Вікіпедыя

Рэчаісны лік: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[дагледжаная версія][недагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
дрНяма тлумачэння праўкі
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1:
[[Выява:Real number line.svg|thumb|350px|[[Лікавая прамая]]]]
'''Рэчаі{{націск}}сны''' або '''сапра́ўдны''' лік — любы дадатны, адмоўны [[лік]] ці нуль.<ref>
БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.
</ref>
 
'''Рэчаісныя (сапраўдныя) лікі''' — матэматычная [[абстракцыя]], якая ўзнікла з патрэбы [[Вымярэнне|вымярэння]] [[Геаметрыя|геаметрычных]] і [[Фізіка|фізічных]] велічынь навакольнага свету, а таксама для ажыццяўлення такіх аперацый як вылічэнне [[Квадратны корань|квадратнага кораня]], [[лагарыфм]]аў, развязанне [[Алгебраічнае раўнанне|алгебраічных раўнанняў]].
Рэчаісныя (сапраўдныя) лікі — [[матэматыка|матэматычная]] [[абстракцыя]], якая служыць, у прыватнасці, для выражэння вымярэнняў усіх [[фізічная велічыня|фізічных велічынь]]. Такі лік можа быць інтуітыўна прадстаўлены як адносіны двух велічынь адной [[памернасць фізічнай велічыні|памернасці]], або якія апісваюць становішча [[пункт]]аў на [[прамая|прамой]]. У адрозненне ад большасці паняццяў матэматыкі, рэчаісныя лікі знаёмыя шырокаму колу адукаваных людзей з прычыны сваіх разнастайных прыкладанняў.
 
Калі [[Натуральны лік|натуральныя лікі]] ўзніклі пры лічэнні, [[Рацыянальны лік|рацыянальныя]] — з патрэбы выкарыстоўваць часткі цэлага, то рэчаісныя лікі прызначаны для вымярэння непарыўных велічынь. Такім чынам, пашырэнне запасу разгляданых лікаў прывяло да мноства рэчаісных лікаў, якое апрача лікаў рацыянальных утрымлівае таксама другія элементы, так званыя ''[[Ірацыянальны лік|ірацыянальныя лікі]]''.
[[Мноства]] рэчаісных лікаў пазначаецца <math>\R</math> на [[лікавая прамая|лікавай прамой]].
 
Наглядна паняцце рэчаіснага ліку можна ўявіць сабе пры дапамозе ''[[Лікавая прамая|лікавай прамой]]''. Калі на прамой выбраць напрамак, пачатковую кропку і адзінку даўжыні для вымярэння адрэзкаў, то кожнаму рэчаіснаму ліку можна паставіць у адпаведнасць пэўную кропку на гэтай прамой, і наадварот, кожная кропка будзе выявай некаторага, і прытым толькі аднаго, рэчаіснага ліку. У выніку гэтай адпаведнасці словазлучэнне "лікавая прамая", або "рэчаісная прамая", звычайна ўжываецца ў якасці сіноніма да "мноства рэчаісных лікаў".
Адносна аперацый складання і множання рэчаісныя лікі ўтвараюць [[Поле, алгебра|поле]].
Поле рэчаісных лікаў з'яўляецца найважным аб'ектам [[Матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]].
 
Паняцце рэчаіснага ліку прайшло доўгі шлях станаўлення. Яшчэ ў [[Матэматыка ў Старажытнай Грэцыі|Старажытнай Грэцыі]] ў школе [[Піфагор]]а, якая ў аснову ўсяго пакладала [[Цэлы лік|цэлыя лікі]] і іх дачыненні, было адкрыта існаванне ''несувымерных велічынь'' (несувымернасць стараны і дыяганалі квадрата), ці, на сучасны лад, ірацыянальных лікаў. Услед за гэтым [[Эўдокс Кнідскі]] зрабіў спробу пабудаваць агульную тэорыю ліку, якая ўключала б ў сябе несувымерныя велічыні. Пасля гэтага, на працягу больш чым двух тысячагоддзяў ніхто не адчуваў неабходнасці ў дакладным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, негледзячы на паступовае пашырэнне гэтага паняцця<ref name = "Пути">
== Вызначэнні ==
{{кніга
Рэчаісныя лікі падзяляюцца на [[рацыянальны лік|рацыянальныя]] і [[ірацыянальны лік|ірацыянальныя]]. Першыя могуць быць як у выглядзе рацыянальнага дробу, г.зн. дробу p/q, дзе р і q — цэлыя, q ≠ 0, гэтак і ў выглядзе абмежаванага ці бясконцага перыядычнага дзесятковага дробу, а другія — толькі ў выглядзе бясконцага неперыядычнага дзесятковага дробу.
|аўтар = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
|загаловак = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
|старонкі = 287-289
}}</ref>. Толькі ў другой палове XIX стагоддзя, калі развіццё [[Матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]] запатрабавала перабудовы яго асноваў на новым, вышэйшым узроўні строгасці, у працах [[Ваерштрас, Карл|К. Ваерштраса]], [[Дэдэкінд, Юліус Вільгельм Рыхард|Р. Дэдэкінда]], [[Кантар, Георг Фердынанд Людзвіг Філіп|Г. Кантара]], [[Гейне, Эдуард|Э. Гейне]], [[Мерэ, Шарль|Ш. Мерэ]]<ref name="Пути"/> была створана строгая тэорыя рэчаісных лікаў.
 
С пункту гледжання сучаснай матэматыкі, мноства рэчаісных лікаў — [[Непарыўнасць мноства рэчаісных лікаў|непарыўнае]] [[ўпарадкаванае поле]]. Гэта азначэнне, ці раўназначная сістэма [[Аксіёма|аксіём]], дакладна вызначае паняцце рэчаіснага ліку ў тым сэнсе, што існуе толькі адно, з дакладнасцю да [[ізамарфізм]]у, непарыўнае ўпарадкаванае [[Поле (алгебра)|поле]].
Строгая тэорыя рэчаісных лікаў, якая дазваляе вызначаць ірацыянальныя лікі, зыходзячы з рацыянальных, была распрацавана толькі ў 2-й палове 19 ст. працамі К. Веерштраса, Р. Дэдэкінда і Г. Кантара. Мноства рацыянальных лікаў усюды шчыльнае ў мностве рэчаісных лікаў <math>\R</math>, і <math>\R</math> ёсць яго папаўненне. Лікавая прамая <math>\R</math> падобная геаметрычнай прамой, г.зн. паміж лікамі з <math>\R</math> і кропкамі на прамой можна ўсталяваць узаемна адназначную адпаведнасць з захаваннем спарадкаванасці. Найважная ўласцівасць лікавай прамой складаецца ў яе бесперапыннасці. Прынцып бесперапыннасці лікавай прамой мае некалькі розных фармулёвак. Прынцып Веерштраса: усякае непустое абмежаванае зверху лікавае мноства мае (адзіную) верхнюю грань. Прынцып Дэдэкінда: усякі перасек у вобласці рэчаісных лікаў мае мяжу. Прынцып Кантара (прынцып сцяжных адрэзкаў): усякая сцяжная сістэма адрэзкаў {[a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub>]} лікавай прамой мае адзіны лік, які належыць усім адрэзкам.
 
Мноства рэчаісных лікаў звычайна пазначаецца як <math>\mathbb{R}</math> ([[Юнікод|Unicode]]: ℝ) ад {{lang-la|realis}} — рэчаісны.
== Прыклады ==
Прыклады лікаў, якія ўваходзяць у мноства рэчаісных лікаў <math>\mathbb{R}</math>
* [[Рацыянальны лік|Рацыянальныя лікі]] — 32, 36/29.
* [[Ірацыянальны лік|Ірацыянальныя лікі]] — <big><big>[[Пі|<math>\pi</math>]]</big></big>, <math>\sqrt 2</math>.
 
== Канстуктыўныя спосабы азначэння рэчаіснага ліку ==
== Азначэнні ==
 
Пры канструктыўным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, на падставе вядомых матэматычных аб'ектаў (напрыклад, мноства [[Рацыянальны лік|рацыянальных лікаў]] <math>\mathbb{Q}</math>), якія прымаюць азначанымі, будуюць новыя аб'екты, якія, у пэўным сэнсе, адлюстроўваюць наша "побытавае" ўяўленне пра паняцце рэчаіснага ліку. Істотным адрозненнем між "побытавымі" рэчаіснымі лікамі і гэтымі пабудаванымі аб'ектамі ёсць тое, што першыя, у адрозненне ад другіх, ўсведамляюцца намі інтуітыўна і "пакуль" не з'яўляюцца строга вызначаным матэматычным паняццем.
Існуе некалькі стандартых шляхоў азначэння рэчаісных лікаў:
 
Гэтыя аб'екты і аб'яўляюць рэчаіснымі лікамі. Для іх уводзяць асноўныя арыфметычныя аперацыі, вызначаюць дачыненні парадку і даказваюць іх уласцівасці.
=== Аксіаматычнае азначэнне ===
 
Гістарычна першымі строгімі азначэннямі рэчаіснага ліку былі менавіта канструктыўныя азначэнні. У 1872 годзе былі надрукаваны адначасова тры працы: тэорыя фундаментальных паслядоўнасцей [[Кантар, Георг Фердынанд Людзвіг Філіп|Кантара]], тэорыя [[Карл Ваерштрас|Ваерштраса]] (у сучасным варыянце — тэорыя бясконцых десятковых дробаў) і [[Дэдэкінд|Дэдэкіндава]] тэорыя сечываў у мностве рацыянальных лікаў<ref name="Пути"/><ref>
''Гл. асноўны артыкул [[Аксіаматыка рэчаісных лікаў]].''
{{кніга
|аўтар = Рыбников К. А.
|загаловак = История математики
|том = 2
|старонкі = 196
}}</ref>.
 
=== Праз фундаментальныя паслядоўнасці Кантара ===
Мноства рэчаісных лікаў <math>\mathbb{R}</math> можна вызначыць як [[поўная тапалагічная прастора|па-тапалагічнаму поўнае]], спарадкаванае [[Поле, алгебра|поле]], гэта значыць поле з адносінай <math>\leqslant</math>, якое задавальняе наступным аксіёмам:
 
У дадзеным падыходзе рэчаісны лік разглядаецца як [[мяжа паслядоўнасці]] рацыянальных лікаў. Каб паслядоўнасць рацыянальных лікаў збягалася, на яе накладваецца ''[[умова Кашы|ўмова Кашы&#769;]]'':
# Адносіны <math>\leqslant </math> з'яўляецца адносінамі лінейнага парадку:
<center>
#* Для любых <math>a,\;b\in\mathbb{R}</math> <math>a\leqslant b</math> або <math>b\leqslant a</math>;
<math>
#* Калі <math>a\leqslant b</math> і <math>b\leqslant a</math>, то <math>a=b</math> для любых <math>a,\;b\in\mathbb{R}</math>;
\forall \varepsilon > 0 \ \exists N(\varepsilon): \ \forall n > N(\varepsilon) \ \forall m > 0 \ | a_{n+m} - a_n | < \varepsilon
#* Калі <math>a\leqslant b</math> і <math>b\leqslant c</math>, то <math>a\leqslant c</math> для любых <math>a,\;b,\;c\in\mathbb{R}</math>;
</math>
# Парадак узгоднены са структурай поля:
</center>
#* Калі <math>a\leqslant b</math>, то <math>a+c\leqslant b+c</math> для любых <math>a,\; b,\;c\in\mathbb{R}</math>;
Сэнс гэтай умовы складаецца ў тым, што члены паслядоўнасці, пачынаючы з некаторага нумара, будуць ляжаць адвольна блізка адзін да аднаго. Паслядоўнасці, якія задавальняюць умову Кашы, называюцца ''фундаментальнымі''.
#* Калі <math>0\leqslant a</math> і <math>0\leqslant b</math>, то <math>0\leqslant ab</math>.
# Парадак на <math>\mathbb{R}</math> задавальняе ўмове поўнасці:
#* Хай <math>A,\;B\subset\mathbb{R}</math> - непустыя падмноствы, такія што <math>a\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>, тады існуе <math>c\in\mathbb{R}</math> такое, што <math>a\leqslant c\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>.
 
Рэчаісны лік, азначаны фундаментальнай паслядоўнасцю рацынальных лікаў <math>\{a_n\}</math>, пазначым <math>[a_n]</math>.
====Нататкі====
З уласцівасці 3 варта, што ў любога непустога абмежаванага зверху мноства <math>A\subset \Bbb{R}</math> (т.е. такога, што для ўсіх ''x'' з ''A'' усё <math>x\leqslant a</math> для некаторага <math>a\in\mathbb{R}</math>) існуе ''дакладная верхняя грань'' (мінімальная з усіх), гэта значыць лік <math>c\in\mathbb{R}</math> такое, што
# Для ўсіх ''x'' з ''A'' усё <math>x\leqslant c</math>
# Калі ўласцівасці (1) задавальняе таксама лік <math>b\in\Bbb{R}</math>, то <math>c\leqslant b</math>.
 
Два рэчаісных лікі
Наяўнасць дакладных верхніх граняў у абмежаваных зверху мноствах эквівалентна аксіоме поўнасці і часта замяняе яе ў аксіяматыцы поля <math>\Bbb{R}</math>.
<center>
<math>\alpha = [a_n]</math> і <math>\beta = [b_n]</math>,
</center>
азначаныя адпаведна фундаментальнымі паслядоўнасцямі <math>\{a_n\}</math> і <math>\{b_n\}</math>, называюцца [[Дачыненне раўназначнасці|''роўнымі'']], калі
<center>
<math>
\lim_{n \to \infty} \left ( a_n - b_n\right ) = 0
</math>
</center>
 
Хай дадзены два рэчаісныя лікі <math>\alpha = [a_n]</math> і <math>\beta = [b_n]</math>, то іх сумай і здабыткам называюцца лікі, азначаныя адпаведна сумай і здабыткам паслядоўнасцей <math>\{a_n\}</math> і <math>\{b_n\}</math>:
Любыя два поля з дачыненнем парадку, якія задавальняюць гэтым аксіёмам, [[ізамарфізм|ізаморфныя]], таму можна гаварыць, што існуе адзінае такое поле. (Насамрэч, правільней гаварыць, што адзіная ''структура'' поўнага спарадкаванага поля, кожнае поле, якое яе мае, служыць мадэллю мноства рэчаісных лікаў, бо любыя дзве мадэлі ізаморфныя.)
<center>
<math>
\alpha + \beta \ \overset{\text{def}}{=} \ [a_n + b_n], \qquad \alpha \cdot \beta \ \overset{\text{def}}{=} \ [a_n \cdot b_n].
</math>
</center>
 
[[Дачыненне парадку]] на мностве рэчаісных лікаў вызначаецца паводле пагаднення, адпаведна якому лік <math>\alpha=[a_n]</math> ''па азначэнні'' большы за лік <math>\beta=[b_n]</math>, г.зн. <math>\alpha > \beta</math>, калі
=== Папаўненне рацыянальных лікаў ===
<center><math>
\exists \varepsilon > 0 \ \exists N: \ \forall n > N \ a_n \ge b_n + \varepsilon
</math></center>
 
Спосаб пабудовы мноства рэчаісных лікаў з дапамогай фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў з'яўляецца асобным выпадкам пабудовы ''папаўнення'' адвольнай [[Метрычная прастора|метрычнай прасторы]]. Як і ў агульным выпадку, атрыманае ў выніку папаўнення мноства рэчаісных лікаў само ўжо з'яўляецца ''поўным'', г.зн. утрымлівае межы ўсіх фундаментальных паслядоўнасцей сваіх элементаў.
Рэчаісныя лікі <math>\Bbb{R}</math> могуць быць пабудаваныя як папаўненне мноства рацыянальных лікаў <math>\Bbb{Q}</math> па дачыненні да звычайнай метрыкі <math>d(r,\;q)=|r-q|</math>.
 
=== Праз бясконцыя дзесятковыя дробы ===
Больш дакладна, разгледзім усё [[фундаментальная паслядоўнасць|фундаментальныя паслядоўнасці]] рацыянальных лікаў <math>\{r_i\}</math>. На такіх паслядоўнасцях можна натуральнай выявай увесці арыфметычныя аперацыі: <math>\{r_i\} + \{q_i\} = \{r_i + q_i\}</math> і <math>\{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}</math>.
 
Рэчаісны лік азначаецца як ''бесконцы дзесятковы дроб'', гэта значыць выраз выгляду
Дзве такія паслядоўнасці <math>\{r_i\}\,\!</math> і <math>\{q_i\}\,\!</math> лічацца эквівалентнымі <math>(\{r_i\} \sim \{q_i\})</math>, калі <math>|r_i-q_i|\to 0</math> пры <math>i\to \infty</math>.
<center>
<math>
\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots
</math>
</center>
дзе <math>\pm</math> ёсць адным са знакаў <math>+</math> ці <math>-</math>, называны знакам ліку, <math>a_0</math> — цэлы неадмоўны лік, <math>a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots</math> — паслядоўнасць дзесятковых знакаў, г. зн. элементаў лікавага мноства <math>\{0, 1, \ldots 9\}</math>.
 
Бясконцы дзесятковы дроб можна вытлумачыць як такі лік, што ляжыць на лікавай прамой між ''рацыянальнымі'' лікамі выгляду
Мноства рэчаісных лікаў можна вызначыць як [[клас эквівалентнасці|класы эквівалентнасці]] гэтых паслядоўнасцяў.
<center>
<math>\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n</math> і <math>\pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n} \right )</math>
для ўсіх <math>n=0, 1, 2, \ldots</math>
</center>
 
Параўнанне рэчаісных лікаў у форме бясконцых дзесятковых дробаў ажыццяўляецца паразрадна. Напрыклад, няхай дадзены два неадмоўныя лікі
=== Дэдэкіндавы сячэнні ===
<center>
<math>
\begin{matrix}
\alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\
\beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots
\end{matrix}
</math>
</center>
Калі <math>a_0 < b_0</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; калі <math>a_0 > b_0</math> то <math>\alpha > \beta</math>. У выпадку роўнасці <math>a_0 = b_0</math> пераходзяць да параўнання наступнага разрада. І гэтак далей. Калі <math>\alpha \neq \beta</math>, то пасля концага ліку крокаў сустрэнецца першы разрад <math>n</math>, такі што <math>a_n \neq b_n</math>. Калі <math>a_n < b_n</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; калі <math>a_n > b_n</math>, то <math>\alpha > \beta</math>.
 
Аднак, пры гэтым трэба улічваць, што лік <math>a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n}</math>. Таму калі запіс аднаго з параўноўваных лікаў, пачынаючы з некаторага разрада, уяўляе сабой перыядычны дзесятковы дроб, дзе ў перыядзе стаіць 9, то яе трэба замяніць на раўназначны запіс, дзе ў перыядзе нуль.
''Гл. асноўны артыкул [[Дэдэкіндава сячэнне]].''
 
Арыфметычныя аперацыі над бясконцымі дробамі азначаюцца як ''непарыўны працяг''<ref>
'''Дэдэкіндава сячэнне''' — гэтае разбіццё мноства рацыянальных лікаў <math>\mathbb{Q}</math> на два падмноства <math>A</math> і <math>B</math> такія, што:
Раз на мностве рэчаісных лікаў ужо ўведзена дачыненне лінейнага парадку, то мы можам вызначыць тапалогію лікавай прамой: у якасці адкрытых мностваў возьмем усемагчымыя аб'яднанні прамежкаў выгляду <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math>
# <math>a\leqslant b</math> для любых <math>a\in A</math> і <math>b\in B</math>;
</ref> адпаведных аперацый над рацыянальнымі лікамі. Напрыклад, сумай рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> называецца рэчаісны лік <math>\alpha + \beta</math>, які задавальняе ўмову:
# <math>B</math> не мае мінімальнага элемента.
<center>
<math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')
</math>
</center>
Падобным жа чынам азначаеца і аперацыя множання бясконцых дзесятковых дробаў. Здабыткам двух ''дадатных'' рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> называецца рэчаісны лік <math>\alpha \cdot \beta</math>, які задавальняе наступную умову:
<center>
<math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' > 0) \and (b' > 0) \and (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a'' \cdot b'')
</math>
</center>
Як і ў выпадку складання, лік, які задавальняе гэту ўмову, існуе і адзіны. Пасля гэтага лёгка вызначыць множанне двух рэчаісных лікаў з ''адвольнымі'' знакамі.
 
Можна праверыць, што ўведзеныя на мностве рэчаісных лікаў аперацыі складання і множання супадаюць з аперацыямі складання і множання рацыянальных лікаў.
Мноства рэчаісных лікаў вызначаецца як мноства дэдэкіндавых сячэнняў.
На іх магчыма працягнуць аперацыі складання і множання.
 
=== Праз сечывы ў мностве рацыянальных лікаў ===
Напрыклад, рэчаіснаму ліку <math>\sqrt 2</math> адпавядае дэдэкіндава сячэнне, вызначанае <math>A=\{x\in\mathbb Q\mid x<0</math> або <math>x^2\leqslant2\}</math> і <math>B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0</math> і <math>x^2>2\}</math>.
Інтуітыўна, можна ўявіць сабе, што для таго каб вызначыць <math>\sqrt 2</math> мы рассяклі мноства на дзве часткі: усё лікі, што лявей <math>\sqrt 2</math> і ўсё лікі, што правей <math>\sqrt 2</math>; адпаведна, <math>\sqrt 2</math> роўна [[дакладная ніжняя грань|дакладнай ніжняй грані]] мноства B.
 
У падыходзе Дэдэкінда лікі азначаюцца з дапамогай сечываў у мностве рацыянальных лікаў.
=== Бясконцыя дзесятковыя дробы ===
Тэорыя Дэдэкінда, пабудаваная ў 1858 годзе, была выдадзена ў 1872 годзе ў невялікай кніжцы "Непарыўнасць і ірацыянальныя лікі" ({{lang-de|"Stetigkeit und irrationale Zahlen"}})<ref>
{{кніга
|аўтар = Рихард Дедекинд
|загаловак = Непрерывность и иррациональные числа
|адказны =
|спасылка = http://www.mathesis.ru/book/dedekind4
|месца = Одесса
|выдавецтва =
|год = 1923
|том =
|старонак =
|старонкі =
|isbn =
}}
</ref>. І на сённяшні дзень гэта кніжка застаецца адной з лепшых па яснаці і даступнасці выкладання дадзенага пытання.
 
''Сечывам'' у мностве рацыянальных лікаў <math>\mathbb{Q}</math> называецца ўсякая разбіўка сукупнасці ўсіх рацыянальных лікаў на два непустых падмноствы, ці ''класа'' — ''ніжні'' <math>A</math> і ''верхні'' <math>A'</math>, так што кожны лік з ніжняга класа строга меншы за любы лік з верхняга:
Такое заданне, як правіла, практыкуецца ў школьнай праграме і шмат у чым падобна на папаўненне рацыянальных лікаў.
<center>
<math>
\mathbb{Q} = A \cup A' \qquad \and \qquad A, A' \neq \varnothing \qquad \and \qquad \forall a \in A, \forall a' \in A' \ (a < a')
</math>
</center>
 
Калі існуе лік <math>\alpha</math>, які ёсць найбольшым у ніжнім класе, альбо найменшым у верхнім класе, то гэты лік число ''падзяляе'' мноствы <math>A</math> і <math>A'</math>: лікі ніжняга і верхняга класаў ляжаць па розныя бакі ад <math>\alpha</math>. Таксама кажуць, што рацыянальны лік <math>\alpha</math> ''учыняе'' дадзенае сечыва мноства рацыянальных лікаў.
Бясконцай [[дзесятковы дроб|дзесятковым дробам]] (са знакам) завецца [[паслядоўнасць]] выгляду <math>\pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots</math>, дзе <math>d_i</math> з'яўляюцца [[арабскія лічбы|дзесятковымі лічбамі]], гэта значыць <math>0\leqslant d_i< 10</math>.
 
Калі ж у ніжнім падмностве няма найбольшага элемента, а ў верхнім - найменшага, то не існуе ніякага рацыянальнага ліку, які падзяляў бы мноствы <math>A</math> і <math>A'</math>. У гэтым выпадку па азначэнні прымаюць, што гэта сечыва ''вызначае'' некаторы ''ірацыянальны лік'' <math>\alpha</math>, які знаходзіцца паміж ніжнім і верхнім класамі, і тым самым учыняе дадзенае сечыва. Інакш кажучы, для ўсякага сечыва, што не ўчыняецца ніякім ''рацыянальным'' лікам, уводзяць новы аб'ект — ''ірацыянальны'' лік, які па азначэнні большы за ўсякі лік з ніжняга падмноства і меншы за ўсякі лік з верняга падмноства:
<center>
<math>
\forall a \in A, \forall a' \in A' \; a < \alpha < a'
</math>
</center>
 
Сукупнасць усіх рацыянальных і ўсіх ірацыянальных лікаў называюць ''мноствам рэчаісных лікаў'', а яго элементы — ''рэчаіснымі лікамі''.
 
Арыфметычныя аперацыі над рэчаіснымі лікамі азначаюцца як ''непарыўны працяг'' адпаведных аперацый над рацыянальнымі лікамі. Напрыклад, сумай рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> называецца рэчаісны лік <math>\alpha + \beta</math>, які задавальняе наступную ўмову:
<center>
<math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')
</math>
</center>
 
== Аксіяматычны падыход ==
Пабудаваць мноства рэчаісных лікаў можна рознымі спосабамі. У тэорыі Кантара рэчаісныя лікі - гэта класы эквівалентных фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, у тэорыі Ваерштраса - бясконцыя дзесятковыя дробы, у тэорыі Дэдэкінда — сечывы ў мностве рацыянальных лікаў. Ва ўсіх гэтых падыходах у выніку мы атрымліваем нейкае мноства аб'ектаў (рэчаісных лікаў), які маюць пэўныя ўласцівасці: іх можна складваць, перамнажаць, параўноўваць між сабою. Да таго ж, калі высветлены ўласцівасці гэтых аб'ектаў, мы можам больш не звяртацца да гэтых пэўных канструкцый, з дапамогай якіх яны былі пабудаваны.
 
У [[матэматыка|матэматыцы]] істотнымі з'яўляюцца не пэўныя пабудаванні аб'ектаў, а толькі матэматычныя суадносіны між самімі аб'ектамі.
 
Чалавеку, які даследуе матэматычнае паняцце [[магутнасць мноства|колькасці элементаў]], няма розніцы, пра што казаць — пра тры яблыкі ці пра тры камяні, і іх ядомасць ці неядомасць не мае значэння. Падчас адцягнення ад неістотных прыкмет, г.зн. [[Абстракцыя|абстрагавання]] ({{lang-la|abstractio}} — адцягненне), ён прыходзіць да таго агульнага, што ўласціва і тром яблыкам, і тром камяням — колькасці элементаў. Так узнікае адцягненае паняцце [[Натуральны лік|натуральнага ліку]]. З такога пункту гледжання тры яблыкі і тры камяні - два пэўных увасабленні, ''мадэлі'' адцягненага паняцця "лік тры".
 
Гэтак жа сама класы фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, бясконцыя дзесятковыя дробы і сечывы ў мностве рацыянальных лікаў ёсць усяго толькі пэўнымі ўвасабленнямі рэчаіснага ліку. Само ж паняцце рэчаіснага ліку вызначаецца істотнымі для яго матэматычнымі суадносінамі. Як толькі яны вызначаны, адразу ж вызначана і паняцце рэчаіснага ліку.
 
Тут дарэчы прывесці знакамітае выказванне [[Давід Гільберт|Д. Гільберта]], заснавальніка паслядоўнага [[Аксіяматычны падыход|аксіяматычнага падыхода]] ў матэматыцы. Гільберт, маючы на ўвазе [[Аксіяматыка Гільберта|аксіяматычныя асновы геаметрыі]], неяк заўважыў:
{{цытата
|аўтар = Давід Гільберт<ref>{{кніга
|аўтар = Рид К.
|загаловак = Гильберт
|старонкі = 79
}}</ref>
|Варта намагчыся таго, каб з аднолькавым поспехам можна было казаць замест пунктаў, прамых і пласкасцей пра сталы, стулы і піўныя кружкі.
}}
 
=== Аксіёмы рэчаісных лікаў ===
''Мноства <math>\R</math> называецца мноствам рэчаісных лікаў, а ягоныя элементы — рэчаіснымі лікамі, калі задавальняецца наступная сукупнасць умоваў, называная [[аксіёма|аксіяматыкай]] рэчаісных лікаў:''
 
==== Аксіёмы поля ====
На мностве <math>\R</math> вызначана [[адлюстраванне]] (''[[бінарная аперацыя|аперацыя]] складання'')
<center>
<math>+ : \R \times \R \to \R</math>,
</center>
якая супастаўляе кожнай упарадкаванай пары элементаў <math>a, b</math> з <math>\R</math> некаторы элемент <math>c</math> з таго ж мноства <math>\R</math>, называны ''сумай'' <math>a</math> і <math>b</math> (сума элементаў <math>a</math> і <math>b</math> пазначаецца праз <math>a+b</math>).
 
Таксама, на мностве <math>\R</math> вызначана адлюстраванне (''аперацыя множання'')
<center>
<math>\cdot : \R \times \R \to \R</math>
</center>
якая ставіць у адпаведнасць кожнай упарадкаванай пары элементаў <math>a, b</math> з <math>\R</math> некаторы элемент <math>a \cdot b</math>, называны ''здабыткам'' <math>a</math> і <math>b</math>.
 
Пры гэтым выконваюцца наступныя законы.
 
'''Аксіёмы абелевай групы для складання:'''
 
: <math>\text{I}_{1}. </math> ''Перастаўляльнасць (камутатыўнасць) складання.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a + b = b + a
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{2}.</math> ''Спалучальнасць (асацыятыўнасць) складання.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a + (b + c) = (a + b) + c
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{3}.</math> ''Існаванне нуля.'' Існуе элемент <math>0 \in \R</math>, называны ''нулём'', такі што для любога <math>a \in \R</math>
<center><math>
a + 0 = a
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{4}.</math> ''Існаванне супрацьлеглага элемента.'' Для любога <math>a \in \R</math> існуе элемент <math>-a \in \R</math>, называны ''процілеглым'' да <math>a</math>, такі што
<center><math>
a + (-a) = 0
</math></center>
 
'''Аксіёмы абелевай групы для складання:'''
 
: <math>\text{I}_{5}.</math> ''Перастаўляльнасць множання''. Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a \cdot b = b \cdot a
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{6}.</math> ''Спалучальнасць множання''. Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center><math>
a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{7}.</math> ''Існаванне адзінкі''. Існуе элемент <math>1 \in R</math>, называны ''адзінкаю'', такі што для любога <math>a \in R</math>
<center><math>
a \cdot 1 = a
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{8}.</math> ''Існаванне адваротнага элемента''. Для любога <math>a \in \R, a \neq 0</math> існуе элемент <math>a^{-1} \in \R</math>, які пазначаецца таксама як <math> 1/a </math> і называецца ''адваротным'' да <math>a</math>, такі што
<center><math>
a \cdot a^{-1} = 1
</math></center>
 
'''Аксіёмы колца для складання і множання''':
 
: <math>\text{I}_{9}.</math> ''Размеркавальны (дыстрыбутыўны) закон множання адносна складання''. Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center><math>
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
</math></center>
 
: <math>\text{I}_{10}.</math> ''Нетрывіяльнасць поля''. ''Адзінка'' і ''ноль'' — розныя элементы <math>\R</math>:
<center>
<math>1 \neq 0</math>
</center>
 
==== Аксіёмы парадку ====
Між элементамі <math>\R</math> вызначана дачыненне <math>\leqslant</math>, гэта значыць для любой упарадкаванай пары элементаў <math>a,b</math> з <math>\R</math> вызначана: выконваецца дачыненне <math>a \leqslant b</math> ці не. Пры гэтым справядлівыя наступныя ўласцівасці.
 
: <math>\text{II}_{1}.</math> ''Рэфлексіўнасць (самадачыненасць).'' Для любого <math>a \in \R</math>
<center>
<math>a \leqslant a</math>
</center>
 
: <math>\text{II}_{2}.</math> ''Антысіметрычнасць (проціперастаўляльнасць).'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \and (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)</math>
</center>
 
: <math>\text{II}_{3}.</math> ''Транзітыўнасць (пераходнасць).'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \and (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)</math>
</center>
 
: <math>\text{II}_{4}.</math> ''Лінейная ўпарадкаванасць.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \or (b \leqslant a)</math>
</center>
 
: <math>\text{II}_{5}.</math> ''Узгодненасць парадка са складаннем.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>
<center>
<math>(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)</math>
</center>
 
: <math>\text{II}_{6}.</math>''Узгодненасць парадка з множаннем.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>
<center>
<math>(0 \leqslant a) \and (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)</math>
</center>
 
==== Аксіёмы непарыўнасці ====
: <math>\text{III}_{1}.</math> Якія б ні былі непустыя мноствы <math>A \subset \mathbb{R}</math> и <math>B \subset \mathbb{R}</math>, такія што для любых двух элементаў <math>a \in A</math> і <math>b \in B</math> праўдзіцца няроўнасць <math>a \leqslant b</math>, існуе такі лік <math>\xi \in \R</math>, што для ўсіх <math>a \in A</math> і <math>b \in B</math> праўдзяцца суадносіны
<center><math>a \leqslant \xi \leqslant b</math></center>
 
==== Заўвагі да аксіёмаў ====
 
Гэтых аксіёмаў дастаткова, каб строга вывесці ўсе вядомыя ўласцівасці рэчаісных лікаў<ref>
{{кніга
|аўтар = Кудрявцев Л. Д.
|загаловак = Курс математического анализа
|том = 1
}}</ref>.
 
На мове сучаснай алгебры аксіёмы першай групы азначаюць, што мноства <math>\R</math> ёсць [[Поле (алгебра)|полем]]. Аксіёмы другой групы — што мноство <math>\R</math> ёсць [[Лінейна ўпарадкаванае мноства|лінейна ўпарадкаваным мноствам]] (<math>\text{II}_{1}</math> — <math>\text{II}_{4}</math>), прычым дачыненне парадку ўзгоднена са структурай поля <math>\text{II}_{5}</math> — <math>\text{II}_{6}</math>. Мноствы, якія задавальняюць аксіёмы першай і другой групы, называюцца ''[[упарадкаванае поле|упарадкаванымі палямі]]''. Нарэшце, апошняя група, якая складаецца з адной аксіёмы, сцвярджае, што мноства рэчаісных лікаў мае ўласцівасць ''непарыўнасці'', якое таксама называюць ''паўнатой''. У выніку, можна даць раўназначнае азначэнне мноства рэчаісных лікаў.
 
'''''Азначэнне.''''' ''Мноствам рэчаісных лікаў называецца непарыўнае ўпарадкаванае поле.''
 
=== Іншыя сістэмы аксіём рэчаісных лікаў ===
Існуюць і іншыя спосабы аксіяматызацыі рэчаісных лікаў. Напрыклад, замест аксіёмы непарыўнасці <math>\text{III}_{1}</math> можна выкарыстоўваць любую раўназначную ёй умову, ці сукупнасць умоваў. Напрыклад, у сістэме аксіём, прапанаванай Гільбертам, аксіёмы групаў <math>\text{I}</math> і <math>\text{II}</math>, па сутнасці, тыя ж, што і вышэйпрыведзеныя, а замест аксіёмы <math>\text{III}_{1}</math> выкарыстоўваюцца наступныя дзве ўмовы:
 
: <math>\text{III}_{1}'.</math> ''[[Аксіёма Архімеда]].'' Няхай <math>a > 0</math><ref>
няроўнасць <math>a > 0</math> раўназначная па азначэнні сістэме няроўнасцей <math>a \geqslant 0</math> і <math>a \neq 0</math>
</ref> і <math>b > 0</math>. Тады элемент <math>a</math> можна паўтарыць складнікам концую колькасць разоў так, што ўтвораная ў выніку сума пераўзыдзе <math>b</math>:
<center>
<math>
a + a + \ldots + a > b
</math>
</center>
 
: <math>\text{III}_{2}'.</math> ''Аксіёма паўнаты (у сэнсе Гільберта).'' Мноства <math>\R</math> немагчыма пашырыць ні да якага іншага мноства <math>\R^{*}</math> такім чынам, каб пры захаванні ўсіх папярэдніх дачыненняў паміж элементамі <math>\R</math>, для <math>\R^{*}</math> выконваліся б усе аксіёмы <math>\text{I}</math>—<math>\text{II}</math>, <math>\text{III}_{1}'.</math>.
 
Такім чынам, можна даць яшчэ адно раўназначнае азначэнне:
 
'''''Азначэнне.''''' ''Мноства рэчаісных лікаў ёсць найшырэйшым архімедавым упарадкаваным полем''.
 
У якасці яшчэ аднаго прыклада аксіяматызацыі рэчаісных лікаў можна прывесці {{не перакладзена|ёсць = :en:Tarski's axiomatization of the reals|трэба = Аксиоматика Тарского|тэкст = аксіяматыку Тарскага}}, якая складаецца ўсяго з 8 аксіёмаў.
 
 
== Прыклады ==
* Рацыянальныя лікі — 32, 36/29.
* Ірацыянальныя лікі — [[Пі, лік|<math>\pi</math>]], <math>\sqrt 2</math>.
 
== Крыніцы і заўвагі ==
Дзве паслядоўнасці завуцца эквівалентнымі, калі яны альбо супадаюць, альбо іх якія адрозніваюцца «хвасты» маюць выгляд <math>d999\ldots</math> і <math>(d+1)000\ldots</math>, дзе <math>0\leqslant d\leqslant8</math>, альбо калі гэта «нулявыя» паслядоўнасці (усё <math>d_i</math> роўныя 0), што адрозніваюцца толькі знакам.
 
<references/>
Рэчаісныя лікі вызначаюцца як класы эквівалентнасці дзесятковых дробаў. Аперацыі на дзесятковых дробах вызначаюцца пазіцыйна падобна аперацыям над цэлымі лікамі ў пазіцыйных сістэмах злічэння.
 
== Літаратура і спасылкі ==
Значэнне дзесятковага дробу фармальна задаецца сумай шэрагу <math>\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}</math>.
* С. Б. Стечкин. Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»
 
* ''Кириллов, А. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/chislo.htm Что такое число?] // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
{{зноскі}}
 
* ''Понтрягин, Л. С.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm Обобщения чисел] // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.
== Літаратура ==
* Сапраўдны лік // БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.
* ''Стечкин С. Б.'' Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»
* ''Кириллов, А. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/chislo.htm Что такое число?] // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
* ''Понтрягин, Л. С.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm Обобщения чисел] // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.
 
== Гл. таксама ==
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Рэчаісны_лік"