Тэарэма Грына — Тао: Розніца паміж версіямі

[недагледжаная версія][дагледжаная версія]
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
арфаграфія
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1:
У [[Тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]] '''тэарэма Грына-Тао''', даказаная [[Бен Джозеф Грын|Бенам Грынам]] і [[Тэрэнц Тао|Тэрэнцам Тао]] ў 2004 годзе,<ref name = GreenTao>
{{артыкул
|аўтар = Ben Green and Terence Tao
Радок 26:
|archiveurl =
|archivedate =
}}.</ref>, сцвярджае, што паслядоўнасць [[просты лік|простых лікаў]] утрымлівае адвольна доўгія [[арыфметычная прагрэсія|арыфметычныя прагрэсіі]]. А дакладней, для любога натуральнага {{math|''k''}} існуюць арыфметычныя прагрэсіі, якія утрымліваюцьўтрымліваюць {{math|''k''}} простых лікаў. Па сутнасці, доказ тэарэмы ўяўляе сабою пашырэнне [[Тэарэма Семерэдзі|тэарэмы Семерэдзі]].
 
==Гісторыя задачы==
 
Гіпотэза прааб існаваннеіснаванні адвольна доўгіх арыфметычных прагрэсій з простых лікаў дастаткова вядомая. Аўтар гэтай гіпотэзы невядомы, і яе можна апісаць як класічную, ці, нават, "народную". У ДыксанавайДзіксанавай "Гісторыі тэорыі лікаў"<ref>{{кніга
|аўтар = L.E. Dickson
|частка =
Радок 48:
|тыраж =
}}</ref>
адзначана, што каля 1770 года [[Жазэф Луі Лагранж|Лагранж]] і Варынг даследавалі, якой мае быць [[арыфметычная прагрэсія|рознасць арыфметычнай прагрэсіі]] з ''L'' простых, і цяжка ўявіць, каб яны не цікавіліся тым, ці былі іхнія ацэнкі дакладнымі для ўсіх ''L''.
 
З'яўленне гэтай гіпотэзы не было нечаканасцю, штобо простая эўрыстыка, заснаваная на [[Тэарэма пра размеркаванне простых лікаў|тэарэме пра размеркаванне простых лікаў]] наводзіць на думку, што існуе <math>\gg N^2/(\log N)^k </math> {{math|''k''}}-членных паслядоўнасцей простых <math> p_1,p_2,\ldots,p_k </math> у арыфметычнай прагрэсіі, дзе кожны з <math>p_i </math> не перавышае {{math|''N''}}. У 1923 годзе Хардзі і Літльвуд<ref>
{{артыкул
|аўтар = G.H. Hardy and J.E. Litlewood
Радок 79:
}}
</ref>
выставілі адну дужа агульную гіпотэзу, якая ў адмысловым выпадку ўтрымлівае гіпотэзу пра тое, што лік такіх {{math|''k''}}-членных прагрэсій асімптатычна роўны <math>
C_k N^2/(\ln N)^k
</math> з некаторай яўнай сталай <math>C_k > 0</math>.
Радок 110:
|archiveurl =
|archivedate =
}},</ref>,
які, карыстаючыся метадам [[Вінаградаў Іван Матвеевіч|Вінаградава]] для сум па простых ліках, даказаў гіпотэзу ў выпадку {{math|''k''{{=}}3}},
гэта значыць, што існуе бясконца многа троек простых лікаў у арыфметычнай прагрэсіі. Аднак, тады пытанне пра даўжэйшыя арыфметычныя паслядоўнасці канчаткова развязана не было.
Пазней былі атрыманы некаторыя іншыя вынікі, якіякія ўскосна пацвярджалі выказаныя здагадкі.
Развязак задачы пра арыфметычныя прагрэсіі з простых лікаў быў завершаны работай Грына і Тао<ref name=GreenTao/>.
 
 
== Дакладная фармулёўка ==
 
Няхай {{math|''A''}} - любое падмноства простых лікаў дадатнай адноснай верхняй шчыльнасці
:(гэта значыць,
:<math>
\limsup_{N\to\infty} \frac{|A\cap[1,k]|}{\pi(k)} > 0,
</math>
:дзе <math>\pi(x)</math> абазначае колькасць простых лікаў, меншых ці роўных за {{math|''x''}}.)
 
Тады для любых натуральных ''k'' мноства ''A'' ўтрымлівае бясконца многа арыфметычных прагрэсій даўжыні ''k''.
 
Тады для любых натуральных {{math|''k''}} мноства {{math|''A''}} ўтрымлівае бясконца многа арыфметычных прагрэсій даўжыні {{math|''k''}}.
 
==Абагульненні==
 
У 2006 годзе Тао і [[Тамар Цыглер]] абагульнілі свой вынік на палінаміяльныя прагрэсіі.<ref>
{{артыкул
|аўтар = Terence Tao and Tamar Ziegler
Радок 158 ⟶ 156:
|archiveurl =
|archivedate =
}}.</ref>.
Больш дакладна, няхай дадзены любыя [[цэлалікавы мнагасклад|цэлалікавыя мнагасклады]] {{math|''P''<sub>1</sub>(''m''),..., ''P''<sub>''k''</sub>(''m'')}} ад адной зменнай {{math|''m''}} з нулявымі пастаяннымі[[сталая велічыня|сталымі]] складнікамі, тады існуе бясконца многа цэлых {{math|''x''}}, {{math|''m''}}, такіх што лікі {{math|''x''&nbsp; +&nbsp; ''P''<sub>1</sub>(''m''), ..., ''x''&nbsp; +&nbsp; ''P''<sub>''k''</sub>(''m'')}} адначасова простыя. Адмысловы выпадак, калі мнагасклады роўныя {{math|''m'', 2''m'', ..., ''km''}}, дае папярэдні вынік пра існаванне арыфметычных прагрэсій даўжыні {{math|''k''}} з простых лікаў.
 
==Лікавыя вынікі==
Радок 167 ⟶ 165:
Сталая 223092870 ёсць здабыткам усіх простых лікаў ад 2 да 23.
 
17 траўня 2008 года УрублеўскіЎрублеўскі і Раанан Чэрмані адшукалі першы вядомы выпадак з 25 простых лікаў:
:6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · ''n'', для ''n'' = ад 0 да 24.
 
12 красавіка 2010 Бенуа Перышон, карыстаючыся праграмай Урублеўскага і Джэфа Рэйнальдса ў праекце размеркаваных вылічэнняў [[PrimeGrid]] адшукаў першы вядомы выпадак 26 простых лікаў ({{OEIS|id=A204189}}):
:43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · ''n'', для ''n'' = ад 0 да 25.
 
 
{{артыкул
|аўтар =
|загаловак =
|арыгінал =
|спасылка =
|мова =
|адказны =
|аўтар выдання =
|выданне =
|тып =
|месца =
|выдавецтва =
|год =
|выпуск =
|том =
|нумар =
|старонкі =
|isbn =
|issn =
|doi =
|bibcode =
|arxiv =
|pmid =
|ref =
|archiveurl =
|archivedate =
}}
 
 
 
 
== Спасылкі ==