Авал Касіні — крывая, якая з'яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, здабытак адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў (фокусаў) пастаянны і роўны квадрату некаторага ліку .

Авалы Касіні (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Прыватным выпадкам авала Касіні пры фокуснай адлегласці роўнай з'яўляецца лемніската Бернулі. З іншага боку, сам авал з'яўляецца прыватным выпадкам лемніскаты.

Крывая была прыдумана астраномам Джавані Касіні. Ён памылкова лічыў, што яна дакладней за эліпс вызначае арбіту Зямлі[1]. Хоць гэту лінію называюць авалам Касіні, яна не заўсёды авальная (гл. ніжэй — Асаблівасці формы).

Крывая пастаяннай сумы адлегласцей да двух зададзеных пунктаў — эліпс, пастаянных адносін — акружнасць Апалонія, пастаяннай рознасці — гіпербала.

УраўненніПравіць

Адлегласць паміж фокусамі  .

 
  • Яўнае ўраўненне ў прамавугольных каардынатах:
 
 

Асаблівасці формыПравіць

 
Змяняецца параметр  
 
Змяняецца параметр  

Ва ўраўненні крывой маюцца два незалежныя параметры:   — палова адлегласці паміж фокусамі і   — корань квадратны са здабытку адлегласцей ад фокусаў да любога пункта крывой. З пункту гледжання формы найбольш істотныя адносіны параметраў, а не іх велічыні, якія пры нязменных адносінах вызначаюць толькі памер фігуры. Можна вылучыць шэсць разнавіднасцей формы ў залежнасці ад велічыні адносін  :

  •  , гэта значыць   пры  .
Крывая выраджаецца ў два пункты, якія супадаюць з фокусамі. Пры   форма крывой імкнецца да двух пунктаў.
  •  , гэта значыць  
Крывая распадаецца на два асобныя авалы, кожны з якіх выцягнуты ў кірунку да іншага і па форме нагадвае яйка.
  •  , гэта значыць  
Правая частка ўраўнення ў прамавугольных каардынатах (гл. вышэй) ператваецца ў нуль, і крывая становіцца лемніскатай Бернулі.
  •  , гэта значыць  
У крывой з'яўляюцца чатыры сіметрычныя пункты перагібу (па адным у кожнай каардынатнай чвэрці). Крывізна ў пунктах перасячэння з воссю   імкнецца да нуля, калі   імкнецца да   і да бясконцасці, калі   імкнецца да  .
  •  , гэта значыць  
Крывая становіцца авалам, гэта значыць выпуклай замкнёнай крывой.
  •  , гэта значыць   пры  
Па меры павелічэння   (гэта значыць імкнення адносін   да нуля) крывая імкнецца да акружнасці радыусу  . Калі  , тады адносіны   дасягаюць нуля, і ў гэтым выпадку крывая выраджаецца ў акружнасць.

УласцівасціПравіць

 
Чорная акружнасць — мноства максімумаў і мінімумаў; сіняя лемніската — мноства пунктаў перагібу
  • Авал Касіні — алгебраічная крывая чацвёртага парадку.
  • Яна сіметрычная адносна сярэдзіны адрэзка паміж фокусамі.
  • Пры   мае два абсалютныя максімумы і два мінімумы:
 
Геаметрычнае месца пунктаў абсалютных максімумаў і мінімумаў — акружнасць радыусу   з цэнтрам у сярэдзіне адрэзка паміж фокусамі.
  • Пры   крывая мае чатыры пункты перагібу. Іх палярныя каардынаты:
 
Геаметрычнае месца пунктаў перагібу — лемніската з вяршынямі  .
 

ПрымяненнеПравіць

Пры двухпазіцыйнай радыёлакацыі вобласцю выяўлення цэлі з'яўляецца фігура, абмежаваная авалам Касіні, калі прыняць у якасці аднаго яго фокусу пазіцыю крыніцы выпраменьвання, а іншага — пазіцыю прыёмніка. Аналагічна, у астраноміі пры назіранні, напрыклад, астэроідаў, якія свецяць адлюстраваным святлом Сонца, умовы іх выяўлення пры зададзенай адчувальнасці тэлескопа апісваюцца формулай авала Касіні. У гэтым выпадку граніцай выяўленяя будзе паверхня, утвораная вярчэннем авала вакол восі, якая злучае Сонца і назіральніка.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

Зноскі