Ступеняванне: Розніца паміж версіямі

[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
Legobot (размовы | уклад)
др Bot: Migrating 57 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q33456 (translate me)
др clean up, replaced: раўнання → ураўнення (9), раўнанн → ураўненн (7), (геаметрыя) → , геаметрыя, . → . (5), , → , (2), ампутар → амп'ютар, дв using AWB
Радок 14:
}}
</ref> - [[арыфметычная аперацыя]] над двума лікамі:
'''[[Аснова_(Аснова, ступеняванне)|асно{{націск}}ваювай]]''' ''b'' і '''пака{{націск}}знікам''' (або '''ступе{{націск}}нню''') ''n''. На пісьме ступеняванне пазначаецца як
''b''<sup>''n''</sup>.
Калі ''n'' ёсць [[натуральны лік|натуральным лікам]], ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) [[множанне|множанню]]; інакш кажучы, '''''b''''' ў ступені '''''n''''' ёсць здабыткам '''''n''''' множнікаў, кожны з якіх роўны '''''b''''' (такі здабытак таксама называецца '''ступенню'''):
Радок 22:
:<math>b \times n = \underbrace{b + \cdots + b}_n</math>
 
Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для [[натуральны лік|натуральных лікаў]], і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя [[цэлы лік|цэлыя]] ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага [[дзяленне|дзялення]]), на [[рацыянальны лік|рацыянальныя]] ступені (такім чынам, сюды была ўлучанаўключана і аперацыя [[здабыванне кораня|здабывання кораня]]). Пазней ступеняванне для адвольных [[рэчаісны лік|рэчаісных]] ступеняў было вызначана як [[непарыўны працяг]] з мноства [[рацыянальны лік|рацыянальных]] ступеняў.
 
Паказнік ступені звычайна запісваюць як [[надрадковы знак]] справа ад асновы. Запіс ступенявання ''b''<sup>''n''</sup> можна чытаць наступным чынам:
Радок 35:
 
Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі ''"ўзвядзенне ў ступень"'' і ''"ступеняванне"'':
#словазлучэнне "ўзвядзенне ў ступень" ужываецца, калі паказнікпаказчык ступені ёсць сталай велічынёй, а аснова - зменнай.
#слова "ступеняванне" выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што паказнікпаказчык ёсцьз'яўляецца зменнай велічынёй, а аснова нязменная.
Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і "ступеняванне", і "ўзвядзенне ў ступень".
 
Як адзначалася вышэй, ступень ''b''<sup>''n''</sup> можна вызначыць і для адмоўных цэлых ''n'', калі ''b'' не нуль. Не існуе натуральнага пашырэння ступенявання на ўсе рэчаісныя асновы ''b'' і паказнікіпаказчыкі ''n'', аднак калі аснова ''b'' ёсцьз'яўляецца дадатным рэчаісным лікам, ступеняванне ''b''<sup>''n''</sup> можна вызначыць для ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных]] і нават [[камплексны лік|камплексных]] паказнікаўпаказчыкаў ''n'' з дапамогай [[паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|паказнікавайпаказчыкавай функцыі]] ''e''<sup>''z''</sup>. [[Трыганаметрычныя функцыі]] таксама можна выразіць праз камплекснае ступеняванне.
 
[[Матрычная паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|Ступеняванне матрыц]] выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм [[лінейныя дыферэнцыяльныя раўнанніўраўненні|лінейных дыферэнцыяльных раўнанняўураўненняў]].
 
Ступеняваннем глыбока прасякнуты шматлікія мадэлі і вылічэнні ў самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўлучыць [[фізіка|фізіку]] ([[хвалі]], [[ядзерны распад]]), [[хімія|хімію]] ([[хімічная кінетыка]]), [[біялогія|біялогію]] ([[рост папуляцый]]), [[эканоміка|эканоміку]] ([[складаныя адсоткіпрацэнты]]) і [[камп'ютарныя навукі]] ([[крыптаграфія з адкрытым ключом]]).
 
[[Выява:Expo02.svg|thumb|315px|Графікі ''y''=''b''<sup>''x''</sup> для розных асноў ''b'': аснова&nbsp; 10 (<span style="color:green">зялёны</span>), [[#Паказнікавая функцыя|аснова&nbsp; ''e'']] (<span style="color:red">чырвоны</span>), аснова&nbsp; 2 (<span style="color:blue">сіні</span>), і аснова&nbsp; ½ (<span style="color:cyan">блакітны</span>). Кожная крывая праходзіць праз пункт (0, 1), таму што любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы. Пры ''x''=1, значэнне ''y'' роўнае аснове.]]
 
==Цэлыя паказнікіпаказчыкі==
Для ступенявання з цэлымі паказнікаміпаказчыкамі патрэбна толькі [[элементарная алгебра]].
 
===Натуральныя паказнікі===
 
===Натуральныя паказнікіпаказчыкі===
''Фармальнае азначэнне'':
 
Ступені з натуральным паказнікампаказчыкам можна вызначыць з дапамогай пачатковай умовы
:<math>b^1 = b</math>
 
і [[зваротны стасунак|зваротнага стасунку]]
:<math>b^{n+1} = b^n \cdot b\, .</math>.
 
Са [[Спалучальная ўласцівасць|спалучальнасці]] [[множанне|множання]] вынікае, што для любых [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'',
:<math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n\, .</math>
 
===Адвольныя цэлыя паказнікіпаказчыкі===
Пры ненулявых ''b'' і натуральных ''n'' зваротны стасунак з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе
:<math>b^{n} = \frac{b^{n+1}}{b} .</math>
 
Прымаючы гэты стасунак за прыдатны да ўсіх цэлых ''n'' і ненулявых ''b'', атрымліваем
Радок 74 ⟶ 73:
 
ці больш агульна,
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}\, .</math>
 
для любой ненулявой асновы ''b'' і любога цэлага паказнікапаказчыка ''n''.
 
Варта адзначыць наступнае:
* Любы лік у першай ступені роўны самаму сабе.
* Любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы; нулявы паказнікпаказчык можна вытлумачыць як пусты здабытак, г.зн. здабытак, які не мае множнікаў.
* Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 0<sup>0</sup>. Гэты выраз з'яўляецца [[нявызначанасць, (матэматыка)|нявы{{націск}}значанасцю]] і падрабязней разглядаецца [[#Нуль у нулявой ступені|ніжэй]].
* Узвядзенне нуля ў адмоўную ступень прадугледжвала б [[дзяленне на нуль]], таму нуль у адмоўнай ступені нявызначаны.
 
Тоеснасць
:<math>b^{m+n} = b^m b^n\, ,</math>
 
спачатку вызначаная толькі для [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'', праўдзіцца для адвольных [[цэлы лік|цэлых]] ''m'' і ''n'', з тым толькі абмежаваннем, што ''m'' і ''n'' павінны быць дадатнымі, калі ''b'' - нуль.
 
=== Камбінаторнае вытлумачэнне ===
Для неадмоўных цэлых ''n'' і ''m'', ступень {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} роўная [[магутнасць мноства|магутнасці]] мноства [[N-ка (тэорыя мностваў)|''m''-ак]] з ''n''-элементнага [[Мноства, (матэматыка)|мноства]], або ліку ўсіх ''m''-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з ''n'' букваў.
 
Для неадмоўных цэлых ''n'' і ''m'', ступень {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} роўная [[магутнасць мноства|магутнасці]] мноства [[N-ка (тэорыя мностваў)|''m''-ак]] з ''n''-элементнага [[Мноства (матэматыка)|мноства]], або ліку ўсіх ''m''-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з ''n'' букваў.
 
:{|
Радок 117 ⟶ 115:
 
===Тоеснасці і ўласцівасці===
* Калі аснова ''b'' не роўная нулю, наступныя [[тоеснасць, (матэматыка)|тоеснасці]] праўдзяцца для любых цэлых паказнікаўпаказчыкаў ''m'' і ''n'':
:<math>\begin{align}
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
Радок 124 ⟶ 122:
\end{align}</math>
 
* Ступеняванне не [[перастаўляльнасць, (матэматыка)|перастаўляльнае]] ў адрозненне ад [[складанне|складання]] і [[множанне|множання]]. Таму, увогуле кажучы:
*:<math>
a^b \ne b^a.
Радок 130 ⟶ 128:
*:Напрыклад, {{nowrap|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} і {{nowrap|1=2·3 = 3·2 = 6}}, але {{nowrap|1=2<sup>3</sup> = 8}}, у той час як {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 9}}.
 
* Ступеняванне не [[спалучальнасць, (матэматыка)|спалучальнае]], тады як для складання і множання [[спалучальнасць, (матэматыка)|спалучальнасць]] ўласціва. У агульным выпадку:
*:<math>
b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{p \cdot q}.
Радок 139 ⟶ 137:
 
''Заўвага'':
У вышэйпрыведзенай формуле пра парадак вылічэнняў можна здагадацца дзякуючы адрозненням у памерах шрыфту, якім пададзеныя паказнікіпаказчыкі ступені. Тым не менш, дамоўленасць распаўсюджваецца і на радковыя запісы ўзору ''b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q'' (такое адлюстраванне ўласціва кампутарнымкамп'ютарным сістэмам алгебры).
 
==Рацыянальныя паказнікіпаказчыкі==
{{Асноўны артыкул|Арыфметычны корань}}
[[Выява:Root graphs.svg|right|thumb|300px|зверху ўніз: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.
Радок 148 ⟶ 146:
'''Корань ''n''-й ступені''' з [[лік]]у ''b'' - такі лік ''x'', ''n''-ая ступень якога роўная ''b'': {{math|''x''<sup>''n''</sup> {{=}} ''b''}}.
 
Калі ''b'' - дадатны [[рэчаісны лік]], а ''n'' - [[натуральны лік|натуральны]], тады існуе адзіны рэчаісны развязак раўнанняураўнення {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}}. Гэты развязак называецца [[Арыфметычны корань|'''арыфметычным коранем ступені ''n'' ''']] з ''b''. Ён пазначаецца як <math>\sqrt[n]{b}</math>, дзе сімвал √<span style="text-decoration:overline">&ensp;</span> - так званы '''радыкал'''; іншым шляхам гэта можна запісаць як {{math|''b''<sup>{{дроб|''n''}}</sup>}}. Напрыклад: 4<sup>1/2</sup> = 2, 8<sup>1/3</sup> = 2.
 
Калі кажуць корань ''n''-й ступені з дадатнага [[рэчаісны лік|рэчаіснага ліку]] ''b'', звычайна маюць на ўвазе '''арыфметычны корань ''n''-й ступені'''.
 
Калі ''n'' - [[Цотнасць, (матэматыка)|цотны]], то раўнаннеўраўненне {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}} мае два рэчаісныя развязкі пры дадатным ''b'': дадатны і адмоўны карані ''n''-й ступені.
Пры адмоўным ''b'' раўнаннеураўненне не мае развязкаў.
 
Пры няцотным ''n'' раўнаннеураўненне {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}} мае адзіны рэчаісны развязак. Ён дадатны пры дадатным ''b'' і адмоўны пры адмоўным ''b''.
 
Няхай {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} - [[нескарачальны дроб]].
Радок 163 ⟶ 161:
 
Прыклады:
(−27)<sup>1/3</sup>&nbsp; =&nbsp; −3,
(−27)<sup>2/3</sup>&nbsp; =&nbsp; 9,
а 4<sup>3/2</sup> мае два карані 8 і −8.
 
Калі ''b'' адмоўны, а ''n'' цотны, пры вызначэнні ступені {{math|''b''<sup>''m''/''n''</sup>}} даводзіцца выкарыстоўваць [[уяўная адзінка|уяўную адзінку]] ''i'', як апісана ніжэй у раздзеле [[#Ступені камплексных лікаў|Ступені камплексных лікаў]]. Прычынай гэтага ёсць адсутнасць рэчаісных развязкаў раўнанняураўнення ''x''<sup>2</sup>&nbsp; =&nbsp; −1.
 
Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку ''b'' з рацыянальным паказнікампаказчыкам {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} (нескарачальны дроб) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:
 
Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку ''b'' з рацыянальным паказнікам {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} (нескарачальны дроб) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:
 
:<math>b^\frac{m}{n} = \left(b^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b^m}</math>
 
дзе ''m'' - цэлы лік, а ''n'' - натуральны лік.
 
 
''Заўвага'': ужываючы ступенныя тоеснасці ў выпадку адмоўнага значэння кораня ''n''-ай ступені, нельга губляць пільнасці.
Напрыклад: выснова −27&nbsp; = &nbsp; (−27)<sup>((2/3)⋅(3/2))</sup>&nbsp; = &nbsp; ((−27)<sup>2/3</sup>)<sup>3/2</sup>&nbsp; = &nbsp; 9<sup>3/2</sup>&nbsp; = &nbsp; 27
відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, палягае ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеняў камплексных лікаў (гл. раздзел [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]]).
З гэтай прычыны ў якасці значэння кораня ''n''-ай ступені варта браць значэнне [[арыфметычны корань|арыфметычнага кораня]].
 
==Рэчаісныя паказнікіпаказчыкі==
Прыведзеныя вышэй для цэлых паказнікаўпаказчыкаў [[#Тоеснасці і ўласцівасці|тоеснасці і ўласцівасці]] праўдзяцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказнікаміпаказчыкамі. Аднак тоеснасць
 
Прыведзеныя вышэй для цэлых паказнікаў [[#Тоеснасці і ўласцівасці|тоеснасці і ўласцівасці]] праўдзяцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказнікамі. Аднак тоеснасць
 
:<math>(b^r)^s = b^{r\cdot s}</math>
Радок 190 ⟶ 185:
нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы ''b'' (гл. [[#Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі|Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі]]). Няздатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].
 
Пашырэнне ступенявання на рэчаісныя паказнікіпаказчыкі можна ажыццявіць або непарыўна працягваючы рацыянальныя ступені да рэчаісных, або выкарыстоўваючы [[паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|паказнікавуюпаказчыкавую функцыю]] і адваротны ёй [[натуральны лагарыфм]].
 
===Граніцы рацыянальных ступеняў===
А як [[ірацыянальны лік]] можна наблізіць [[рацыянальны лік|рацыянальным]], то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку ''b'' с адвольным рэчаісным паказнікампаказчыкам ''x'' можна вызначыць [[непарыўны працяг|непарыўным працягам]] згодна з правілам<ref name=Fihtengolc1>
{{кніга
|аўтар = Г.М. Фихтенгольц
Радок 213 ⟶ 208:
 
Напрыклад, няхай {{math|''x'' {{=}} π}} і {{math|''b'' > 1}}. Тады каб атрымаць сцяжныя прамежкі, абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеняў) можна выкарыстаць бясконцае дзесятковае пада{{націск}}нне {{math|π {{=}} 3,14159...}}:
:<math>[b^3,b^4],\ [b^{3.1},b^{3.2}],\ [b^{3.14},b^{3.15}],\ [b^{3.141},b^{3.142}],\ [b^{3.1415},b^{3.1416}],\ [b^{3.14159},b^{3.14160}],\ \ldots .</math>
 
Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, пазначанага як {{math|''b''<sup>π</sup>}}. Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку ''b''. Такім чынам, функцыя {{math|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} вызначана для любога рэчаіснага ліку ''x''.
 
===Паказнікавая функцыя===
 
{{Асноўны артыкул|Паказнікавая функцыя}}
 
Вядомая матэматычная сталая [[E (матэматычная сталая)|''e'']] (часам яе называюць [[лік Ойлера|лікам Ойлера]]; яна прыблізна роўная 2,718) ёсць асновай [[натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]]. І хоць ступеняванне ліку ''e'' можна разгледзець такім жа чынам як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку ''e'' на іншыя віды паказнікаўпаказчыкаў, такія як [[камплексны лік|камплексныя лікі]] ці, нават, [[Матрыца, (матэматыка)|матрыцы]].
 
Як вынік, запіс {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} звычайна пазначае абагульненую '''паказнікавуюпаказчыкавую функцыю''' {{math|exp(''x'')}}, якую можна вызначыць некалькімі раўназначнымі спосабамі, напрыклад як<ref name=EEM3>
{{кніга
|аўтар =
Радок 240 ⟶ 234:
:<math>\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n </math>
 
Сярод іншых уласцівасцей функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказнікавуюпаказчыкавую тоеснасць:
:<math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>
 
Паказнікавая функцыя {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} вызначана пры ўсіх цэлых, дробных, рэчаісных і [[камплексны лік|камплексных]] значэннях ''x''.
Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя сутнасці, такія як [[матрычная паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|квадратныя матрыцы]] (у гэтым выпадку паказнікаваяпаказчыкавая тоеснасць праўдзіцца, толькі калі ''x'' і ''y'' [[Перастаўляльнасць, (матэматыка)|перастаўляльныя]]).
 
А як {{math|exp(1) {{=}} ''e''}}, і функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказнікавуюпаказчыкавую тоеснасць, то адразу атрымоўваем, што азначэнне функцыі {{math|exp(''x'')}} з дапамогай [[граніца паслядоўнасці|граніцы]] раўназначнае кратна-памнажальнаму азначэнню {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} для цэлых ''x'', адсюль вынікае супадзенне пры ўсіх [[рацыянальны лік|рацыянальных]] паказнікахпаказчыках, а далей праз непарыўнасць і пры ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных]] паказнікахпаказчыках.
 
===Ступеняванне праз лагарыфмаванне===
[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') ёсць [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да паказнікавайпаказчыкавай функцыі ''e''<sup>''x''</sup>. Ён вызначаны пры ''b'' > 0 і задавальняе тоеснасць
 
[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') ёсць [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да паказнікавай функцыі ''e''<sup>''x''</sup>. Ён вызначаны пры ''b'' > 0 і задавальняе тоеснасць
:<math>b = e^{\ln b}</math>
 
З лагарыфмічных і паказнікавыхпаказчыкавых тоеснасцей вынікае, што для любога рэчаіснага ліку ''x'' праўдзіцца тоеснасць
:<math>b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}</math>.
 
Гэту тоеснасць можна выкарыстаць<ref name=EEM3/> у якасці яшчэ аднаго азначэння рэчаіснай ступені ''b''<sup>''x''</sup>, якое ўзгоднена з вышэй пададзеным азначэннем, заснаваным на выкарыстанні рацыянальных паказнікаўпаказчыкаў і непарыўнасці. Азначэнне ступенявання праз лагарыфмаванне шырока ўжываецца ў камплексным аналізе, гл. ніжэй.
 
===Рэчаісныя ступені з адмоўнымі асновамі===
Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды ёсцьз'яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак раўнаннеураўненне ''x''<sup>2</sup>&nbsp; =&nbsp; 4 мае два развязкі: 2 і -2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 4<sup>1/2</sup> ёсць 2, але -2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі, губляючы пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.
 
Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Граніца, (матэматыка)|граніцы]] па рацыянальных паказнікахпаказчыках нельга вызначыць {{math|''b''<sup>''r''</sup>}} як рэчаісны лік для ўсіх рэчаісных лікаў ''r''. І насамрэч, {{math|''e''<sup>''r''</sup>}} ёсцьз'яўляецца дадатным пры любым рэчаісным значэнні ''r'', таму {{math|ln(''b'')}} не вызначаны для {{math|''b'' ≤ 0}}.
Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды ёсць дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак раўнанне ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;4 мае два развязкі: 2 і -2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 4<sup>1/2</sup> ёсць 2, але -2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі, губляючы пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.
 
Спосаб рацыянальных паказнікаўпаказчыкаў нельга выкарыстаць для адмоўных значэнняў ''b'', таму што ён заснаваны на [[непарыўны працяг, (матэматыка)|непарыўнасці]]. Функцыя {{math|''f''(''r'') {{=}} ''b''<sup>''r''</sup>}} мае адзіны непарыўны працяг<ref name=Fihtengolc1/><ref name=EEM3/> з мноства рацыянальных лікаў на рэчаісныя лікі пры любым ''b'' > 0. Але пры ''b'' < 0 функцыя {{math|''f''(''r'')}} нават не з'яўляецца непарыўнай на мностве рацыянальных лікаў ''r'', для якіх яна вызначана.
Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Граніца (матэматыка)|граніцы]] па рацыянальных паказніках нельга вызначыць {{math|''b''<sup>''r''</sup>}} як рэчаісны лік для ўсіх рэчаісных лікаў ''r''. І насамрэч, {{math|''e''<sup>''r''</sup>}} ёсць дадатным пры любым рэчаісным значэнні ''r'', таму {{math|ln(''b'')}} не вызначаны для {{math|''b'' ≤ 0}}.
 
Спосаб рацыянальных паказнікаў нельга выкарыстаць для адмоўных значэнняў ''b'', таму што ён заснаваны на [[непарыўны працяг (матэматыка)|непарыўнасці]]. Функцыя {{math|''f''(''r'') {{=}} ''b''<sup>''r''</sup>}} мае адзіны непарыўны працяг<ref name=Fihtengolc1/><ref name=EEM3/> з мноства рацыянальных лікаў на рэчаісныя лікі пры любым ''b'' > 0. Але пры ''b'' < 0 функцыя {{math|''f''(''r'')}} нават не з'яўляецца непарыўнай на мностве рацыянальных лікаў ''r'', для якіх яна вызначана.
 
Напрыклад, разгледзім ''b'' = −1. Корань ''n''-ай ступені з −1 роўны −1 пры любых няцотных натуральных ''n''. Так што пры няцотным натуральным ''n'' ма{{націск}}ем {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} −1}} для няцотных ''m'', і {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} 1}} ма{{націск}}ем для цотных ''m''. Адсюль атрымоўваем, што мноства рацыянальных лікаў ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} 1}}, [[шчыльнае мноства|шчыльнае]] ў мностве рацыянальных лікаў, гэтак сама як і мноства тых ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} −1}}. Гэта азначае, што функцыя {{math|(−1)<sup>''q''</sup>}} разрыўная ў любым рацыянальным ліку ''q'', дзе яна вызначана.
Радок 272 ⟶ 264:
==Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі==
===Уяўныя ступені з асновай ''e''===
{{Асноўны артыкул|Камплексная паказнікаваяпаказчыкавая функцыя}}
 
[[Выява:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|[[Паказнікавая функцыя|Паказнікавую функцыю]] {{math|''e''<sup>''z''</sup>}} можна вызначыць як [[Граніца паслядоўнасці|граніцу]] паслядоўнасці {{math|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}} пры ''N'', накіраваным да бясконцасці, і адсюль {{math|''e''<sup>''i''π</sup>}} ёсць граніцаю паслядоўнасці {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. На гэтай анімацыі ''N'' прымае нарастальныя значэнні ад 1 да 100. Вылічэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} падаецца як сукупны вынік ''N''-кратнага памнажэння на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]], дзе канцавы пункт адлюстроўвае бягучае месцазнаходжанне велічыні {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. Відаць, што пры нарастанні ''N'' значэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} набліжаецца да гранічнага пункта −1. Як вынік, праўдзіцца тоеснасць {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}, вядомая як [[тоеснасць Ойлера]].]]
 
Каб усвядоміць, што ўяўляе сабоюсабой выраз {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} для рэчаісных {{math|''x''}}, варта звярнуцца да геаметрычнага сэнсу аперацый над [[камплексны лік|камплекснымі лікамі]] і азначэння паказнікавайпаказчыкавай функцыі як граніцы. Разгледзім [[прамавугольны трохвугольнік]] {{math|(0, 1, 1 + ''ix''/''n'').}} Пры вялікіх значэннях ''n'' гэты трохвугольнік амаль тое ж, што і [[кругавы сектар]] с малым цэнтральным вуглом, роўным {{math|''x''/''n''}} [[радыян, (матэматыка)|радыянаў]]. Трохвугольнікі {{math|(0, (1 + ''ix''/''n'')<sup>''k''</sup>, (1 + ''ix''/''n'')<sup>''k''+1</sup>)}} ёсць узаемна [[Падобнасць, (геаметрыя)|падобнымі]] пры любых цэлых ''k''. Так што пры досыць вялікіх ''n'' значэнні {{math|(1 + ''ix''/''n'')<sup>''n''</sup>}} набліжаюцца да свайго [[гранічны пункт|гранічнага пункта]], які ляжыць на [[адзінкавая акружына|адзінкавай акружыне]] і ма{{націск}}е [[палярныя каардынаты]] {{math|(''r'', ''θ'') {{=}} (1, ''x'')}} (каардыната {{math|''r''}} азначае адлегласць паміж пунктам і пачаткам каардынат, каардыната {{math|''θ''}} ёсць [[Палярны вугал|палярным вуглом]], які адлічваецца ад дадатнага прамяня [[лікавая прамая|рэчаіснай восі]]); [[дэкартавы каардынаты]] гэтага пункта роўныя {{math|(cos ''x'', sin ''x'')}}. Такім чынам, ма{{націск}}ем формулу
:<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ,
 
якая называецца [[Формула Ойлера|формулай Ойлера]] і звязвае ступеняванне з [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычнымі функцыямі]] праз [[камплексныя лікі]].
Радок 283 ⟶ 275:
''Заўвага'': прыведзеныя разважанні не ёсць доказам формулы Ойлера, а з'яўляюцца ўсяго толькі так званымі "праўдападобнымі", або "эўрыстычнымі", разважаннямі.
 
Развязкі раўнанняўраўнення {{math|''e''<sup>''z''</sup> {{=}} 1}} ёсцьз'яўляецца кратнымі цэлымі ад {{math|2π''i''}}:
:<math>\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>
 
Ці больш агульна, калі праўдзіцца роўнасць {{math|e<sup>''v''</sup> {{=}} ''w''}}, то любы развязак раўнанняураўнення {{math|''e''<sup>''z''</sup> {{=}} ''w''}} можна атрымаць складаючы {{math|''v''}} і нейкае цэлае кратнае ад {{math|2π''i''}}:
:<math>\{ z : e^z = w \} = \{ v + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>
 
Такім чынам, камплексная паказнікаваяпаказчыкавая функцыя ёсць [[перыядычная функцыя|перыядычнай функцыяй]] з перыядам {{math|2π''i''}}.
 
Прасцей: {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}; {{math|''e''<sup>''x'' + ''iy''</sup> {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>(cos ''y'' + ''i'' sin ''y'')}}.
Радок 295 ⟶ 287:
===Трыганаметрычныя функцыі===
{{Асноўны артыкул|формула Ойлера}}
З прыведзенай вышэй формулы Ойлера вынікае, што [[трыганаметрычныя функцыі]] [[сінус]] і [[косінус]] можна вызначыць праз [[паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|паказнікавуюпаказчыкавую функцыю]]:
:<math>\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}; \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}</math>
 
Гістарычна ж, [[сінус]] і [[косінус]] былі вызначаны з дапамогай геаметрычных паняццяў да вынаходніцтва [[камплексны лік|камплексных лікаў]]. Дзякуючы [[формула Ойлера|формуле Ойлера]] і ўласцівасцям [[паказнікаваяпаказчыкавая функцыя|паказнікавайпаказчыкавай функцыі]] складаныя формулы [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]] ад сумы можна ўлучыць у адну простую паказнікавуюпаказчыкавую формулу
:<math>e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}</math>
 
Выкарыстанне ступенявання з камплекснымі паказнікаміпаказчыкамі дазваляе звесці трыганаметрычныя задачы да алгебраічных.
 
===Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі===
Няхай ''b'' ёсцьз'яўляецца дадатным [[рэчаісны лік|рэчаісным лікам]], а ''z'' ёсць [[камплексны лік|камплексным лікам]]. Тады ступень {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} вызначаецца як {{math|''e''<sup>''z''·ln(''b'')</sup>}}, дзе {{math|''x'' {{=}} ln(''b'')}} ёсцьз'яўляецца адзіным развязкам раўнанняураўнення {{math|''e''<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''}}. (Такім чынам, спосаб, прыдатны для рэчаісных паказнікаўпаказчыкаў, працуе і ў выпадку камплексных паказнікаўпаказчыкаў).
 
Няхай ''b'' ёсць дадатным [[рэчаісны лік|рэчаісным лікам]], а ''z'' ёсць [[камплексны лік|камплексным лікам]]. Тады ступень {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} вызначаецца як {{math|''e''<sup>''z''·ln(''b'')</sup>}}, дзе {{math|''x'' {{=}} ln(''b'')}} ёсць адзіным развязкам раўнання {{math|''e''<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''}}. (Такім чынам, спосаб, прыдатны для рэчаісных паказнікаў, працуе і ў выпадку камплексных паказнікаў).
 
Напрыклад:
Радок 319 ⟶ 310:
 
==Ступені камплексных лікаў==
Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных паказнікаўпаказчыкаў і камплексных асноў сутыкаюцца з цяжкасцямі. Пры гэтым прыйдзецца мець справу з [[мнагазначная функцыя|мнагазначнымі функцыямі]], якія прымаюць у пункце не адно значэнне, а адразу нейкае мноства значэнняў. Акрамя таго, адны са ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей будуць праўдзіцца толькі з пэўнымі ўдакладненнямі, а другія наогул стануць неўжывальнымі.
 
Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных паказнікаў і камплексных асноў сутыкаюцца з цяжкасцямі. Пры гэтым прыйдзецца мець справу з [[мнагазначная функцыя|мнагазначнымі функцыямі]], якія прымаюць у пункце не адно значэнне, а адразу нейкае мноства значэнняў. Акрамя таго, адны са ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей будуць праўдзіцца толькі з пэўнымі ўдакладненнямі, а другія наогул стануць неўжывальнымі.
 
Пры апісанні мнагазначных функцый натуральным чынам узнікае паняцце [[Рыманава паверхня|рыманавай паверхні]]. Камплексныя ступені і лагарыфмы можна разглядаць як адназначныя функцыі на адпаведных [[Рыманава паверхня|рыманавых паверхнях]]. Рыманава паверхня мнагазначнай функцыі мнагапластовая, гэта значыць аднаму пункту на звычайнай камплекснай плоскасці адпавядае мноства пунктаў рыманавай паверхні. Аднак можна зрабіць такі разрэз камплекснай плоскасці, што рыманава паверхня распадзецца на асобныя пласты (або лісты), прычым кожнаму пункту камплекснай плоскасці на такім пласце будзе адпавядаць не больш за адзін пункт. Выбіраючы пэўны пласт рыманавай паверхні, мы тым самым выбіраем пэўную адназначную [[Галіна аналітычнай функцыі|галіну функцыі]]. Значэнне выбранай галіны мае разрыў уздоўж [[Разрэз (рыманава паверхня)|разрэзу]]. Таму звычайныя правілы для ступеняў могуць прывесці нас да памылкі.
 
А як [[камплексны лагарыфм|камплексны лагарыфм]] ёсцьз'яўляецца мнагазначнай функцыяй, то любая нерацыянальная ступень камплекснага ліку мае бясконцую колькасць магчымых значэнняў. Галоўнае значэнне выбіраецца з мноства ўсіх значэнняў так, каб яно супадала са значэннем звычайнай рэчаіснай ступені ў выпадку дадатных рэчаісных асноў і рэчаісных паказнікаўпаказчыкаў.
 
Узвядзенне дадатных рэчаісных лікаў у камплексную ступень фармальна адрозніваецца ад узвядзення камплексных лікаў у камплексную ступень. Гэта выклікана ў першую чаргу тым, што для вызначэння першай аперацыі дастаткова звычайнага адназначнага [[Лагарыфм|рэчаіснага лагарыфма]], у той час як для другой неабходны мнагазначны [[камплексны лагарыфм]]. Тым не менш, камплекснае ступеняванне ўлучае ў сябе і ступеняванне з дадатнымі рэчаіснымі асновамі.
Радок 333 ⟶ 323:
[[Выява:Polar to cartesian.svg|thumb|Месцазнаходжанне камплекснага ліку з модулем ''r'' і аргументам ''θ'']]
 
Пры цэлых паказнікахпаказчыках можна карыстацца азначэннем ступені, прыведзеным у раздзеле [[#Адвольныя цэлыя паказнікіпаказчыкі]]. Цэлая ступень камплекснага ліку ёсцьз'яўляецца адназначнай функцыяй. Акрамя таго існуе [[формула Муаўра|цікавая формула]] для ступенявання камплексных лікаў у выпадку цэлых паказнікаўпаказчыкаў.
 
Няхай ''n'' - [[цэлы лік]], і
Радок 354 ⟶ 344:
{{Гл. таксама|Арыфметычны корань}}
 
Рацыянальныя ступені камплексных лікаў ёсць развязкамі пэўных алгебраічных раўнанняўураўненняў. А таму, з улікам [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай тэарэмы алгебры]], яны заўсёды маюць концую колькасць значэнняў.
 
Спярша вызначым корань ''n''-ай ступені з камплекснага ліку.
'''Коранем ''n''-ай ступені''' з ліку {{math|''z''}} называецца любы развязак {{math|''w''}} раўнанняураўнення {{math|''w''<sup>''n''</sup> {{=}} z}}.
Згодна з [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай теарэмай алгебры]] гэтае раўнаннеўраўненне ма{{націск}}е ''n'' развязкаў (калі {{math|''z'' {{=}} 0}}, то раўнаннеўраўненне мае адзін ''n''-кратны корань). Напрыклад, квадратны корань {{math|''w'' {{=}} ''z''<sup>1/2</sup>}} ёсць развязкам раўнанняураўнення {{math|''w''<sup>2</sup> {{=}} ''z''}} і, адпаведна, мае два значэнні.
 
З [[формула Муаўра|формулы Муаўра]] вынікае, што ўсе значэнні кораня ''n''-й ступені можна вылічыць па формуле<ref name="М-ТАФ1">
Радок 391 ⟶ 381:
называецца '''галоўным значэннем'''. Няцяжка пераканацца, што для дадатных рэчаісных лікаў галоўнае значэнне кораня супадае з арыфметычным коранем ''n''-ай ступені.
 
Нарэшце, вызначым ступень з адвольным рацыянальным паказнікампаказчыкам як:
:<math>
z^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{z}\right)^m.
Радок 399 ⟶ 389:
{{гл. таксама|Камплексны лагарыфм}}
 
Ступеняванне ў выпадку адвольных [[камплексны лік|камплексных]] асноў і паказнікаўпаказчыкаў вызначаецца праз [[камплексны лагарыфм|камплексны натуральны лагарыфм]]<ref name="М-ТАФ1"/>:
:<math>
w = a^z = e^{z \cdot \operatorname{Ln} a},
Радок 405 ⟶ 395:
дзе {{math|Ln ''a''}} - камплексны лагарыфм ліку {{math|''a''}}.
 
Варта заўважыць: раз [[камплексны лагарыфм]] ёсць [[мнагазначная функцыя|мнагазначнай функцыяй]], то ступеняванне камплекснага ліку, ўвогуле кажучы, ёсцьз'яўляецца мнагазначнай аперацыяй.
 
Запішам аснову {{math|''a''}} ў паказнікавайпаказчыкавай форме
:<math>
a = r e^{i\theta} = e^{\ln(r) + i\theta},
Радок 418 ⟶ 408:
</math>
 
Адсюль відаць, што пры [[ірацыянальны лік|ірацыянальным]] паказнікупаказчыку {{math|z}} ступень камплекснага ліку ма{{націск}}е бясконца многа значэнняў.
Такім чынам, каб вылічыць пэўнае значэнне ступені, найперш трэба выбраць нейкую [[Галіна мнагазначнай функцыі|галіну]] камплекснага лагарыфма (выбраць пэўнае {{math|''k''}}).
 
'''Прыклады ступенявання камплексных лікаў'''
 
У прыведзеных прыкладах пераважна выкарыстоўваецца галоўнае значэнне лагарыфма. Абсяг вызначэння галоўнага значэння ёсць [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасцю]] з разрэзам уздоўж адмоўнага напрамку рэчаіснай восі і выкалатым нулём. Пры гэтым галоўнае значэнне аргумента {{math|''θ''}} належыць прамежку {{math|(−π, π]}}. Каб вылічыць {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, запішам {{math|''i''}} ў паказнікавайпаказчыкавай і алгебраічнай формах:
:<math>\begin{align}
i &= 1 \cdot e^{\frac{1}{2} i \pi} \\
Радок 434 ⟶ 424:
</math>
 
Гэткім жа чынам, каб вылічыць {{math|(−2)<sup>3 + 4''i''</sup>}}, запішам лік −2 ў паказнікавайпаказчыкавай форме,
:<math>-2 = 2e^{i \pi}</math>
 
Радок 446 ⟶ 436:
\end{align}</math>
 
Такім чынам, існуе бясконца многа магчымых значэнняў {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, па адным для кожнага цэлага ''k''. Усе яны ёсцьз'яўляецца рэчаіснымі лікамі, так што можна сказаць, што {{math|''i''<sup>''i''</sup>}} мае бясконца многа рэчаісных значэнняў.
 
===Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей===
Радок 464 ⟶ 454:
z \cdot \operatorname{Ln}(w) &= \left\{ z \cdot \ln(w) + z \cdot 2 \pi i m : m \in\Z \right\}
\end{align}</math>
* Тоеснасці {{math|(''bc'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} і {{math|(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} праўдзяцца, калі ''b'' і ''c'' ёсцьз'яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі, а ''x'' ёсцьз'яўляецца рэчаісным лікам. Аднак, калі пры вылічэнні ступеняў выкарыстоўваць галоўныя значэнні, можна атрымаць наступныя супярэчнасці:
*:: <math>1 = (-1\times -1)^\frac{1}{2} \not = (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2} = -1,</math>
*::<math>i = (-1)^\frac{1}{2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^\frac{1}{2} \not = \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i} = -i.</math>
*: З другога боку, калі ''x'' ёсць [[цэлы лік|цэлым лікам]], тоеснасці справядлівыя для ўсіх ненулявых камплексных лікаў.
 
* Тоеснасць {{math|(e<sup>''x''</sup>)<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''xy''</sup>}} праўдзіцца для ўсіх рэчаісных лікаў ''x'' і ''y''. Але дапушчэнне справядлівасці тоеснасці і для камплексных лікаў прыводзіць да [[супярэчнасць, (матэматыка)|супярэчнасці]], заўважанай у 1827 годзе [[Томас КлаўзэнКлаўзен, (матэматык)|Томасам КлаўзэнамКлаўзенам]]<ref name="Clausen1827">
{{артыкул
|аўтар = Steiner J, Clausen T, Abel NH.
Радок 494 ⟶ 484:
*: У прыведзеным разважанні паўстае шэраг праблем:
*: Галоўная памылка - гэта змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга: якое са значэнняў выбіраецца ў якасці галоўнага.
*: Аднак з пункту гледжання мнагазначнасці першая памылка была зроблена раней. У першым радку лік ''e'' разглядаецца як рэчаісны, тады як вынік {{math|''e''<sup>1+2π''in''</sup>}} ёсцьз'яўляецца камплексным лікам, які лепш пада{{націск}}ць у выглядзе {{math|''e''+0''i''}}. Падстаноўка камплекснага ліку замест рэчаіснага ў другім радку надае ступені мнагазначнасць. Змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга таксама ўплывае на мноства значэнняў выніку. Таму <math>\scriptstyle (e^z)^w \;\ne\; e^{z w}</math>, а дакладней праўдзіцца роўнасць <math>\scriptstyle (e^z)^w \;=\; e^{(z \,+\, 2\pi i n) w}</math>, дзе апошні выраз прымае розныя значэнні ў залежнасці ад цэлых ''n''.
 
==Нуль у нулявой ступені==
[[Выява:X^y.png|right|thumb|300px|Графік {{math|1=''z'' {{=}} ''x''<sup>''y''</sup>}}. Чырвоныя крывыя (на якіх ''z'' ма{{націск}}е сталае значэнне) даюць розныя [[граніца функцыі|граніцы]], калі {{math|(''x'',''y'')}} набліжаецца да {{math|(0,0)}}. Зялёныя ж крывыя (якія маюць концы сталы нахіл: {{math|1=''y'' {{=}} ''ax''}}) усе даюць [[граніца функцыі|граніцу]] 1.]]
 
===Дыскрэтныя паказнікіпаказчыкі ступені===
Часцей за ўсё, у абставінах, дзе паказнікіпаказчыкі прымаюць [[дыскрэтная велічыня|дыскрэтныя]] (звычайна, цэлыя) значэнні, вытлумачэнне значэння 0<sup>0</sup> як адзінкі спрашчае формулы і здымае патрэбу ва ўвядзенні адмысловых выпадкаў у тэарэмах. (Гл. наступны падраздзел пра абставіны, дзе паказнікіпаказчыкі прымаюць значэнні з непарыўнага мноства.)
Напрыклад:
*Разгляд выразу {{math|''b''<sup>0</sup>}} як [[пусты здабытак, (матэматыка)|пустога здабытку]] налучае яго значэннем 1, нават калі {{math|''b'' {{=}} 0}}.
*[[#Камбінаторнае вытлумачэнне|У камбінаторыцы]] выраз 0<sup>0</sup> тлумачыцца як колькасць пустых [[n-ка (тэорыя мностваў)|0-ак]] (нулёвак), складзеных з элементаў пустога мноства. Існуе адзіная пустая нулёўка.
*Гэтак сама, [[#Ступеняванне над мноствамі|тэорыя мностваў вытлумачвае]] выраз 0<sup>0</sup> як лік функцый з пустога мноства ў пустое. Існуе адзіная такая функцыя<ref name="Bourbaki">
Радок 541 ⟶ 531:
 
===У аналізе===
З другога боку, калі выраз 0<sup>0</sup> узнікае пры спробе вызначыць [[граніца функцыі|граніцу]] <math>\scriptstyle \lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)}</math>, яго трэба разглядаць як [[нявызначанасць, (матэматыка)|нявызначанасць]].
*[[Граніца, (матэматыка)|Граніцу]] выразу часта можна вылічыць, замяніўшы падвыразы іхнімі [[граніца, (матэматыка)|граніцамі]], ці проста падставіўшы гранічныя значэнні аргумента. Калі ж выраз пры такой падстаноўцы страчвае сэнс, яго называюць [[нявызначанасць, (матэматыка)|нявызначанасцю]]<ref name="МЭ"/>. Насамрэч, няхай ''f''(''t'') і ''g''(''t'') ёсцьз'яўляецца рэчаіснымі функцыямі і абедзве імкнуцца да 0 (пры ''t'', накіраваным да рэчаіснага ліку або ±∞), і акрамя таго ''f''(''t'')>0. Але функцыя {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} не абавязана імкнуцца да 1. У залежнасці ад ''f'' і ''g'', [[граніца функцыі|граніца]] выразу {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} можа быць любым неадмоўным рэчаісным лікам або +∞, ці можа проста не існаваць. Напрыклад, усе прыведзеныя ніжэй функцыі выглядаюць як {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}}, дзе {{math|''f''(''t'')}},{{math|''g''(''t'')&nbsp;→&nbsp;0}} пры [[аднабаковая граніца функцыі|{{math|''t''&nbsp;→&nbsp;0<sup>+</sup>}}]], аднак іхнія [[граніца функцыі|гранічныя значэнні]] розныя:
::<math> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}</math>.
 
:Такім чынам, выраз 0<sup>0</sup> ёсць нявызначанасцю. Такія паводзіны паказваюць, што функцыя ад двух зменных {{math|''x''<sup>''y''</sup>}}, хоць і непарыўная на мностве {{math|{(''x'',''y''): ''x'' > 0}}}, але не можа быць [[непарыўная функцыя|непарыўна]] працягнута ні на адно мноства, якое утрымлівалаўтрымлівала б пункт (0,0), бо няма спосабу несупярэчліва вызначыць 0<sup>0</sup>.
*На [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] функцыя {{math|''f''(''z'',''w'') {{=}} ''z''<sup>''w''</sup>}} вызначаецца для ненулявых ''z'' згодна з {{math|''z''<sup>''w''</sup> {{=}} ''e''<sup>''w'' Ln ''z''</sup>}}. Аднак ніводная галіна функцыі {{math|Ln ''z''}} не вызначана ў пункце {{math|''z'' {{=}} 0}}.
 
== Крыніцы і спасылкі ==
<references/>
 
 
[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]