Група (алгебра): Розніца паміж версіямі
| [недагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др Дзяніс Тутэйшы перанёс старонку Група, матэматыка у Група (алгебра): удакладненне |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1:
'''Гру{{націск}}па''' — непустое [[мноства]] разам з вызначанаю на ім [[бінарная аперацыя|бінарнай аперацыяй]], якая задавальняе пэўныя ўмовы (а іменна, замкнёнасць мноства адносна гэтай аперацыі, спалучальны закон, наяўнасць нейтральнага элемента і наяўнасць для кожнага элемента адваротнага да яго).
У дадзеным выпадку бінарная аперацыя, па сутнасці, ёсць правілам, згодна з якім кожнай упарадкаванай пары элементаў мноства ставіцца ў адпаведнасць нейкі трэці элемент таго ж мноства. Акрамя таго, групавая аперацыя павінна падпарадкоўвацца [[спалучальны закон|спалучальнаму закону]], у мностве павінен існаваць т.зв. [[нейтральны элемент (тэорыя груп)|нейтральны элемент]], а таксама для кожнага элемента мноства ў гэтым мностве павінен існаваць [[адваротны элемент (тэорыя груп)|адваротны]] (адносна групавой аперацыі) элемент.
Сам тэрмін "група" належыць выдатнаму французскаму матэматыку [[Эварыст Галуа|Эварысту Галуа]]. Аднак некаторыя тэарэмы [[тэорыя груп|тэорыі груп]] былі даказаны яшчэ [[Жазэф Луі Лагранж|Лагранжам]].
== Строгае азначэнне ==
=== Аксіёмы групы ===
'''Гру{{націск}}пай''' называецца непустое мноства {{math|''G''}} разам з бінарнай аперацыяй <math>\circ : G \times G \to G,</math> якая задавальняе наступныя ўмовы:
# '''Спалучальны закон''': для любых <math> a, b, c\in G </math> справядліва:
#: <math>a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c </math>
# Існуе '''нейтральны элемент''' <math> e \in G, </math> г.зн. такі элемент, што для любога <math>a\in G </math> справядліва:
#: <math> a \circ e = e \circ a = a </math>
# Для кожнага элемента <math>a\in G</math> існуе '''адваротны элемент''' <math>a^{-1} \in G,</math> г.зн. такі элемент, што
#: <math> a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e </math>
'''Заўвага''': група не ёсць проста мноствам; увогуле кажучы, на адным і тым жа мностве можна ўвесці розныя бінарныя аперацыі, адносна кожнай з якіх мноства будзе ўтвараць розныя групы. Іменна таму групу пазначаюць як упарадкаваную пару <math>(G,\circ),</math> хоць часам, калі аперацыя відавочная, дзеля зручнасці знак аперацыі апускаюць і пішуць проста "група {{math|''G''}} ".
== Адмысловыя назвы і абазначэнні ==
Часцей за ўсё, дзеля зручнасці, групавую аперацыю <math>\circ</math> называюць '''множаннем''' (хоць часам анічога агульнага між гэтай аперацыяй і звычайным множаннем няма). Адпаведна, нейтральны элемент {{math|''e''}} называюць '''адзінкаю групы'''. Пры гэтым сама{{націск}} аперацыя абазначаецца гэтак са{{націск}}ма як і звычайнае множанне:
:<math>a \cdot b</math> або нават <math>ab</math>
Такія назвы і абазначэнні называюцца '''мультыплікаты{{націск}}ўнымі'''.
''Заўвага'': нягледзячы на такую назву, гэта не азначае нават таго, што групавая аперацыя падпарадкоўваецца [[перастаўляльны закон|перастаўляльнаму закону]].
Калі групавая аперацыя падпарадкоўваецца [[перастаўляльны закон|перастаўляльнаму закону]] (г.зн. {{math|''G''}} ёсць [[абелева група|абелевай групай]]), то яе называюць '''складаннем''' і абазначаюць знакам <math>+</math>
(такое "складанне" можа быць дужа непадобным да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент {{math|''e''}} называюць '''нулём''' [[абелева група|абелевай '''групы''']] {{math|''G''}} і абазначаюць яго як {{math|0}}; адваротны элемент {{math|''a''<sup>-1</sup>}} называюць '''процілеглым элементам''' і пішуць {{math|-''a''}}. Такія назвы і абазначэнні называюцца '''адыты{{націск}}ўнымі'''.
== Уласцівасці ==
* У групе існуе толькі адна адзінка.
* Для кожнага элемента групы існуе роўна адзін адваротны да яго элемент.
== Крыніцы ==
* {{кніга
|аўтар = Кострикин А.И.
|загаловак = Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры
|адказны =
|спасылка =
|месца = Москва
|выдавецтва = ФИЗМАТЛИТ
|год = 2004
|том =
|старонак =
|старонкі =
|isbn =
}}
{{algebra-stub}}
[[Катэгорыя:Тэорыя груп]]
[[Катэгорыя:Абстрактная алгебра]]
[[af:Groep (wiskunde)]]
| |||