Тэарэма Грына — Тао: Розніца паміж версіямі
| [недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
tagged isolated of cluster сірата0. |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1:
У [[Тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]] '''тэарэма Грына-Тао''', даказаная [[Бен Джозеф Грын|Бенам Грынам]] і [[Тэрэнц Тао|Тэрэнцам Тао]] ў 2004 годзе,<ref
{{артыкул
|аўтар = Ben Green and Terence Tao
|загаловак = The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне = Annals of Mathematics
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год = 2008
|выпуск = 2
|том = 167
|нумар =
|старонкі = 481–547
|isbn =
|issn =
|doi = 10.4007/annals.2008.167.481
|bibcode =
|arxiv = math.NT/0404188
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}}.</ref> сцвярджае, што паслядоўнасць [[просты лік|простых лікаў]] утрымлівае адвольна доўгія [[арыфметычная прагрэсія|арыфметычныя прагрэсіі]]. А дакладней, для любога натуральнага ''k'' існуюць арыфметычныя прагрэсіі, якія утрымліваюць ''k'' простых лікаў. Па сутнасці, доказ тэарэмы ўяўляе сабою пашырэнне [[Тэарэма Семерэдзі|тэарэмы Семерэдзі]].
==Гісторыя задачы==
Гіпотэза пра існаванне адвольна доўгіх арыфметычных прагрэсій з простых лікаў дастаткова вядомая. Аўтар гэтай гіпотэзы невядомы, і яе можна апісаць як класічную, ці, нават, "народную". У Діксанавай "Гісторыі тэорыі лікаў"<ref>{{кніга
|аўтар = L.E. Dickson
|частка =
|загаловак = History of the Theory of numbers
|арыгінал =
|спасылка =
|адказны =
|выданне =
|месца = New York
|выдавецтва = Chelsea publishing company
|год = 1952
|том = 1 (Divisibility and primality)
|pages =
|allpages =
|серыя =
|isbn =
|тыраж =
}}</ref>
адзначана, што каля 1770 года Лагранж і Варынг даследавалі, якой мае быць [[арыфметычная прагрэсія|рознасць арыфметычнай прагрэсіі]] з ''L'' простых, і цяжка ўявіць, каб яны не цікавіліся тым, ці былі іхнія ацэнкі дакладнымі для ўсіх ''L''.
З'яўленне гэтай гіпотэзы не было нечаканасцю, што простая эўрыстыка, заснаваная на [[Тэарэма пра размеркаванне простых лікаў|тэарэме пра размеркаванне простых лікаў]] наводзіць на думку, што існуе <math>\gg N^2/(\log N)^k </math> ''k''-паслядоўнасцей простых <math> p_1,p_2,\ldots,p_k </math> у арыфметычнай прагрэсіі, кожны з <math>p_i </math> не перавышае ''N''. У 1923 годзе Хардзі і Літльвуд<ref>
{{артыкул
|аўтар = G.H. Hardy and J.E. Litlewood
|загаловак = Some problems of "partitio numerorum"; III: On the expression of a number as a sum of primes
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне = Acta Mathematica
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год = 1923
|выпуск =
|том =
|нумар = 44
|старонкі = 1-70
|isbn =
|issn =
|doi =
|bibcode =
|arxiv =
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}}
</ref>
выставілі адну дужа агульную гіпотэзу, якая ў адмысловым выпадку ўтрымлівае гіпотэзу пра тое, што лік такіх ''k''-членных прагрэсій асімптатычна роўны <math>
C_k N^2/(\ln N)^k
</math> з некаторай яўнай сталай <math>C_k > 0</math>.
Першы поспех на шляху доказу гэтых здагадак быў дасягнуты ван-дэр-Корпутам<ref>
{{артыкул
|аўтар = J.G. van der Corput
|загаловак = Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне = Math. Ann.
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год = 1939
|выпуск =
|том =
|нумар = 116
|старонкі = 1-50
|isbn =
|issn =
|doi =
|bibcode =
|arxiv =
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}},</ref>
які, карыстаючыся метадам [[Вінаградаў Іван Матвеевіч|Вінаградава]] для сум па простым лікам, даказаў гіпотэзу ў выпадку ''k''=3,
гэта значыць, што існуе бясконца многа троек простых лікаў у арыфметычнай прагрэсіі. Аднак, тады пытанне пра даўжэйшыя арыфметычныя паслядоўнасці канчаткова развязана не было.
Пазней былі атрыманы некаторыя іншыя вынікі, які ўскосна пацвярджалі выказаныя здагадкі.
Развязак задачы пра арыфметычныя прагрэсіі з простых лікаў быў завершаны работай Грына і Тао<ref name=GreenTao/>
== Дакладная фармулёўка ==
Няхай ''A'' - любое падмноства простых лікаў дадатнай адноснай верхняй шчыльнасці
:(гэта значыць,
:<math>
\limsup_{N\to\infty} \frac{|A\cap[1,k]|}{\pi(k)} > 0,
</math>
:дзе <math>\pi(x)</math> абазначае колькасць простых лікаў, меньшых ці роўных за ''x''.)
Тады для любых натуральных ''k'' мноства ''A'' ўтрымлівае бясконца многа арыметычных прагрэсій даўжыні ''k''.
==Абагульненні==
У 2006 годзе Тао і [[Тамар Цыглер]] абагульнілі свой вынік на палінаміяльныя прагрэсіі.<ref>
{{артыкул
|аўтар = Terence Tao and Tamar Ziegler
|загаловак = The primes contain arbitrarily long polynomial progressions
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне = Acta Mathematica
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год = 2008
|выпуск =
|том = 201
|нумар =
|старонкі = 213-305
|isbn =
|issn =
|doi = 10.1007/s11511-008-0032-5
|bibcode =
|arxiv = math.NT/0610050
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}}.</ref>
Больш дакладна, няхай дадзены любыя [[цэлалікавы мнагасклад|цэлалікавыя мнагасклады]] ''P''<sub>1</sub>(m),..., ''P''<sub>''k''</sub>(m) ад адной зменнай ''m'' з нулявымі пастаяннымі складнікамі, тады існуе бясконца многа цэлых ''x'', ''m'', такіх што лікі ''x'' + ''P''<sub>1</sub>(''m''), ..., ''x'' + ''P''<sub>''k''</sub>(''m'') адначасова простыя. Адмысловы выпадак, калі мнагасклады роўныя ''m'', 2''m'', ..., ''km'', дае папярэдні вынік пра існаванне арыфметычных прагрэсій даўжыні ''k'' з простых лікаў.
==Лікавыя вынікі==
Радок 16 ⟶ 172:
12 красавіка 2010 Бенуа Перышон, карыстаючыся праграмай Урублеўскага і Джэфа Рэйнальдса ў праекце размеркаваных вылічэнняў [[PrimeGrid]] адшукаў першы вядомы выпадак 26 простых лікаў ({{OEIS|id=A204189}}):
:43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · ''n'', для ''n'' = ад 0 да 25.
{{артыкул
|аўтар =
|загаловак =
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне =
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год =
|выпуск =
|том =
|нумар =
|старонкі =
|isbn =
|issn =
|doi =
|bibcode =
|arxiv =
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}}
== Спасылкі ==
<references/>
[[Катэгорыя:Тэорыя лікаў]]
[[Катэгорыя:Простыя лікі]]
[[Катэгорыя:Тэарэмы]]
[[ar:مبرهنة غرين-تاو]]
| |||