Рэчаісны лік: Розніца паміж версіямі
| [недагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др r2.7.3) (робат дадаў: ky:Анык сан |
JerzyKundrat (размовы | уклад) Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1:
'''Рэчаі{{націск}}сны''' або '''сапра́ўдны''' [[лік]] — любы дадатны, адмоўны [[лік]] ці нуль.<ref>БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.</ref>
▲[[Выява:Real number line.svg|thumb|350px|[[Лікавая прамая]]]]
Рэчаісныя (сапраўдныя) [[лік]]і — [[матэматыка|матэматычная]] [[абстракцыя]], якая служыць, у прыватнасці, для выражэння вымярэнняў усіх [[фізічная велічыня|фізічных велічынь]]. Такі лік можа быць інтуітыўна прадстаўлены як адносіны двух велічынь адной [[памернасць фізічнай велічыні|памернасці]], або якія апісваюць становішча [[пункт]]аў на [[прамая|прамой]]. У адрозненне ад большасці паняццяў матэматыкі, рэчаісныя лікі знаёмыя шырокаму колу адукаваных людзей з прычыны сваіх разнастайных прыкладанняў.
[[Мноства]] рэчаісных лікаў пазначаецца <math>\R</math> ([[Юнікод|Unicode]]: ℝ) і часта завецца ''рэчаіснай прамой''.▼
▲[[Мноства]] рэчаісных лікаў пазначаецца <math>\R</math>
Адносна аперацый складання і множання рэчаісныя лікі ўтвараюць [[Поле, алгебра|поле]].
Радок 14 ⟶ 15:
== Прыклады ==
Прыклады лікаў, якія ўваходзяць у мноства рэчаісных лікаў <math>\mathbb{R}</math>
* [[Рацыянальны лік|Рацыянальныя лікі
* [[Ірацыянальны лік|Ірацыянальныя лікі
==
* С. Б. Стечкин. Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»▼
Існуе некалькі стандартых шляхоў азначэння рэчаісных лікаў:
=== Аксіаматычнае азначэнне ===
''Гл. асноўны артыкул [[Аксіаматыка рэчаісных лікаў]].''
Мноства рэчаісных лікаў <math>\mathbb{R}</math> можна вызначыць як [[поўная тапалагічная прастора|па-тапалагічнаму поўнае]], спарадкаванае [[Поле, алгебра|поле]], гэта значыць поле з адносінай <math>\leqslant</math>, якое задавальняе наступным аксіёмам:
# Адносіны <math>\leqslant </math> з'яўляецца адносінамі лінейнага парадку:
#* Для любых <math>a,\;b\in\mathbb{R}</math> <math>a\leqslant b</math> або <math>b\leqslant a</math>;
#* Калі <math>a\leqslant b</math> і <math>b\leqslant a</math>, то <math>a=b</math> для любых <math>a,\;b\in\mathbb{R}</math>;
#* Калі <math>a\leqslant b</math> і <math>b\leqslant c</math>, то <math>a\leqslant c</math> для любых <math>a,\;b,\;c\in\mathbb{R}</math>;
# Парадак узгоднены са структурай поля:
#* Калі <math>a\leqslant b</math>, то <math>a+c\leqslant b+c</math> для любых <math>a,\; b,\;c\in\mathbb{R}</math>;
#* Калі <math>0\leqslant a</math> і <math>0\leqslant b</math>, то <math>0\leqslant ab</math>.
# Парадак на <math>\mathbb{R}</math> задавальняе ўмове поўнасці:
#* Хай <math>A,\;B\subset\mathbb{R}</math> - непустыя падмноствы, такія што <math>a\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>, тады існуе <math>c\in\mathbb{R}</math> такое, што <math>a\leqslant c\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>.
====Нататкі====
З уласцівасці 3 варта, што ў любога непустога абмежаванага зверху мноства <math>A\subset \Bbb{R}</math> (т.е. такога, што для ўсіх ''x'' з ''A'' усё <math>x\leqslant a</math> для некаторага <math>a\in\mathbb{R}</math>) існуе ''дакладная верхняя грань'' (мінімальная з усіх), гэта значыць лік <math>c\in\mathbb{R}</math> такое, што
# Для ўсіх ''x'' з ''A'' усё <math>x\leqslant c</math>
# Калі ўласцівасці (1) задавальняе таксама лік <math>b\in\Bbb{R}</math>, то <math>c\leqslant b</math>.
Наяўнасць дакладных верхніх граняў у абмежаваных зверху мноствах эквівалентна аксіоме поўнасці і часта замяняе яе ў аксіяматыцы поля <math>\Bbb{R}</math>.
Любыя два поля з дачыненнем парадку, якія задавальняюць гэтым аксіёмам, [[ізамарфізм|ізаморфныя]], таму можна гаварыць, што існуе адзінае такое поле. (Насамрэч, правільней гаварыць, што адзіная ''структура'' поўнага спарадкаванага поля, кожнае поле, якое яе мае, служыць мадэллю мноства рэчаісных лікаў, бо любыя дзве мадэлі ізаморфныя.)
=== Папаўненне рацыянальных лікаў ===
Рэчаісныя лікі <math>\Bbb{R}</math> могуць быць пабудаваныя як папаўненне мноства рацыянальных лікаў <math>\Bbb{Q}</math> па дачыненні да звычайнай метрыкі <math>d(r,\;q)=|r-q|</math>.
Больш дакладна, разгледзім усё [[фундаментальная паслядоўнасць|фундаментальныя паслядоўнасці]] рацыянальных лікаў <math>\{r_i\}</math>. На такіх паслядоўнасцях можна натуральнай выявай увесці арыфметычныя аперацыі: <math>\{r_i\} + \{q_i\} = \{r_i + q_i\}</math> і <math>\{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}</math>.
Дзве такія паслядоўнасці <math>\{r_i\}\,\!</math> і <math>\{q_i\}\,\!</math> лічацца эквівалентнымі <math>(\{r_i\} \sim \{q_i\})</math>, калі <math>|r_i-q_i|\to 0</math> пры <math>i\to \infty</math>.
Мноства рэчаісных лікаў можна вызначыць як [[клас эквівалентнасці|класы эквівалентнасці]] гэтых паслядоўнасцяў.
=== Дэдэкіндавы сячэнні ===
''Гл. асноўны артыкул [[Дэдэкіндава сячэнне]].''
'''Дэдэкіндава сячэнне''' — гэтае разбіццё мноства рацыянальных лікаў <math>\mathbb{Q}</math> на два падмноства <math>A</math> і <math>B</math> такія, што:
# <math>a\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>;
# <math>B</math> не мае мінімальнага элемента.
Мноства рэчаісных лікаў вызначаецца як мноства дэдэкіндавых сячэнняў.
На іх магчыма працягнуць аперацыі складання і множання.
Напрыклад, рэчаіснаму ліку <math>\sqrt 2</math> адпавядае дэдэкіндава сячэнне, вызначанае <math>A=\{x\in\mathbb Q\mid x<0</math> або <math>x^2\leqslant2\}</math> і <math>B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0</math> і <math>x^2>2\}</math>.
Інтуітыўна, можна ўявіць сабе, што для таго каб вызначыць <math>\sqrt 2</math> мы рассяклі мноства на дзве часткі: усё лікі, што лявей <math>\sqrt 2</math> і ўсё лікі, што правей <math>\sqrt 2</math>; адпаведна, <math>\sqrt 2</math> роўна [[дакладная ніжняя грань|дакладнай ніжняй грані]] мноства B.
=== Бясконцыя дзесятковыя дробы ===
Такое заданне, як правіла, практыкуецца ў школьнай праграме і шмат у чым падобна на папаўненне рацыянальных лікаў.
Бясконцай [[дзесятковы дроб|дзесятковым дробам]] (са знакам) завецца [[паслядоўнасць]] выгляду <math>\pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots</math>, дзе <math>d_i</math> з'яўляюцца [[арабскія лічбы|дзесятковымі лічбамі]], гэта значыць <math>0\leqslant d_i< 10</math>.
Дзве паслядоўнасці завуцца эквівалентнымі, калі яны альбо супадаюць, альбо іх якія адрозніваюцца «хвасты» маюць выгляд <math>d999\ldots</math> і <math>(d+1)000\ldots</math>, дзе <math>0\leqslant d\leqslant8</math>, альбо калі гэта «нулявыя» паслядоўнасці (усё <math>d_i</math> роўныя 0), што адрозніваюцца толькі знакам.
Рэчаісныя лікі вызначаюцца як класы эквівалентнасці дзесятковых дробаў. Аперацыі на дзесятковых дробах вызначаюцца пазіцыйна падобна аперацыям над цэлымі лікамі ў пазіцыйных сістэмах злічэння.
Значэнне дзесятковага дробу фармальна задаецца сумай шэрагу <math>\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}</math>.
{{зноскі}}
== Літаратура ==
* Сапраўдны лік // БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.
* ''Кириллов, А. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/chislo.htm Что такое число?] // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
* ''Понтрягин, Л. С.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm Обобщения чисел] // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.
| |||