмежаваная авалам Касіні, калі прыняць у якасці аднаго яго фокусу пазіцыю крыніцы выпраменьвання, а іншага — пазіцыю прыёмніка. Аналагічна, у астраноміі пры назіранні, напрыклад, астэроідаў, якія свецяць адлюстраваным святлом Сонца, умовы іх выяўлення пры зададзенай адчувальнасці тэлескопа апісваюцца формулай авала Касіні. У гэтым выпадку граніцай выяўленяя будзе паверхня, утвораная вярчэннем авала вакол восі, якая злучае Сонца і назіральніка.
Гл. таксама
правіцьЗноскі
- ↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский
Літаратура
правіць- Математическая энциклопедия (в 5-и томах) — Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые Архівавана 14 верасня 2008., Популярные лекции по математике Архівавана 26 жніўня 2017., выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.