Вікіпедыя

Вытворная функцыі: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
Legobot (размовы | уклад)
61 787 правак
др Bot: Migrating 63 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q29175 (translate me)
др clean up, replaced: раўнання → ураўнення, раўнанн → ураўненн (3), (Геаметрыя) → , геаметрыя (2), (лік)| → , лік|, == У Сеціве == → == Спасылк using AWB
Радок 1:
{{іншыя значэнні|Вытворная (матэматыка)}}
 
[[Выява:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|400px| У кожным пункце вытворная функцыі <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2)</math> роўная тангенсу вугла [[нахіл]]у [[датычная, (Геаметрыя)геаметрыя|датычнай]] да графіка функцыі. Прамая на рысунку ёсцьз'яўляецца датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.]]
 
'''Вытво{{націск}}рная''' фу{{націск}}нкцыі — асноўнае паняцце [[дыферэнцыяльнае злічэнне|дыферэнцыяльнага злічэння]], якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як [[Граніца функцыі|граніца]] [[дзель|дзелі]] прыросту функцыі на прырост яе [[Функцыя|аргумента]] пры імкненні прыросту аргумента да [[Нуль, (лік)|нуля]], калі такая граніца існуе.
 
Функцыю, якая мае концую вытворную на нейкім мностве, называюць '''дыферэнцава{{націск}}льнай''' на гэтым мностве.
Радок 10:
 
== Азначэнне ==
 
{{multiple image
| зона = right
Радок 19 ⟶ 18:
| зона_подпісу = center
| выява1 = Tangent-calculus.svg
| подпіс1 = '''Рысунак 1'''. [[Датычная, (геаметрыя)|Датычная]] ў пункце {{math|(''x'', ''f''(''x''))}}
| шырыня1 = 250
| выява2 = Secant-calculus.svg
Радок 30 ⟶ 29:
}}
 
Няхай у некаторым [[Наваколле, (матэматыка)|наваколлі]] <math>U(x_0)\subset \R</math> [[Пункт|пунктапункт]]а <math>x_0 \in \R</math> вызначана [[функцыя]] <math>f:U(x_0) \to \R.</math>
 
'''Вытво{{націск}}рнаю''' функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> называецца [[Граніца функцыі|граніца]]
Радок 43 ⟶ 42:
 
== Спалучаныя з азначэннем паняцці ==
 
* Назавём <math>\Delta x = x - x_0</math> '''прыро{{націск}}стам аргуме{{націск}}нта''' функцыі, а <math>\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)</math> '''прыро{{націск}}стам значэ{{націск}}ння''' функцыі ў пункце <math>x_0.</math> Тады
*: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>
* Няхай функцыя <math>f:(a,b) \to \R</math> мае концую вытворную ў кожным пункце <math>x_0 \in (a,b).</math> Тады вызначана '''вытво{{націск}}рная фу{{націск}}нкцыя'''
*: <math>f':(a,b) \to \R.</math>
* Калі вытворная функцыя сама ёсцьз'яўляецца непарыўнай, то функцыю <math>f</math> называюць '''непары{{націск}}ўна дыферэнцава{{націск}}льнай''' і пішуць: <math>f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).</math>
 
== Дыферэнцавальнасць ==
 
{{main|Дыферэнцавальная функцыя}}
 
Радок 59 ⟶ 56:
 
'''Тэарэма'''
:Функцыя адной зменнай <math>f(x)</math> ёсцьз'яўляецца дыферэнцавальнай у пункце <math>x_0</math>, калі і толькі калі яе вытворная <math>f'(x_0)</math> ў гэтым пункце існуе і концая. Пры гэтым праўдзіцца роўнасць
:<math>A = f'(x_0).</math>
 
Радок 77 ⟶ 74:
 
==Абазначэнні вытворнай==
===[[ЛяйбніцЛейбніц, Готфрыд Вільгельм|ЛяйбніцавыЛейбніцавы]] абазначэнні===▼
 
Абазначэнні, уведзеныя [[ЛяйбніцЛейбніц, Готфрыд Вільгельм|Готфрыдам ЛяйбніцамЛейбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі раўнаннеўраўненне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная пазначаецца як▼
▲===[[Ляйбніц, Готфрыд Вільгельм|Ляйбніцавы]] абазначэнні===
 
▲Абазначэнні, уведзеныя [[Ляйбніц, Готфрыд Вільгельм|Готфрыдам Ляйбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі раўнанне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная пазначаецца як
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> або <math>\frac{d}{dx}f(x),</math>
 
Радок 88 ⟶ 83:
: <math>\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),</math>&emsp;або&emsp;<math>\frac{d^n}{dx^n}f(x).</math>
 
Па сутнасці, гэтыя абазначэнні ёсць скарачэннем для кратнага прымянення [[Аператар, (матэматыка)|аператара]] вытворнай. Напрыклад,
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
 
У ЛяйбніцавыхЛейбніцавых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''y''}} у пункце {{math|''x'' {{=}} ''a''}} можна запісаць двума шляхамі:
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>
 
Абазначэнні ЛяйбніцаЛейбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку "дробу"). Гэта асабліва зручна для [[частковая вытворная|частковых вытворных]]. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць [[вытворная складанай функцыі|правіла цэ{{націск}}па]]<ref>
Пры пабудове матэматычнага аналізу на аснове паняцця [[граніца, (матэматыка)|граніцы]], сімвал {{math|''du''}} розныя аўтары разглядаюць па-рознаму. Некаторыя аўтары не налучаюць ніякім сэнсам сімвал {{math|''du''}} сам па сабе, і разглядаюць яго толькі як частку складанага сімвала {{math|''du''/''dx''}}. Іншыя ж вызначаюць {{math|''dx''}} як незалежную зменную, а сімвал {{math|''du''}} - як {{math|''du'' {{=}} ''f''&prime;(''x'')·''dx''}}. У [[нестандартны аналіз|нестандартным аналізе]] {{math|''du''}} вызначаецца як бясконца малая велічыня. Яе таксама вытлумачваюць як [[вонкавая вытворная|вонкавую вытворную]] функцыі {{math|''u''}}. Падрабязней гл. [[дыферэнцыял (бясконца малая)]].
</ref>:
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>
 
===[[Жазэф_Луі_ЛагранжЖазэф Луі Лагранж|Лагранжавы]] абазначэнні===
Гэтыя абазначэнні былі ўведзены [[Жазэф Луі Лагранж|Жазэ{{націск}}фам-Луі{{націск}} Лагра{{націск}}нжам]], і з'яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''f''(''x'')}} запісваюць як {{math|''f''&prime;(''x'')}} ці проста {{math|''f''&prime;}}, выкарыстоўваючы [[Штрых, (сімвал)|сімвал штрыха]]. Таму такія абазначэнні часам называюць '''штрыхавымі'''<ref>
{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}
</ref>. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:
Радок 106 ⟶ 101:
Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзніквае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:
:<math>f^{\mathrm{iv}}</math>&emsp;або&emsp;<math>f^{(4)}.</math>
Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс {{math|''f''<sup> (''n'')</sup>}} для ''n''-ай вытворнай функцыі {{math|''f''}} найболейнайбольш ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай "імя" зменнай), тады як ЛяйбніцавыЛейбніцавы абазнчэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.
 
===[[Ісаак Ньютан|Ньютанавы]] абазначэнні===
 
[[Ісаак Ньютан|Ньютан]]авы абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя ''кропкавымі абазначэннямі'', выкарыстоўваюць кропкі, якія змяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''t'')}}, тады запісы
:<math>\dot{y}</math>&emsp;і&emsp;<math>\ddot{y}</math>
абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя {{math|''y''}} па зменнай {{math|''t''}}. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння [[вытворная па часе|вытворных па часе]], маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі ёсць [[час|часам]]ам (г.зн. адлюстроўвае ход [[час|часу]]у). Такія пазначэнні дужа распаўсюджаныя ў [[фізіка|фізіцы]] (асабліва ў [[механіка|механіцы]]) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як [[дыферэнцыяльныя раўнанніўраўненні]]. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.
 
===[[Леанард Ойлер|Ойлеравы]] абазначэнні===
 
[[Леанард Ойлер|Ойлер]]авы абазначэнні выкарыстоўваюць [[дыферэнцыяльны аператар]] {{math|''D''}}, прымяненне якога да функцыі {{math|''f''}} дае першую вытворную {{math|''Df''}}. Другая вытворная пазначаецца як {{math|''D''<sup>2</sup>''f''}}, а ''n''-ая вытворная пазачаецца як {{math|''D''<sup>''n''</sup>''f''}}.
 
Радок 122 ⟶ 115:
Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі {{math|''x''}} адзіная зменная ў выразе.
 
Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання [[лінейнае дыферэнцыяльнае раўнаннеўраўненне|лінейных дыферэнцыяльных раўнанняўураўненняў]].
 
== Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай ==
Радок 133 ⟶ 126:
 
=== Хуткасць змянення функцыі ===
 
Хай <math>s=s(t)</math> — закон прамалінейнага [[Механічны рух|руху]]. Тады <math>v(t_0)=s'(t_0)</math> ёсць [[Імгненная хуткасць|імгненнай хуткасцю]] руху ў момант часу <math>t_0.</math> Другая вытворная <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> ёсць [[імгненнае паскарэнне|імгненным паскарэннем]] у момант часу <math>t_0.</math>
 
Радок 139 ⟶ 131:
 
== Прыклады ==
 
* Хай <math>f(x) = x^2.</math> Тады
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.</math>
Радок 158 ⟶ 149:
* ''[[Лінейнасць дыферэнцавання|Правіла сумы]]'':
:<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} і любых рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>.
* ''[[Правіла ЛяйбніцаЛейбніца]]'' або ''правіла здабытку'':
:<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}}.
* ''[[Правіла дзелі]]'':
Радок 168 ⟶ 159:
 
== Уласцівасці вытворнай ==
 
* калі функцыя дасягае ў пункце <math>~x</math> свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то <math>~f'(x)=0</math> (гэта сцвержданне яшчэ называюць [[Лема Ферма|лемай Ферма]]).
 
== Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць ==
 
* Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, [[Непарыўная функцыя|непарыўная]] ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
* калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку <math>(a,b)</math>, то яна і непарыўная на гэтым прамежку.
 
== Гл. таксама ==
 
* [[Табліца вытворных]]
* [[Вытворная (матэматыка)]]
* [[Дыферэнцаванне складанай функцыі]]
* [[Першаісная]]
* [[Вытворная, (абагульненне)|Абагульненні вытворных]]
* [[Асноўная тэарэма аналізу]]
* [[Геаметрычны сэнс вытворнай]]
Радок 190 ⟶ 178:
 
== Літаратура ==
 
* {{кніга
|аўтар = Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф.
Радок 208 ⟶ 195:
* В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
 
== У СецівеСпасылкі ==
[http://ru.numberempire.com/derivatives.php Анлайн-калькулятар вытворных]
 
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Вытворная_функцыі"