Вікіпедыя

Вытворная функцыі: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
MerlIwBot (размовы | уклад)
67 010 правак
др робат выняў: zh-yue:微分 (strongly connected to be:Дыферэнцыяльнае злічэнне)
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1:
[[Выява:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|400px| У кожным пункце вытворная функцыі <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2)</math> роўная тангенсу вугла [[нахіл]]у [[датычная (Геаметрыя)|датычнай]] да графіка функцыі. Прамая на рысунку ёсць датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.]]
'''Вытворная''' — асноўнае паняцце [[дыферэнцыяльнае вылічэнне|дыферэнцыяльнага вылічэння]], якое характарызуе хуткасць змену функцыі. Вызначаецца як [[Ліміт функцыі|ліміт]] адносіны прырашчэння функцыі да прырашчэння яе [[Функцыя (матэматыка)|аргументу]] пры імкненні прырашчэння аргументу да [[Нуль (лік)|нулю]], калі такі ліміт існуе. Функцыю, якая мае канчатковую вытворную, завуць дыферэнцаванай. Працэс вылічэння вытворнай завецца '''дыферынцыраваннем'''.
 
'''Вытво{{націск}}рная''' фу{{націск}}нкцыі — асноўнае паняцце [[дыферэнцыяльнае злічэнне|дыферэнцыяльнага злічэння]], якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як [[Граніца функцыі|граніца]] [[дзель двух лікаў|дзелі]] прыросту функцыі да прыросту яе [[Функцыя|аргумента]] пры імкненні прыросту аргумента да [[Нуль (лік)|нуля]], калі такая граніца існуе.
 
Функцыю, якая мае концую вытворную на нейкім мностве, называюць '''дыферэнцава{{націск}}льнай''' на гэтым мностве.
 
Працэс знаходжання вытворнай называецца '''дыферэнцава{{націск}}ннем'''.
 
== Азначэнне ==
 
{{multiple image
Хай у некаторым [[Наваколле|наваколлі]] [[Кропка|кропкі]] <math>x_0 \in \R</math> вызначаная [[Функцыя (матэматыка)|функцыя]] <math>f:U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Вытворнай функцыі <math>f</math> у кропцы <math>x_0</math> завецца [[Ліміт функцыі|ліміт]], калі ён існуе,
| зона = right
: <math>\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.</math>
| кірунак = vertical
Агульнапрынятыя пазначэнні вытворнай функцыі <math>y=f(x)</math> у кропцы <math>x_0</math>:
| загаловак = Скорасць змянення як гранічнае значэнне
: <math>f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).</math>
| зона_загалоўка = center
Зазначым, што апошняе звычайна пазначае вытворную па часе (у [[Тэарэтычная механіка|тэарэтычнай механіцы]]).
| подпіс =
| зона_подпісу = center
| выява1 = Tangent-calculus.svg
| подпіс1 = '''Рысунак 1'''. [[Датычная (геаметрыя)|Датычная]] ў пункце {{math|(''x'', ''f''(''x''))}}
| шырыня1 = 250
| выява2 = Secant-calculus.svg
| подпіс2 = '''Рысунак 2'''. [[Сякучая прамая|Сякучая]] да крывой {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}, вызначаная пунктамі {{math|(''x'', ''f''(''x''))}} і {{math|(''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))}}
| шырыня2 = 250
| выява3 = Lim-secant.svg
| подпіс3 = '''Рысунак 3'''. Датычная як граніца сякучых
| шырыня3 = 250
| box_caption = Скорасць змянення як гранічнае значэнне
}}
 
Няхай у некаторым [[Наваколле (матэматыка)|наваколлі]] <math>U(x_0)\subset \R</math> [[Пункт|пункта]] <math>x_0 \in \R</math> вызначана [[функцыя]] <math>f:U(x_0) \to \R.</math>
== Дыферэнцыруемасць ==
 
'''Вытво{{націск}}рнаю''' функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> называецца [[Граніца функцыі|граніца]]
{{main|Дыферэнцыраваная функцыя}}
: <math>f'(x_0) := \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},</math>
калі яна існуе і концая.
 
Вытворную функцыі <math>y=f(x)</math> у пункце <math>x_0</math> звычайна пазначаюць адным з наступных спосабаў
Вытворная <math>f'(x_0)</math> функцыі <math>f</math> у кропцы <math>x_0</math>, з'яўляючыся лімітам, можа не існаваць або існаваць і быць канчатковай або бясконцай. Функцыя <math>f</math> з'яўляецца дыферэнцаванай у кропцы <math>x_0</math> тады і толькі тады, калі яе вытворная ў гэтай кропцы існуе і канчатковая:
: <math>\bigl( f \in \mathcal{D}'(x_0), \bigr)quad \Leftrightarrow \bigl( \existsD f'(x_0), \inquad \frac{df(-\inftyx_0)}{dx},</math>&emsp;або&emsp;<math>\infty)\bigrdot{y}(x_0).</math>
Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].
Для дыферэнцаванай у <math>x_0</math> функцыі <math>f</math> у наваколлі <math>U(x_0)</math> справядліва паданне
: <math>f(x) = f(x_0) + f ' (x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)</math> пры <math>x \to x_0.</math>
 
''Заўвага'': Вытворная <math>f'(x_0)</math> функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> па азначэнні ёсць граніцаю, а таму можа існаваць або не, і быць концай або бясконцай.
== Заўвагі ==
 
== Спалучаныя з азначэннем паняцці ==
* Назавем <math>\Delta x = x - x_0</math> [[прырашчэнне]]м аргументу функцыі, а <math>\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)</math> прырашчэннем значэння функцыі ў кропцы <math>x_0.</math> Тады
 
* Назавём <math>\Delta x = x - x_0</math> '''прыро{{націск}}стам аргуме{{націск}}нта''' функцыі, а <math>\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)</math> '''прыро{{націск}}стам значэ{{націск}}ння''' функцыі ў пункце <math>x_0.</math> Тады
*: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>
* ХайНяхай функцыя <math>f:(a,b) \to \R</math> мае канчатковуюконцую вытворную ў кожнайкожным кропцыпункце <math>x_0 \in (a,b).</math> Тады вызначанаявызначана '''вытворнаявытво{{націск}}рная функцыяфу{{націск}}нкцыя'''
*: <math>f':(a,b) \to \R.</math>
* Калі вытворная функцыя сама ёсць непарыўнай, то функцыю <math>f</math> называюць '''непары{{націск}}ўна дыферэнцава{{націск}}льнай''' і пішуць: <math>f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).</math>
* Функцыя, якая мае канчатковую вытворную ў кропцы, [[Бесперапынная функцыя|бесперапынная]] у ёй. Зваротна, наогул гаворачы, няслушна.
 
* Калі вытворная функцыя сама з'яўляецца бесперапыннай, то функцыю <math>f</math> завуць '''бесперапынна дыферынцыруемай''' і пішуць: <math>f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).</math>
== Дыферэнцавальнасць ==
 
{{main|Дыферэнцавальная функцыя}}
 
Функцыя адной зменнай {{math|''f''(''x'')}} называецца '''дыферэнцава{{націск}}льнай''' у пункце {{math|''x''<sub>0</sub>}}, калі існуе концы лік {{math|''A''}}, такі што ў некаторым [[наваколле пункта|наваколлі]] {{math|''U''(''x''<sub>0</sub>)}} пункта {{math|''x''<sub>0</sub>}} справядліва роўнасць
: <math>f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + o(x-x_0)</math>&emsp;пры&emsp;<math>x \to x_0,</math>
дзе {{math|''o''(''x''-''x''<sub>0</sub>)}} ёсць [[бясконца малая велічыня|бясконца малой велічынею]] пры {{math|''x'' → ''x''<sub>0</sub>}}.
 
'''Тэарэма'''
:Функцыя адной зменнай <math>f(x)</math> ёсць дыферэнцавальнай у пункце <math>x_0</math>, калі і толькі калі яе вытворная <math>f'(x_0)</math> ў гэтым пункце існуе і концая. Пры гэтым праўдзіцца роўнасць
:<math>A = f'(x_0).</math>
 
''Заўвага'': для функцыі адной зменнай існаванне концай вытворнай і дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце раўназначныя між сабою. Аднак у выпадку функцый некалькіх зменных гэта не так: з дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце вынікае існаванне [[частковая вытворная|частковых вытворных]], але не наадварот (гэта значыць, з існавання частковых вытворных у пункце, увогуле кажучы, '''не''' вынікае дыферэнцавальнасць функцыі).
 
== Вытворныя вышэйшых парадкаў ==
Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца [[Зваротны стасунак|зваротным чынам]] праз вытворныя ніжэйшых парадкаў. А іменна, прымаем па азначэнні, што вытворная нулявога парадку - гэта сама функцыя:
: <math>f^{(0)}(x_0) := f(x_0).</math>
Калі функцыя <math>f</math> дыферэнцавальная ў <math>x_0</math>, то вытворная першага парадку вызначаецца стасункам
: <math>f^{(1)}(x_0) := f'(x_0).</math>
Няхай цяпер вытворная {{math|''n''}}-га парадку <math>f^{(n)}</math> вызначана ў некаторым наваколлі кропкі <math>x_0</math> і дыферэнцавальная. Тады {{math|(''n''+1)}}-ая вытворная вызначаецца як вытворная {{math|''n''}}-ай вытворнай:
: <math>f^{(n+1)}(x_0) := \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>
 
Вытворныя вышэйшых парадкаў пазначаюцца адным з наступных спосабаў:
: <math>f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0),</math>&emsp;або&emsp;<math>\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.</math>
Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].
 
==Абазначэнні вытворнай==
 
===[[Ляйбніц, Готфрыд Вільгельм|Ляйбніцавы]] абазначэнні===
 
Абазначэнні, уведзеныя [[Ляйбніц, Готфрыд Вільгельм|Готфрыдам Ляйбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі раўнанне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная пазначаецца як
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> або <math>\frac{d}{dx}f(x),</math>
 
Калісь такі запіс разглядалі як [[дзель двух лікаў|дзель]] двух [[бясконца малая велічыня|бясконца малы{{націск}}х]].
 
Вытворную ''n''-га парадку функцыі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} (па зменнай {{math|''x''}}) запісваюць як
: <math>\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),</math>&emsp;або&emsp;<math>\frac{d^n}{dx^n}f(x).</math>
 
Па сутнасці, гэтыя абазначэнні ёсць скарачэннем для кратнага прымянення [[Аператар (матэматыка)|аператара]] вытворнай. Напрыклад,
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
 
У Ляйбніцавых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''y''}} у пункце {{math|''x'' {{=}} ''a''}} можна запісаць двума шляхамі:
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>
 
Абазначэнні Ляйбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку "дробу"). Гэта асабліва зручна для [[частковая вытворная|частковых вытворных]]. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць [[вытворная складанай функцыі|правіла цэ{{націск}}па]]<ref>
Пры пабудове матэматычнага аналізу на аснове паняцця [[граніца (матэматыка)|граніцы]], сімвал {{math|''du''}} розныя аўтары разглядаюць па-рознаму. Некаторыя аўтары не налучаюць ніякім сэнсам сімвал {{math|''du''}} сам па сабе, і разглядаюць яго толькі як частку складанага сімвала {{math|''du''/''dx''}}. Іншыя ж вызначаюць {{math|''dx''}} як незалежную зменную, а сімвал {{math|''du''}} - як {{math|''du'' {{=}} ''f''&prime;(''x'')·''dx''}}. У [[нестандартны аналіз|нестандартным аналізе]] {{math|''du''}} вызначаецца як бясконца малая велічыня. Яе таксама вытлумачваюць як [[вонкавая вытворная|вонкавую вытворную]] функцыі {{math|''u''}}. Падрабязней гл. [[дыферэнцыял (бясконца малая)]].
</ref>:
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>
 
===[[Жазэф_Луі_Лагранж|Лагранжавы]] абазначэнні===
Гэтыя абазначэнні былі ўведзены [[Жазэф Луі Лагранж|Жазэ{{націск}}фам-Луі{{націск}} Лагра{{націск}}нжам]], і з'яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''f''(''x'')}} запісваюць як {{math|''f''&prime;(''x'')}} ці проста {{math|''f''&prime;}}, выкарыстоўваючы [[Штрых (сімвал)|сімвал штрыха]]. Таму такія абазначэнні часам называюць '''штрыхавымі'''<ref>
{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}
</ref>. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:
:<math>(f')'=f''</math>&emsp;і&emsp;<math>(f'')'=f'''.</math>
Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзніквае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:
:<math>f^{\mathrm{iv}}</math>&emsp;або&emsp;<math>f^{(4)}.</math>
Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс {{math|''f''<sup> (''n'')</sup>}} для ''n''-ай вытворнай функцыі {{math|''f''}} найболей ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай "імя" зменнай), тады як Ляйбніцавы абазнчэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.
 
===[[Ісаак Ньютан|Ньютанавы]] абазначэнні===
 
[[Ісаак Ньютан|Ньютан]]авы абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя ''кропкавымі абазначэннямі'', выкарыстоўваюць кропкі, якія змяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''t'')}}, тады запісы
:<math>\dot{y}</math>&emsp;і&emsp;<math>\ddot{y}</math>
абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя {{math|''y''}} па зменнай {{math|''t''}}. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння [[вытворная па часе|вытворных па часе]], маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі ёсць [[час|часам]] (г.зн. адлюстроўвае ход [[час|часу]]). Такія пазначэнні дужа распаўсюджаныя ў [[фізіка|фізіцы]] (асабліва ў [[механіка|механіцы]]) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як [[дыферэнцыяльныя раўнанні]]. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.
 
===[[Леанард Ойлер|Ойлеравы]] абазначэнні===
 
[[Леанард Ойлер|Ойлер]]авы абазначэнні выкарыстоўваюць [[дыферэнцыяльны аператар]] {{math|''D''}}, прымяненне якога да функцыі {{math|''f''}} дае першую вытворную {{math|''Df''}}. Другая вытворная пазначаецца як {{math|''D''<sup>2</sup>''f''}}, а ''n''-ая вытворная пазачаецца як {{math|''D''<sup>''n''</sup>''f''}}.
 
Няхай {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} ёсць функцыяй. Каб падкрэсліць зменную, па якой адбываецца дыферэнцаванне, да сімвала {{math|''D''}} далучаюць ніжні індэкс {{math|''x''}}. Тады Ойлеравы пазначэнні запісваюцца як
:<math>D_x y</math>&emsp;або&emsp;<math>D_x f(x)</math>.
Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі {{math|''x''}} адзіная зменная ў выразе.
 
Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання [[лінейнае дыферэнцыяльнае раўнанне|лінейных дыферэнцыяльных раўнанняў]].
 
== Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай ==
Радок 31 ⟶ 126:
{{main|Датычная прамая}}
 
Калі функцыя <math>f:U(x_0) \to \R</math> мае канчатковуюконцую вытворную ў кропцыпункце <math>x_0,</math> то ў наваколлі <math>U(x_0)</math> яе можна наблізіць [[Лінейная функцыя|лінейнай функцыяй]]
: <math>f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Функцыя <math>f_l</math> завеццавызначае датычнайдатычную да графіка <math>f</math> у кропцыпункце <math>x_0.</math> Лік <math>f'(x_0)</math> з'яўляеццароўны вуглавымвуглавому каэфіцыентамкаэфіцыенту або [[тангенс]]аму [[Вугал|вугла]] [[нахіл]]у датычнай прамой.
 
=== Хуткасць зменызмянення функцыі ===
 
Хай <math>s=s(t)</math> — закон прамалінейнага [[Механічны рух|руху]]. Тады <math>v(t_0)=s'(t_0)</math> выяўляеёсць [[Імгненная хуткасць|імгненнуюімгненнай хуткасцьхуткасцю]] руху ў момант часу <math>t_0.</math> Другая вытворная <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> выяўляеёсць [[імгненнае паскарэнне|імгненным паскарэннем]] у момант часу <math>t_0.</math>
 
Наогул, вытворная функцыі <math>y=f(x)</math> у кропцыпункце <math>x_0</math> выяўляе хуткасць зменызмянення функцыі ў кропцыпункце <math>x_0</math>, гэта значыць хуткасць працякання [[працэс]]у, апісанага залежнасцюстасункам <math>y=f(x).</math>
 
== Вытворныя вышэйшых парадкаў ==
Паняцце вытворнай адвольнага парадку задаецца [[Рэкурсія|рэкурэнтна]]. Мяркуем
: <math>f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).</math>
Калі функцыя <math>f</math> дыферэнцыраваная ў <math>x_0</math>, то вытворная першага парадку вызначаецца суадносінамі
: <math>f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).</math>
Хай зараз вытворная <math>n</math>-га парадку <math>f^{(n)}</math> вызначаная ў некаторым наваколлі кропкі <math>x_0</math> і дыферэнцаваная. Тады
: <math>f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>
 
Вытворныя вышэйшых парадкаў пазначаюцца знакамі:
: <math>f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.</math>
Калі <math>n</math> мала, выкарыстоўваюцца рыскі, рымскія лічбы або кропкі:
: <math>f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),</math>
: <math>f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),</math>
: <math>f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x),</math> і т. д.
 
== Прыклады ==
Радок 62 ⟶ 142:
* Хай <math>f(x) = |x|.</math> Тады калі <math>x_0 \neq 0,</math> то
: <math>f'(x_0) = \sgn x_0,</math>
дзе праз <math>\sgn</math> пазначаепазначана [[Функцыя sgn(x)|функцыюфункцыя знака]]. Калі ж <math>x_0 = 0,</math> то
<math>f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,</math>
аі, такім чынам, <math>f'(x_0)</math> не існуе.
 
== Правілы дыферэнцыраваннядыферэнцавання ==
{{Асноўны артыкул|Табліца вытворных}}
Аперацыя знаходжання вытворнай завецца дыферэнцыраваннем. Пры выкананні гэтай аперацыі часта прыходзіцца працаваць з дзелямі, сумамі, творамі функцый, а таксама з «функцыямі функцый», гэта значыць складанымі функцыямі. Зыходзячы з азначэння вытворнай, можна вывесці правілы дыферэнцыравання, якія палягчаюць гэтую працу.
{{гл. таксама|Дыферэнцаванне складанай функцыі}}
* <math>~(f+g)'=f'+g'</math>
* <math>\left(fg\right)'=f'g+fg'</math> (адгэтуль, у прыватнасці, варта, што вытворная творы функцыі і канстанты роўная твору вытворнай гэтай функцыі на канстанту)
* <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}</math>
* <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x</math>
{{main|Дыферэнцыраванне складанай функцыі}}
 
Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як граніцу дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл прыведзены ніжэй.
Наступныя ўласцівасці вытворнай служаць дадаткам да правіл дыферэнцыравання:
 
* калі функцыя дыферэнцыраваная на інтэрвале <math>~(a,b)</math>, то яна бесперапынная на інтэрвале <math>~(a,b)</math>;
* ''Правіла сталай'': калі {{math|''f''(''x'')}} ёсць [[сталая велічыня|ста{{націск}}лай функцыяй]], то
* калі функцыя мае лакальны [[Экстрэмум|максімум/мінімум]] пры значэнні аргументу, роўным <math>~x</math>, то <math>~f'(x)=0</math> (гэта так званая [[лема Ферма]]);
:<math>f' = 0. \,</math>
* вытворная дадзенай функцыі адзіная, але ў розных функцый могуць быць аднолькавыя вытворныя.
* ''[[Лінейнасць дыферэнцавання|Правіла сумы]]'':
:<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} і любых рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>.
* ''[[Правіла Ляйбніца]]'' або ''правіла здабытку'':
:<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}}.
* ''[[Правіла дзелі]]'':
:<math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} ў любых пунктах {{math|''x''}}, дзе {{math|''g''(''x'') ≠ 0}}.
* ''[[Ланцуговае правіла]]'': Няхай <math>h(x) = f(g(x))</math> ёсць [[складаная функцыя|складанай функцыяй]], тады
:<math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).</math>
* Калі функцыя {{math|''f''}} ёсць [[адваротная функцыя|адваротнаю функцыяй]] да {{math|''g''}} (гэта значыць {{math|1=''g''(''f''(''x'')) {{=}} ''x''}} і {{math|1=''f''(''g''(''y'')) {{=}} ''y''}}), то
:<math>g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.</math>
 
== Уласцівасці вытворнай ==
 
* калі функцыя дасягае ў пункце <math>~x</math> свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то <math>~f'(x)=0</math> (гэта сцвержданне яшчэ называюць [[Лема Ферма|лемай Ферма]]).
 
== Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць ==
 
* Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, [[Непарыўная функцыя|непарыўная]] ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
* калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку <math>(a,b)</math>, то яна і непарыўная на гэтым прамежку.
 
== Гл. таксама ==
Радок 83 ⟶ 178:
* [[Табліца вытворных]]
* [[Вытворная (матэматыка)]]
* [[ДыферэнцыраваннеДыферэнцаванне складанай функцыі]]
* [[Першаісная]]
* [[Першаўзорная]]
* [[Вытворная (абагульненне)|Абагульненні вытворных]]
* [[Асноўная тэарэма аналізу]]
* [[Геаметрычны сэнс вытворнай]]
* [[Эканамічны сэнс вытворнай]]
 
{{Зноскі}}
 
== Літаратура ==
Радок 98 ⟶ 195:
[http://ru.numberempire.com/derivatives.php Анлайн-калькулятар вытворных]
 
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае вылічэннезлічэнне]]
[[Катэгорыя:Матэматычны аналіз]]
 
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Вытворная_функцыі"