Розніца паміж версіямі "Сума"

5 617 байтаў дададзена ,  9 гадоў таму
няма тлумачэння праўкі
 
У [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]] сумай (ці аб'яднаннем) мностваў завецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.
 
==Вызначаная сума==
 
Часта суму n складаемых ''a''<sub>k</sub>, ''a''<sub>k+1</sub>, …, ''a''<sub>N</sub> абазначаюць вялікай літарай [[гречаскі алфавіт|гречаскай літарай]] [[Сигма_(буква)|Σ]] (сигма):
 
<math>a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i</math>
 
Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай ''a''<sub>i</sub> по ''i'' от ''k'' до ''N''.<br>
Для зручнасці замест <math>\sum_{i=k}^Na_i</math> часам пішуць <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math>, где <math>P(i)\ </math> - некаторая суадносіна для <math>i\ </math>, такім чынам <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math> гэта канечная сума ўсіх <math>a_i\ </math>, где <math>i\in Z : P(i)\ </math><br>
Уласцівасці вызначанай сумы:
# <math>\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i</math>
 
==Прыклады==
# Сума [[Арыфметычная прагрэсія|арифметычнай прагрэсіі]]:
#:<math>\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}</math>
# Сума [[геаметрычная прагрэсія|геаметрычнай прагрэсіі]]:
#: <math>\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}</math>
# <math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0</math>
{{Hider|
title = Чаму гэта так |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
:<math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)</math>}}
# <math>\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
title = Чаму гэта так |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Доказ:
: <math>\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i =
p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow</math>
: <math>\Rightarrow (1-p)\sum_{k=0}^nip^i = \frac{-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i =
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}</math>}}
#<math>\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
title = Чаму гэта так |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Доказ:
:<math>(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =</math>
:<math>=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =</math>
:<math>=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=</math>
:<math>=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i</math>}}
#* Пры <math>p = 10\ </math> атрымліваем <math>\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1</math>, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:<br><math>1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5</math>
 
==Нявызначаная сума==
 
Нявызначанай сумай ''a''<sub>i</sub> по ''i'' называецца такая функцыя ''f(i)'', якая абазначаецца
<math>\sum_{i}^{} a_i</math>,
что <math>\forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}</math>.
 
==Формула Ньютана-Лейбніца==
{{асноўны артыкул|Тэарэма Ньютана-Лейбніца}}
Калі знайдзена нявызначаная сума
<math>\sum_{i}^{} a_i = f(i)</math>,
тады
<math>\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)</math>.&nbsp;
 
== Этымалогія ==
 
Лацінскае слова''summa''перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З [[XV]] стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «сумаваць» ([[1489]] год).
 
Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскім.
 
Спецыяльны сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў [[Эйлер, Леанард | Эйлер]] у [[1755]] годзе. Як варыянт, выкарыстоўвалася грэчаская літара Сігма Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгрыравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі [[Інтэграл | інтэгрыравання]].
 
== Гл. таксама ==
Ананімны ўдзельнік