Ліміт (матэматыка): Розніца паміж версіямі

матэматычнае паняцце, ужыванае да фукнцый
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
Новая старонка: ''''Грані{{націск}}ца'''<ref name="БНТ1"> {{кніга |аўтар = |загаловак = Беларуская навуковая тэ...'
(Няма розніцы)

Версія ад 22:59, 13 снежня 2012

Грані́ца[1][2], або лімі́т[3] − адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы палягае ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.

На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Граніца ў матэматычным аналізе

Граніца паслядоўнасці

Граніца паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці   элементаў xn тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бясконцасці. Кажуць, што паслядоўнасць   збягаецца да сваёй граніцы  , калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар NU , такі што для ўсіх nNU выконваецца  .

Збежнасць паслядоўнасці   да граніцы a запісваюць як

 

Граніца функцыі

Няхай X і Y ёсць тапалагічнымі прасторамі. Няхай функцыя f : EY вызначана на мностве E, якое ёсць падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта   ёсць прынамсі адзін пункт мноства E.

Пункт   называюць граніцаю функцыі f пры імкненні x да x0 , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U0 пункта x0 у прасторы X, што для адвольнага пункта   яго вобраз f(x) належыць V, г.зн.  

Пры гэтым пішуць

 

або f(x) → a пры xx0.

Граніца інтэгральных сум

Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x0 < x1 < ... < xn = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік  . Інтэгральная сума вызначаецца як

 

Калі існуе концая граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей xixi-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як граніца інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Крыніцы і спасылкі

  1. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  2. Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
  3. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.