Ступеняванне: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др Bot: Migrating 57 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q33456 (translate me) |
др clean up, replaced: раўнання → ураўнення (9), раўнанн → ураўненн (7), (геаметрыя) → , геаметрыя, . → . (5), , → , (2), ампутар → амп'ютар, дв using AWB |
||
Радок 14:
}}
</ref> - [[арыфметычная аперацыя]] над двума лікамі:
'''[[
''b''<sup>''n''</sup>.
Калі ''n'' ёсць [[натуральны лік|натуральным лікам]], ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) [[множанне|множанню]]; інакш кажучы, '''''b''''' ў ступені '''''n''''' ёсць здабыткам '''''n''''' множнікаў, кожны з якіх роўны '''''b''''' (такі здабытак таксама называецца '''ступенню'''):
Радок 22:
:<math>b \times n = \underbrace{b + \cdots + b}_n</math>
Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для [[натуральны лік|натуральных лікаў]], і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя [[цэлы лік|цэлыя]] ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага [[дзяленне|дзялення]]), на [[рацыянальны лік|рацыянальныя]] ступені (такім чынам, сюды была
Паказнік ступені звычайна запісваюць як [[надрадковы знак]] справа ад асновы. Запіс ступенявання ''b''<sup>''n''</sup> можна чытаць наступным чынам:
Радок 35:
Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі ''"ўзвядзенне ў ступень"'' і ''"ступеняванне"'':
#словазлучэнне "ўзвядзенне ў ступень" ужываецца, калі
#слова "ступеняванне" выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што
Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і "ступеняванне", і "ўзвядзенне ў ступень".
Як адзначалася вышэй, ступень ''b''<sup>''n''</sup> можна вызначыць і для адмоўных цэлых ''n'', калі ''b'' не нуль. Не існуе натуральнага пашырэння ступенявання на ўсе рэчаісныя асновы ''b'' і
[[Матрычная
Ступеняваннем глыбока прасякнуты шматлікія мадэлі і вылічэнні ў самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўлучыць [[фізіка|фізіку]] ([[хвалі]], [[ядзерны распад]]), [[хімія|хімію]] ([[хімічная кінетыка]]), [[біялогія|біялогію]] ([[рост папуляцый]]), [[эканоміка|эканоміку]] ([[складаныя
[[Выява:Expo02.svg|thumb|315px|Графікі ''y''=''b''<sup>''x''</sup> для розных асноў ''b'': аснова
==Цэлыя
Для ступенявання з цэлымі
===Натуральныя паказнікі===▼
''Фармальнае азначэнне'':
Ступені з натуральным
:<math>b^1 = b</math>
і [[зваротны стасунак|зваротнага стасунку]]
:<math>b^{n+1} = b^n \cdot b\,
Са [[Спалучальная ўласцівасць|спалучальнасці]] [[множанне|множання]] вынікае, што для любых [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'',
:<math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n\,
===Адвольныя цэлыя
Пры ненулявых ''b'' і натуральных ''n'' зваротны стасунак з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе
:<math>b^{n} = \frac{b^{n+1}}{b}
Прымаючы гэты стасунак за прыдатны да ўсіх цэлых ''n'' і ненулявых ''b'', атрымліваем
Радок 74 ⟶ 73:
ці больш агульна,
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}\,
для любой ненулявой асновы ''b'' і любога цэлага
Варта адзначыць наступнае:
* Любы лік у першай ступені роўны самаму сабе.
* Любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы; нулявы
* Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 0<sup>0</sup>. Гэты выраз з'яўляецца [[нявызначанасць,
* Узвядзенне нуля ў адмоўную ступень прадугледжвала б [[дзяленне на нуль]], таму нуль у адмоўнай ступені нявызначаны.
Тоеснасць
:<math>b^{m+n} = b^m b^n\,
спачатку вызначаная толькі для [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'', праўдзіцца для адвольных [[цэлы лік|цэлых]] ''m'' і ''n'', з тым толькі абмежаваннем, што ''m'' і ''n'' павінны быць дадатнымі, калі ''b'' - нуль.
=== Камбінаторнае вытлумачэнне ===
Для неадмоўных цэлых ''n'' і ''m'', ступень {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} роўная [[магутнасць мноства|магутнасці]] мноства [[N-ка (тэорыя мностваў)|''m''-ак]] з ''n''-элементнага [[Мноства,
▲Для неадмоўных цэлых ''n'' і ''m'', ступень {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} роўная [[магутнасць мноства|магутнасці]] мноства [[N-ка (тэорыя мностваў)|''m''-ак]] з ''n''-элементнага [[Мноства (матэматыка)|мноства]], або ліку ўсіх ''m''-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з ''n'' букваў.
:{|
Радок 117 ⟶ 115:
===Тоеснасці і ўласцівасці===
* Калі аснова ''b'' не роўная нулю, наступныя [[тоеснасць,
:<math>\begin{align}
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
Радок 124 ⟶ 122:
\end{align}</math>
* Ступеняванне не [[перастаўляльнасць,
*:<math>
a^b \ne b^a.
Радок 130 ⟶ 128:
*:Напрыклад, {{nowrap|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} і {{nowrap|1=2·3 = 3·2 = 6}}, але {{nowrap|1=2<sup>3</sup> = 8}}, у той час як {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 9}}.
* Ступеняванне не [[спалучальнасць,
*:<math>
b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{p \cdot q}.
Радок 139 ⟶ 137:
''Заўвага'':
У вышэйпрыведзенай формуле пра парадак вылічэнняў можна здагадацца дзякуючы адрозненням у памерах шрыфту, якім пададзеныя
==Рацыянальныя
{{Асноўны артыкул|Арыфметычны корань}}
[[Выява:Root graphs.svg|right|thumb|300px|зверху ўніз: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.
Радок 148 ⟶ 146:
'''Корань ''n''-й ступені''' з [[лік]]у ''b'' - такі лік ''x'', ''n''-ая ступень якога роўная ''b'': {{math|''x''<sup>''n''</sup> {{=}} ''b''}}.
Калі ''b'' - дадатны [[рэчаісны лік]], а ''n'' - [[натуральны лік|натуральны]], тады існуе адзіны рэчаісны развязак
Калі кажуць корань ''n''-й ступені з дадатнага [[рэчаісны лік|рэчаіснага ліку]] ''b'', звычайна маюць на ўвазе '''арыфметычны корань ''n''-й ступені'''.
Калі ''n'' - [[Цотнасць,
Пры адмоўным ''b''
Пры няцотным ''n''
Няхай {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} - [[нескарачальны дроб]].
Радок 163 ⟶ 161:
Прыклады:
(−27)<sup>1/3</sup>
(−27)<sup>2/3</sup>
а 4<sup>3/2</sup> мае два карані 8 і −8.
Калі ''b'' адмоўны, а ''n'' цотны, пры вызначэнні ступені {{math|''b''<sup>''m''/''n''</sup>}} даводзіцца выкарыстоўваць [[уяўная адзінка|уяўную адзінку]] ''i'', як апісана ніжэй у раздзеле [[#Ступені камплексных лікаў|Ступені камплексных лікаў]]. Прычынай гэтага ёсць адсутнасць рэчаісных развязкаў
Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку ''b'' з рацыянальным
▲Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку ''b'' з рацыянальным паказнікам {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} (нескарачальны дроб) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:
:<math>b^\frac{m}{n} = \left(b^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b^m}</math>
дзе ''m'' - цэлы лік, а ''n'' - натуральны лік.
''Заўвага'': ужываючы ступенныя тоеснасці ў выпадку адмоўнага значэння кораня ''n''-ай ступені, нельга губляць пільнасці.
Напрыклад: выснова −27
відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, палягае ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеняў камплексных лікаў (гл. раздзел [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]]).
З гэтай прычыны ў якасці значэння кораня ''n''-ай ступені варта браць значэнне [[арыфметычны корань|арыфметычнага кораня]].
==Рэчаісныя
Прыведзеныя вышэй для цэлых
▲Прыведзеныя вышэй для цэлых паказнікаў [[#Тоеснасці і ўласцівасці|тоеснасці і ўласцівасці]] праўдзяцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказнікамі. Аднак тоеснасць
:<math>(b^r)^s = b^{r\cdot s}</math>
Радок 190 ⟶ 185:
нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы ''b'' (гл. [[#Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі|Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі]]). Няздатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].
Пашырэнне ступенявання на рэчаісныя
===Граніцы рацыянальных ступеняў===
А як [[ірацыянальны лік]] можна наблізіць [[рацыянальны лік|рацыянальным]], то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку ''b'' с адвольным рэчаісным
{{кніга
|аўтар = Г.М. Фихтенгольц
Радок 213 ⟶ 208:
Напрыклад, няхай {{math|''x'' {{=}} π}} і {{math|''b'' > 1}}. Тады каб атрымаць сцяжныя прамежкі, абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеняў) можна выкарыстаць бясконцае дзесятковае пада{{націск}}нне {{math|π {{=}} 3,14159...}}:
:<math>[b^3,b^4],\ [b^{3.1},b^{3.2}],\ [b^{3.14},b^{3.15}],\ [b^{3.141},b^{3.142}],\ [b^{3.1415},b^{3.1416}],\ [b^{3.14159},b^{3.14160}],\ \ldots
Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, пазначанага як {{math|''b''<sup>π</sup>}}. Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку ''b''. Такім чынам, функцыя {{math|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} вызначана для любога рэчаіснага ліку ''x''.
===Паказнікавая функцыя===
{{Асноўны артыкул|Паказнікавая функцыя}}
Вядомая матэматычная сталая [[E (матэматычная сталая)|''e'']] (часам яе называюць [[лік Ойлера|лікам Ойлера]]; яна прыблізна роўная 2,718) ёсць асновай [[натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]]. І хоць ступеняванне ліку ''e'' можна разгледзець такім жа чынам як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку ''e'' на іншыя віды
Як вынік, запіс {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} звычайна пазначае абагульненую '''
{{кніга
|аўтар =
Радок 240 ⟶ 234:
:<math>\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n </math>
Сярод іншых уласцівасцей функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе
:<math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>
Паказнікавая функцыя {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} вызначана пры ўсіх цэлых, дробных, рэчаісных і [[камплексны лік|камплексных]] значэннях ''x''.
Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя сутнасці, такія як [[матрычная
А як {{math|exp(1) {{=}} ''e''}}, і функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе
===Ступеняванне праз лагарыфмаванне===
[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') ёсць [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да
▲[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') ёсць [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да паказнікавай функцыі ''e''<sup>''x''</sup>. Ён вызначаны пры ''b'' > 0 і задавальняе тоеснасць
:<math>b = e^{\ln b}</math>
З лагарыфмічных і
:<math>b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}</math>.
Гэту тоеснасць можна выкарыстаць<ref name=EEM3/> у якасці яшчэ аднаго азначэння рэчаіснай ступені ''b''<sup>''x''</sup>, якое ўзгоднена з вышэй пададзеным азначэннем, заснаваным на выкарыстанні рацыянальных
===Рэчаісныя ступені з адмоўнымі асновамі===
Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды
Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Граніца,
▲Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды ёсць дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак раўнанне ''x''<sup>2</sup> = 4 мае два развязкі: 2 і -2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 4<sup>1/2</sup> ёсць 2, але -2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі, губляючы пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.
Спосаб рацыянальных
▲Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Граніца (матэматыка)|граніцы]] па рацыянальных паказніках нельга вызначыць {{math|''b''<sup>''r''</sup>}} як рэчаісны лік для ўсіх рэчаісных лікаў ''r''. І насамрэч, {{math|''e''<sup>''r''</sup>}} ёсць дадатным пры любым рэчаісным значэнні ''r'', таму {{math|ln(''b'')}} не вызначаны для {{math|''b'' ≤ 0}}.
▲Спосаб рацыянальных паказнікаў нельга выкарыстаць для адмоўных значэнняў ''b'', таму што ён заснаваны на [[непарыўны працяг (матэматыка)|непарыўнасці]]. Функцыя {{math|''f''(''r'') {{=}} ''b''<sup>''r''</sup>}} мае адзіны непарыўны працяг<ref name=Fihtengolc1/><ref name=EEM3/> з мноства рацыянальных лікаў на рэчаісныя лікі пры любым ''b'' > 0. Але пры ''b'' < 0 функцыя {{math|''f''(''r'')}} нават не з'яўляецца непарыўнай на мностве рацыянальных лікаў ''r'', для якіх яна вызначана.
Напрыклад, разгледзім ''b'' = −1. Корань ''n''-ай ступені з −1 роўны −1 пры любых няцотных натуральных ''n''. Так што пры няцотным натуральным ''n'' ма{{націск}}ем {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} −1}} для няцотных ''m'', і {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} 1}} ма{{націск}}ем для цотных ''m''. Адсюль атрымоўваем, што мноства рацыянальных лікаў ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} 1}}, [[шчыльнае мноства|шчыльнае]] ў мностве рацыянальных лікаў, гэтак сама як і мноства тых ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} −1}}. Гэта азначае, што функцыя {{math|(−1)<sup>''q''</sup>}} разрыўная ў любым рацыянальным ліку ''q'', дзе яна вызначана.
Радок 272 ⟶ 264:
==Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі==
===Уяўныя ступені з асновай ''e''===
{{Асноўны артыкул|Камплексная
[[Выява:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|[[Паказнікавая функцыя|Паказнікавую функцыю]] {{math|''e''<sup>''z''</sup>}} можна вызначыць як [[Граніца паслядоўнасці|граніцу]] паслядоўнасці {{math|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}} пры ''N'', накіраваным да бясконцасці, і адсюль {{math|''e''<sup>''i''π</sup>}} ёсць граніцаю паслядоўнасці {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. На гэтай анімацыі ''N'' прымае нарастальныя значэнні ад 1 да 100. Вылічэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} падаецца як сукупны вынік ''N''-кратнага памнажэння на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]], дзе канцавы пункт адлюстроўвае бягучае месцазнаходжанне велічыні {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. Відаць, што пры нарастанні ''N'' значэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} набліжаецца да гранічнага пункта −1. Як вынік, праўдзіцца тоеснасць {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}, вядомая як [[тоеснасць Ойлера]].]]
Каб усвядоміць, што ўяўляе
:<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>
якая называецца [[Формула Ойлера|формулай Ойлера]] і звязвае ступеняванне з [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычнымі функцыямі]] праз [[камплексныя лікі]].
Радок 283 ⟶ 275:
''Заўвага'': прыведзеныя разважанні не ёсць доказам формулы Ойлера, а з'яўляюцца ўсяго толькі так званымі "праўдападобнымі", або "эўрыстычнымі", разважаннямі.
Развязкі
:<math>\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>
Ці больш агульна, калі праўдзіцца роўнасць {{math|e<sup>''v''</sup> {{=}} ''w''}}, то любы развязак
:<math>\{ z : e^z = w \} = \{ v + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}</math>
Такім чынам, камплексная
Прасцей: {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}; {{math|''e''<sup>''x'' + ''iy''</sup> {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>(cos ''y'' + ''i'' sin ''y'')}}.
Радок 295 ⟶ 287:
===Трыганаметрычныя функцыі===
{{Асноўны артыкул|формула Ойлера}}
З прыведзенай вышэй формулы Ойлера вынікае, што [[трыганаметрычныя функцыі]] [[сінус]] і [[косінус]] можна вызначыць праз [[
:<math>\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}; \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}</math>
Гістарычна ж, [[сінус]] і [[косінус]] былі вызначаны з дапамогай геаметрычных паняццяў да вынаходніцтва [[камплексны лік|камплексных лікаў]]. Дзякуючы [[формула Ойлера|формуле Ойлера]] і ўласцівасцям [[
:<math>e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}</math>
Выкарыстанне ступенявання з камплекснымі
===Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі===
Няхай ''b''
▲Няхай ''b'' ёсць дадатным [[рэчаісны лік|рэчаісным лікам]], а ''z'' ёсць [[камплексны лік|камплексным лікам]]. Тады ступень {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} вызначаецца як {{math|''e''<sup>''z''·ln(''b'')</sup>}}, дзе {{math|''x'' {{=}} ln(''b'')}} ёсць адзіным развязкам раўнання {{math|''e''<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''}}. (Такім чынам, спосаб, прыдатны для рэчаісных паказнікаў, працуе і ў выпадку камплексных паказнікаў).
Напрыклад:
Радок 319 ⟶ 310:
==Ступені камплексных лікаў==
Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных
▲Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных паказнікаў і камплексных асноў сутыкаюцца з цяжкасцямі. Пры гэтым прыйдзецца мець справу з [[мнагазначная функцыя|мнагазначнымі функцыямі]], якія прымаюць у пункце не адно значэнне, а адразу нейкае мноства значэнняў. Акрамя таго, адны са ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей будуць праўдзіцца толькі з пэўнымі ўдакладненнямі, а другія наогул стануць неўжывальнымі.
Пры апісанні мнагазначных функцый натуральным чынам узнікае паняцце [[Рыманава паверхня|рыманавай паверхні]]. Камплексныя ступені і лагарыфмы можна разглядаць як адназначныя функцыі на адпаведных [[Рыманава паверхня|рыманавых паверхнях]]. Рыманава паверхня мнагазначнай функцыі мнагапластовая, гэта значыць аднаму пункту на звычайнай камплекснай плоскасці адпавядае мноства пунктаў рыманавай паверхні. Аднак можна зрабіць такі разрэз камплекснай плоскасці, што рыманава паверхня распадзецца на асобныя пласты (або лісты), прычым кожнаму пункту камплекснай плоскасці на такім пласце будзе адпавядаць не больш за адзін пункт. Выбіраючы пэўны пласт рыманавай паверхні, мы тым самым выбіраем пэўную адназначную [[Галіна аналітычнай функцыі|галіну функцыі]]. Значэнне выбранай галіны мае разрыў уздоўж [[Разрэз (рыманава паверхня)|разрэзу]]. Таму звычайныя правілы для ступеняў могуць прывесці нас да памылкі.
А як [[
Узвядзенне дадатных рэчаісных лікаў у камплексную ступень фармальна адрозніваецца ад узвядзення камплексных лікаў у камплексную ступень. Гэта выклікана ў першую чаргу тым, што для вызначэння першай аперацыі дастаткова звычайнага адназначнага [[Лагарыфм|рэчаіснага лагарыфма]], у той час як для другой неабходны мнагазначны [[камплексны лагарыфм]]. Тым не менш, камплекснае ступеняванне ўлучае ў сябе і ступеняванне з дадатнымі рэчаіснымі асновамі.
Радок 333 ⟶ 323:
[[Выява:Polar to cartesian.svg|thumb|Месцазнаходжанне камплекснага ліку з модулем ''r'' і аргументам ''θ'']]
Пры цэлых
Няхай ''n'' - [[цэлы лік]], і
Радок 354 ⟶ 344:
{{Гл. таксама|Арыфметычны корань}}
Рацыянальныя ступені камплексных лікаў ёсць развязкамі пэўных алгебраічных
Спярша вызначым корань ''n''-ай ступені з камплекснага ліку.
'''Коранем ''n''-ай ступені''' з ліку {{math|''z''}} называецца любы развязак {{math|''w''}}
Згодна з [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай теарэмай алгебры]] гэтае
З [[формула Муаўра|формулы Муаўра]] вынікае, што ўсе значэнні кораня ''n''-й ступені можна вылічыць па формуле<ref name="М-ТАФ1">
Радок 391 ⟶ 381:
называецца '''галоўным значэннем'''. Няцяжка пераканацца, што для дадатных рэчаісных лікаў галоўнае значэнне кораня супадае з арыфметычным коранем ''n''-ай ступені.
Нарэшце, вызначым ступень з адвольным рацыянальным
:<math>
z^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{z}\right)^m.
Радок 399 ⟶ 389:
{{гл. таксама|Камплексны лагарыфм}}
Ступеняванне ў выпадку адвольных [[камплексны лік|камплексных]] асноў і
:<math>
w = a^z = e^{z \cdot \operatorname{Ln} a},
Радок 405 ⟶ 395:
дзе {{math|Ln ''a''}} - камплексны лагарыфм ліку {{math|''a''}}.
Варта заўважыць: раз [[камплексны лагарыфм]] ёсць [[мнагазначная функцыя|мнагазначнай функцыяй]], то ступеняванне камплекснага ліку, ўвогуле кажучы,
Запішам аснову {{math|''a''}} ў
:<math>
a = r e^{i\theta} = e^{\ln(r) + i\theta},
Радок 418 ⟶ 408:
</math>
Адсюль відаць, што пры [[ірацыянальны лік|ірацыянальным]]
Такім чынам, каб вылічыць пэўнае значэнне ступені, найперш трэба выбраць нейкую [[Галіна мнагазначнай функцыі|галіну]] камплекснага лагарыфма (выбраць пэўнае {{math|''k''}}).
'''Прыклады ступенявання камплексных лікаў'''
У прыведзеных прыкладах пераважна выкарыстоўваецца галоўнае значэнне лагарыфма. Абсяг вызначэння галоўнага значэння ёсць [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасцю]] з разрэзам уздоўж адмоўнага напрамку рэчаіснай восі і выкалатым нулём. Пры гэтым галоўнае значэнне аргумента {{math|''θ''}} належыць прамежку {{math|(−π, π]}}. Каб вылічыць {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, запішам {{math|''i''}} ў
:<math>\begin{align}
i &= 1 \cdot e^{\frac{1}{2} i \pi} \\
Радок 434 ⟶ 424:
</math>
Гэткім жа чынам, каб вылічыць {{math|(−2)<sup>3 + 4''i''</sup>}}, запішам лік −2 ў
:<math>-2 = 2e^{i \pi}</math>
Радок 446 ⟶ 436:
\end{align}</math>
Такім чынам, існуе бясконца многа магчымых значэнняў {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, па адным для кожнага цэлага ''k''. Усе яны
===Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей===
Радок 464 ⟶ 454:
z \cdot \operatorname{Ln}(w) &= \left\{ z \cdot \ln(w) + z \cdot 2 \pi i m : m \in\Z \right\}
\end{align}</math>
* Тоеснасці {{math|(''bc'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} і {{math|(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} праўдзяцца, калі ''b'' і ''c''
*:: <math>1 = (-1\times -1)^\frac{1}{2} \not = (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2} = -1,</math>
*::<math>i = (-1)^\frac{1}{2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^\frac{1}{2} \not = \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i} = -i.</math>
*: З другога боку, калі ''x'' ёсць [[цэлы лік|цэлым лікам]], тоеснасці справядлівыя для ўсіх ненулявых камплексных лікаў.
* Тоеснасць {{math|(e<sup>''x''</sup>)<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''xy''</sup>}} праўдзіцца для ўсіх рэчаісных лікаў ''x'' і ''y''. Але дапушчэнне справядлівасці тоеснасці і для камплексных лікаў прыводзіць да [[супярэчнасць,
{{артыкул
|аўтар = Steiner J, Clausen T, Abel NH.
Радок 494 ⟶ 484:
*: У прыведзеным разважанні паўстае шэраг праблем:
*: Галоўная памылка - гэта змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга: якое са значэнняў выбіраецца ў якасці галоўнага.
*: Аднак з пункту гледжання мнагазначнасці першая памылка была зроблена раней. У першым радку лік ''e'' разглядаецца як рэчаісны, тады як вынік {{math|''e''<sup>1+2π''in''</sup>}}
==Нуль у нулявой ступені==
[[Выява:X^y.png|right|thumb|300px|Графік {{math|1=''z'' {{=}} ''x''<sup>''y''</sup>}}. Чырвоныя крывыя (на якіх ''z'' ма{{націск}}е сталае значэнне) даюць розныя [[граніца функцыі|граніцы]], калі {{math|(''x'',''y'')}} набліжаецца да {{math|(0,0)}}. Зялёныя ж крывыя (якія маюць концы сталы нахіл: {{math|1=''y'' {{=}} ''ax''}}) усе даюць [[граніца функцыі|граніцу]] 1.]]
===Дыскрэтныя
Часцей за ўсё, у абставінах, дзе
Напрыклад:
*Разгляд выразу {{math|''b''<sup>0</sup>}} як [[пусты здабытак,
*[[#Камбінаторнае вытлумачэнне|У камбінаторыцы]] выраз 0<sup>0</sup> тлумачыцца як колькасць пустых [[n-ка (тэорыя мностваў)|0-ак]] (нулёвак), складзеных з элементаў пустога мноства. Існуе адзіная пустая нулёўка.
*Гэтак сама, [[#Ступеняванне над мноствамі|тэорыя мностваў вытлумачвае]] выраз 0<sup>0</sup> як лік функцый з пустога мноства ў пустое. Існуе адзіная такая функцыя<ref name="Bourbaki">
Радок 541 ⟶ 531:
===У аналізе===
З другога боку, калі выраз 0<sup>0</sup> узнікае пры спробе вызначыць [[граніца функцыі|граніцу]] <math>\scriptstyle \lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)}</math>, яго трэба разглядаць як [[нявызначанасць,
*[[Граніца,
::<math> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}</math>.
:Такім чынам, выраз 0<sup>0</sup> ёсць нявызначанасцю. Такія паводзіны паказваюць, што функцыя ад двух зменных {{math|''x''<sup>''y''</sup>}}, хоць і непарыўная на мностве {{math|{(''x'',''y''): ''x'' > 0}}}, але не можа быць [[непарыўная функцыя|непарыўна]] працягнута ні на адно мноства, якое
*На [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] функцыя {{math|''f''(''z'',''w'') {{=}} ''z''<sup>''w''</sup>}} вызначаецца для ненулявых ''z'' згодна з {{math|''z''<sup>''w''</sup> {{=}} ''e''<sup>''w'' Ln ''z''</sup>}}. Аднак ніводная галіна функцыі {{math|Ln ''z''}} не вызначана ў пункце {{math|''z'' {{=}} 0}}.
== Крыніцы і спасылкі ==
<references/>
[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]
|