Вікіпедыя

Арыфметычная прагрэсія: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[недагледжаная версія][недагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
MerlIwBot (размовы | уклад)
67 010 правак
др робат дадаў: ml:സമാന്തരശ്രേണി
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1:
{{арфаграфія}}
'''Арыфметычная прагрэ́сія''' — [[лікавая паслядоўнасць]] <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> , дзе кожны чалец, пачынаючы з другога, ёсць сумай папярэдняга чальца і некаторага сталага ліку <math>d</math>, які называецца '''рознасцю''' або '''крокам''' арыфметычнай прагрэсіі.
 
'''Арыфметы{{націск}}чная прагрэ{{націск}}сія''' — [[лікавая паслядоўнасць]] {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ...}}, дзе кожны член, пачынаючы з другога, ёсць сумай папярэдняга члена і некаторага сталага ліку {{math|''d''}}, які называецца '''ро{{націск}}знасцю''' або '''кро{{націск}}кам''' арыфметычнай прагрэсіі<ref name="МЭ">
Ведаючы першага чальца арыфметычнай прагрэсіі <math>a_1</math> і яе рознасць <math>d</math>, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай [[зваротная паслядоўнасць|зваротнай формулы]] <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, якая вынікае з азначэння. Такім чынам, арыфметычную прагрэсію можна падаць у выглядзе <math>a_1, a_1+d, a_1+2d, \ldots</math>.
{{кніга
|аўтар =
|загаловак = Матэматычная энцыклапедыя
|адказны = Гал. рэд. В.І. Бернік
|спасылка =
|месца = Мінск
|выдавецтва = Тэхналогія
|год = 2001
|том =
|старонак =
|старонкі =
|isbn =
}}
</ref>.
 
Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі {{math|''a''<sub>1</sub>}} і яе рознасць {{math|''d''}}, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай [[зваротны стасунак|зваротнай формулы]]
Арыфметычная прагрэсія з'яўляецца [[манатонная паслядоўнасць|'''манатоннай паслядоўнасці''']]. Пры <math>d>0</math> яна нарастае, а пры <math>d<0</math> спадае. Калі <math>d=0</math>, то паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых чальцоў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць з суадносін <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для чальцоў арыфметычнай прагрэсіі.
:<math>a_{n+1}=a_n+d, \qquad n = 1,2,3,\dots,</math>
 
якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада{{націск}}ць у выглядзе
:<math>a_1, \quad a_1+d, \quad a_1+2d, \quad \dots.</math>
 
Арыфметычная прагрэсія ёсць [[манатонная паслядоўнасць|'''манатоннай паслядоўнасцю''']]. Пры {{math|''d'' > 0}} яна нарастае, а пры {{math|''d'' < 0}} спадае. Калі {{math|''d'' {{=}} 0}}, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку {{math|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a''<sub>''n''</sub> {{=}} ''d''}}, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.
 
== Уласцівасці ==
 
=== Агульны чалецчлен арыфметычнай прагрэсіі ===
ЧалецЧлен арыфметычнай прагрэсіі з нумарам <{{math>|''n</math>''}} можа быть вылічаны па формуле
: <math>a_n=a_1+(n-1)d,</math>,

дзе {{math|''a''<mathsub>a_11</mathsub>}} — першы чалецчлен прагрэсіі, <{{math>|''d</math>''}} — яе рознасць.
{{Схаваны
| Загаловак = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка =
| Змест = Карыстаючыся роўнасцю <math>a_{n+1}=a_n+d</math> выпісваем паслядоўна некалькі чальцоўчленаў прагрэсіі:
 
:<math>a_2=a_1+d</math>
:<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>
:<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
:<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. З дапамогай [[Матэматычная індукцыя|матэматычнай індукцыі]] пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх [[натуральны лік|натуральных]] {{math|''n''}}:
<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>
 
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
 
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заўважыўшы заканамернасць, робім здагадку, што <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. З дапамогай [[Матэматычная індукцыя|матэматычнай індукцыі]] пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх <math>n \in \mathbb N</math>:
 
'''Першы крок''' індукцыі <math>(n=1)</math> :
Радок 41 ⟶ 58:
 
=== Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі ===
Паслядоўнасць <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, тадыкалі і толькі тады, калі для яе чальцоўчленаў выконваеццапраўдзіцца ўмоватоеснасць
:<math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, \qquad n \geqslantge 2.</math>.
{{Схаваны
| Загаловак = Доказ
Радок 48 ⟶ 66:
| Змест = '''Неабходнасць''':
 
Раз паслядоўнасць <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> —ёсць арыфметычнаяарыфметычнай прагрэсіяпрагрэсіяй, то для <math>n \geqslantge 2</math> праўдзяцца роўнасці:
:<math>a_n=a_{n-1}+d,</math>
:<math>a_n=a_{n+1}-d.</math>
 
Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 .</math>
<math>a_n=a_{n-1}+d</math>
 
<math>a_n=a_{n+1}-d</math>.
 
Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>.
 
'''Дастатковасць''':
 
Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасцьпаслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 .</math>. Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :<math>a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}.</math>.
Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць. Але можна правесці і падрабязны доказ метадам матэматычнай індукцыі.
 
Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.
'''Падрабязны доказ дастатковасці'''
}}
 
=== Сума першых {{math|''n''}} членаў арыфметычнай прагрэсіі ===
Абазначым рознасць <math>a_2-a_1</math> праз <math>\delta</math>.
Раз роўнасці праўдзяцца пры ўсіх <math>n \geqslant 2</math>, з дапамогаю матэматычнай індукцыі пакажам, што <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n = \delta</math>.
 
Суму першых <math>n</math> элементаў арыфметычнай прагрэсіі <math>S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> можна вылічыць па формулах
'''Першы крок''' індукцыі <math>(n=2)</math> :
:<math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n, </math>
 
або
<math>a_3-a_2=a_2-a_1=\delta</math> — сцверджанне праўдзівае.
:<math>S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n, </math>
 
дзе {{math|''a''<sub>1</sub>}} — першы член прагрэсіі, {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} — член з нумарам {{math|''n''}}, {{math|''d''}} — рознасць прагрэсіі.
'''Пераход''' індукцыі:
 
Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры <math>n=k</math>, г.зн. <math>a_{k+1}-a_k=\delta</math>. Дакажам справядлівасць сцверджання пры <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+2}-a_{k+1}=a_{k+1}-a_{k}=\delta</math>.
 
Такім чынам, меркаванне індукцыі праўдзіцца і пры <math>n=k+1</math>. Гэта значыць, што з <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2</math> вынікае <math>a_{n+1}-a_n = \delta</math> для ўсіх <math>n\geqslant 1</math>.
}}
 
=== Сума першых <math>n</math> чальцоў арыфметычнай прагрэсіі ===
Суму першых <math>n</math> элементаў арыфметычнай прагрэсіі <math>S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> можна вылічыць па формулах
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , дзе <math>a_1</math> — першы чалец прагрэсіі, <math>a_n</math> — чалец з нумарам <math>n</math>, <math>n</math> — колькасць складваймых чальцоў.
: <math>S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n</math> , дзе <math>a_1</math> — першы чалец прагрэсіі, <math>d</math> — рознасць прагрэсіі, <math>n</math> — колькасць складваймых чальцоў.
{{Схаваны
| Загаловак = Доказ
Радок 88 ⟶ 94:
| Рамка =
| Змест = Запішам суму двума спосабамі:
:<math>
\begin{array}{ccccccccccccccc}
S_n & = & a_1 & + & a_2 & + & a_3 & + & \ldots & + & a_{n-2} & + & a_{n-1} & + & a_n ,\\
S_n & = & a_n & + & a_{n-1} & + & a_{n-2} & + & \ldots & + & a_3 & + & a_2 & + & a_1 .
\end{array}
</math>
 
У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.
<math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math>
 
Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:
<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.
:<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1).</math>
 
Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада{{націск}}ць як <math>a_i+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots,n</math>. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:
Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы складнікі, якія стаяць на адной вертыкалі:
:<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots,n.</math>
 
Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад {{math|''i''}} і роўная <math>2a_1+(n-1)d</math>. У прыватнасці, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. А раз такіх складнікаў {{math|''n''}}, то
<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math>
:<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n</math>
 
Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна падаць як <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Скарыстаемся формулай агульнага чальца арыфметычнай прагрэсіі:
 
<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math>
 
Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад <math>i</math> і роўная <math>2a_1+(n-1)d</math>. У прыватнасці, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. А раз такіх складнікаў <math>n</math>, то
 
<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n</math>
 
Адсюль вынікае роўнасць
:<math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>.
 
<math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>.
 
Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай <math>2a_1+(n-1)d</math> замест <math>a_1+a_n</math>.
Радок 113 ⟶ 119:
'''Заўвага''':
 
Замест <math>a_1+a_n</math> у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў <math>a_i+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots,n</math>, бо ўсе яны роўныя між сабой.
 
}}
Радок 119 ⟶ 125:
=== Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі ===
 
Няхай <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арыфметычная прагрэсія з рознасцю <math>d</math> і лік <math>ab > 0</math>. Тады паслядоўнасць выгляду <math>ab^{a_1}, ab^{a_2}, ab^{a_3}, \ldots</math> ёсць [[геаметрычная прагрэсія|геаметрычнай прагрэсіяй]] з назоўнікам <math>ab^d</math>.
 
{{Схаваны
Радок 125 ⟶ 131:
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка =
| Змест = Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай геаметрычнай прагрэсііпаслядоўнасці:
:<math>\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}= b^{a_n}, \qquad n\ge 2.</math>
 
Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:
: <math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2</math>
:<math>\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}=\sqrt{b^{a_1+(n-2)d}\cdot b^{a_1+nd}}=\sqrt{b^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(b^{a_1+(n-1)d})^2}=b^{a_1+(n-1)d}=b^{a_n}, \qquad n\ge 2.</math>
 
А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць <math>b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots</math> ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці <math>q=\frac{b^{a_2}}{b^{a_1}}=\frac{b^{a_1+d}}{b^{a_1}}=b^d.</math>
Выкарыстаем выраз агульнага чальца арыфметычнай прагрэсіі:
 
: <math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2</math>
 
Такім чынам, раз адметная ўласцівасць праўдзіцца, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геаметрычная прагрэсія. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>.
}}
 
=== Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі ===
Арыфметычная прагрэсія <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> разбягаецца пры <math>d\ne 0</math> і збягаецца пры <math>d=0</math>. Прычым
: <math>
 
: <math>\lim_{n\to\infty} a_n =\left\{ \begin{matrixcases}
+\infty,\& d>0 \\
-\infty,\& d<0 \\
a_1,\& d=0
\end{matrixcases} \right.
</math>
 
{{Схаваны
Радок 145 ⟶ 154:
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка =
| Змест = Запісаўшы выраз агульнага чальцачлена і даследуючыразгле{{націск}}деўшы [[граніца мяжупаслядоўнасці|граніцу]] <math>\lim_{n\to\infty} (a_1+(n-1)d)</math>, атрымліваем патрэбны вынік.
}}
 
== Арыфметычныя прагрэсііпаслядоўнасці вышэйшых парадкаў ==
 
Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць '''арыфметы{{націск}}чнай паслядо{{націск}}ўнасцю 1-га пара{{націск}}дку'''.
'''Арыфметычнай прагрэсіяй 2-га парадку''' называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае простую арыфметычную прагрэсію. У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:
 
'''Арыфметы{{націск}}чнай паслядо{{націск}}ўнасцю 2-га пара{{націск}}дку''' называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:
: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,
 
рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:
 
: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ....
 
Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя прагрэсііпаслядоўнасці больш высокіхвышэйшых парадкаў. А менавітаіменна, '''Арыфметычнайарыфметычнай прагрэсіяйпаслядоўнасцю {{math|''k''}}-га парадку''' называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную прагрэсіюпаслядоўнасць {{math|(''k''-1)}}-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць {{math|''n''}}-ных ступеняў утварае арыфметычную прагрэсіюпаслядоўнасць {{math|''n''}}-га парадку.
 
== Прыклады ==
* Натуральны рад <math>1, 2, 3, 4, 5, \ldots</math> — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент <math>a_1=1</math>, а рознасць <math>d=1</math>.
* <math>1, -1, -3, -5, -7</math> — першыя 5 чальцоўчленаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе <math>a_1=1</math> і <math>d=-2</math>.
* СумаСуму першых <math>n</math> [[натуральны лік|натуральных лікаў]] можна вылічыць падаеццапа формулайформуле
:<math>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.</math>
 
: <math>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>.
 
 
== Гл. таксама ==
* [[Геаметрычная прагрэсія]]
 
== Крыніцы і спасылкі ==
== Спасылкі ==
<references/>
* Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В.І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.
 
* [http://www.ktoreshit.ru/kak-reshit/ryadi/reshenie-zadach-arifmeticheskoi-progressii Решение задач арифметической прогрессии]
== Вонкавыя спасылкі ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Арифметическая прогрессия}}
* [http://www.ktoreshit.ru/kak-reshit/ryadi/reshenie-zadach-arifmeticheskoi-progressii Развязанне задач па арыфметычным прагрэсіям]
 
 
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Арыфметычная_прагрэсія"