Вікіпедыя

Закон Біё — Савара — Лапласа: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[недагледжаная версія][дагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
др арфаграфія, стылявыя змены
Радок 1:
{{Электрадынаміка}}
'''Закон Біё — СавараСава́ра — ЛапласаЛапла́са''' — [[фізічны закон]] для вызначэння вектара [[Магнітная індукцыя|індукцыі]] [[Магнітнае поле|магнітнага поля]], спараджальнагаякое спараджаецца пастаянным [[электрычны ток|электрычным токам]]. Быў усталяваныустаноўлены эксперыментальна ў 1820 годзе [[Жан-Батыст Біё|Біё]] і [[Фелікс Савар|Саварам]] і сфармуляваны ў агульным выглядзе [[П'ер-Сімон Лаплас|Лапласам]]. Лаплас паказаў таксама, што з дапамогай гэтага закона можна вылічыць магнітнае поле кропкавага зарада,рушачага якізараду рухаецца(калі (лічачылічыць рух адной зараджанай часціцы токам).▼
 
Закон Біё — Савара — Лапласа гуляеіграе ў [[Магнітастатыка|магнітастатыцы]] тую ж ролю, што і [[закон Кулона]] ў [[Электрастатыка|электрастатыцы]]. Закон Біё — Савара — Лапласа можна лічыць галоўным законам магнітастатыкі, атрымліваючы з яго астатнія яе вынікі.▼
▲'''Закон Біё — Савара — Лапласа''' — [[фізічны закон]] для вызначэння вектара [[Магнітная індукцыя|індукцыі]] [[Магнітнае поле|магнітнага поля]], спараджальнага пастаянным [[электрычны ток|электрычным токам]]. Быў усталяваны эксперыментальна ў 1820 годзе [[Жан-Батыст Біё|Біё]] і [[Фелікс Савар|Саварам]] і сфармуляваны ў агульным выглядзе [[П'ер-Сімон Лаплас|Лапласам]]. Лаплас паказаў таксама, што з дапамогай гэтага закона можна вылічыць магнітнае поле кропкавага зарада, які рухаецца (лічачы рух адной зараджанай часціцы токам).
 
У сучаснай фармулёўцы закон Біё — Савара — Лапласа часцей разглядаюць як следствавынік двух [[Ураўненні Максвела|ураўненняў Максвела]] для магнітнага поля пры ўмове сталасці электрычнага поля, г.зн. ў сучаснай фармулёўцы ўраўненні Максвела выступаюць як больш фундаментальныя (перш за ўсё, хоцьхаця быб таму, што формулу Біё — Савара — Лапласа нельга проста абагульніць на агульны выпадак палёў, якія залежаць ад [[час]]у).▼
▲Закон Біё — Савара — Лапласа гуляе ў [[Магнітастатыка|магнітастатыцы]] тую ж ролю, што і [[закон Кулона]] ў [[Электрастатыка|электрастатыцы]]. Закон Біё — Савара — Лапласа можна лічыць галоўным законам магнітастатыкі, атрымліваючы з яго астатнія яе вынікі.
 
▲У сучаснай фармулёўцы закон Біё — Савара — Лапласа часцей разглядаюць як следства двух [[Ураўненні Максвела|ураўненняў Максвела]] для магнітнага поля пры ўмове сталасці электрычнага поля, г.зн. ў сучаснай фармулёўцы ўраўненні Максвела выступаюць як больш фундаментальныя (перш за ўсё хоць бы таму, што формулу Біё — Савара — Лапласа нельга проста абагульніць на агульны выпадак палёў, якія залежаць ад [[час]]у).
 
== Для току, які цячэ па контуру (тонкім правадніку) ==
 
Няхай пастаянны ток <math>I</math> цячэ па контуру (правадніку) <math>\gamma</math>, які знаходзіцца ў [[вакуум]]е, <math>\mathbf{r}_0</math> — кропка, у якой шукаеццатрэба (назіраецца)знайсці поле, тады [[Магнітная індукцыя|індукцыя]] магнітнага поля ў гэтай кропцы выражаецца інтэгралам (у [[Міжнародная сістэма адзінак|Міжнароднай сістэме адзінак]] (СІ))
 
: <math>\mathbf B (\mathbf{r}_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
Радок 19 ⟶ 17:
\frac{I[d\mathbf{r} \times \mathbf {e_{r,r_o}}]}{(\mathbf r_0 - \mathbf r)^2}
,</math>
дзе квадратнымі дужкамі абазначаны [[вектарны здабытак]],
: <math>r</math> — становішча кропак контуру <math>\gamma</math>,
: <math>dr</math> — вектар элемента контуру (ток цячэ ўздоўж яго);
: <math>\mu_0</math> — [[магнітная пастаянная]];
: <math>\mathbf {e_{r,r_o}}</math> — адзінкавы вектар, накіраваны ад элемента контуру да кропкі назірання.
 
* У прынцыпе контур <math>\gamma</math> можа мець галінаванне,разгалінаванні прадстаўляючыі ўяўляць сабой калі заўгоднаадвольную складаную сетку. У такім выпадку пад выразам, прыведзеным вышэй, вартатрэба разумець суму па ўсіх галінах, складнік жжа для кожнай галіны з'яўляецца інтэгралам прыведзенага вышэй віду ( контур інтэгравання для кожнай галіны можа быць пры гэтым незамкнёным).▼
дзе квадратнымі дужкамі пазначана [[вектарны здабытак]], <math>r</math> — становішча кропак контуру <math>\gamma</math>, <math>dr</math> — вектар элемента контуру (ток цячэ ўздоўж яго); <math>\mu_0</math> — [[магнітная пастаянная]]; <math>\mathbf {e_{r,r_o}}</math> — адзінкавы вектар, накіраваны ад элемента контуру да кропкі назірання.
 
* У выпадку простага (негалінаванаганеразгалінаванага) контуру (і пры выкананні ўмоў магнітастатычнага набліжэнняпрыбліжэння, якіякалі разумеюць падлічыцца, сабойшто адсутнасцьзарады назапашванняне зарадаўназапашваюцца), ток <math>I</math> аднолькавы на ўсіх участках контуру і можа быць вынесены за знак інтэграла. (Гэта справядліва асобна і паасобку для кожнага негалінаванаганеразгалінаванага ўчастка разгалінаванагаскладанага ланцуга).▼
▲* У прынцыпе контур <math>\gamma</math> можа мець галінаванне, прадстаўляючы сабой калі заўгодна складаную сетку. У такім выпадку пад выразам, прыведзеным вышэй, варта разумець суму па ўсіх галінах, складнік ж для кожнай галіны з'яўляецца інтэгралам прыведзенага вышэй віду ( контур інтэгравання для кожнай галіны можа быць пры гэтым незамкнёным).
 
▲* У выпадку простага (негалінаванага) контуру (і пры выкананні ўмоў магнітастатычнага набліжэння, якія разумеюць пад сабой адсутнасць назапашвання зарадаў), ток <math>I</math> аднолькавы на ўсіх участках контуру і можа быць вынесены за знак інтэграла. (Гэта справядліва асобна і для кожнага негалінаванага ўчастка разгалінаванага ланцуга).
 
Калі ж узяць за кропку адліку кропку, у якой трэба знайсці вектар магнітнай індукцыі, то формула трохі спрашчаецца:▼
 
▲Калі ж узяць за кропкупункт адліку кропку, у якой трэба знайсці вектар магнітнай індукцыі, то формула трохі спрашчаецца:
:<math>d \vec B = {\mu_0 \over 4\pi} \frac{I[\vec r \times d \vec r]}{r^3} = \frac{I}{10^7} \frac{[\vec r \times d \vec r]}{r^3},</math>
дзе <math>\vec r</math> — вектар, які апісвае крывую правадніка з токам <math>I</math>,
:<math>r</math> — модуль <math>\vec r</math>,
дзе <math>\vec r</math> — вектар, які апісвае крывую правадніка з токам <math>I</math>, <math>r</math> — модуль <math>\vec r</math>, :<math>d \vec B</math> — вектар магнітнай індукцыі, які ствараецца элементам правадніка <math>d \vec r</math>.▼
 
Напрамак <math>d\mathbf B</math> перпендыкулярнаперпендыкулярны плоскасці, у якой ляжаць вектары <math>d\mathbf l \equiv d\mathbf r</math> иі <math>\mathbf{r}-\mathbf{r}_0</math>. Кірунак вектарувектара магнітнай індукцыі можаможна быць знойдзенызнайсці па правілу правайправага шрубывінта: кірунак кручэння галоўкі шрубывінта дае кірунак <math>d\mathbf B</math>, калі паступальны рух свярдзёлка адпавядае кірунку току ў элеменце. Модуль вектара <math>d\mathbf B</math> вызначаецца выразам (у сістэме [[СІ]])▼
▲дзе <math>\vec r</math> — вектар, які апісвае крывую правадніка з токам <math>I</math>, <math>r</math> — модуль <math>\vec r</math>, <math>d \vec B</math> — вектар магнітнай індукцыі, які ствараецца элементам правадніка <math>d \vec r</math>.
 
▲Напрамак <math>d\mathbf B</math> перпендыкулярна плоскасці, у якой ляжаць вектары <math>d\mathbf l \equiv d\mathbf r</math> и <math>\mathbf{r}-\mathbf{r}_0</math>. Кірунак вектару магнітнай індукцыі можа быць знойдзены па правілу правай шрубы: кірунак кручэння галоўкі шрубы дае кірунак <math>d\mathbf B</math>, калі паступальны рух свярдзёлка адпавядае кірунку току ў элеменце. Модуль вектара <math>d\mathbf B</math> вызначаецца выразам (у сістэме [[СІ]])
 
: <math>dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2}.</math>
 
[[Вектарны патэнцыял]] даецца інтэгралам (у сістэме СІ)
 
: <math>\mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I(\mathbf r)\mathbf{dl}}{|\mathbf r_0 - \mathbf r|}.</math>
 
== Для размеркаваных токаў ==
 
Для выпадку, калі крыніцай магнітнага поля з'яўляюцца размеркаваныя токі, характарызавальныхякія апісваюцца полем вектара шчыльнасці току {{math|'''j'''}}, формула закона Біё — Савара прымае выгляд (у сістэме [[СІ]]):
 
: <math>\mathbf B (\mathbf{r}_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int \frac{[\ \mathbf{j} dV,\ \mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\ ]}{|\mathbf r_0 - \mathbf r |^3},</math>
 
дзе {{math|'''j''' {{=}} '''j'''('''r''')}},
дзе '''j''' = '''j'''('''r'''),: {{math|''ddV''V}} — элемент аб'ёму, а інтэграванне вырабляеццаажыццяўляецца па ўсёй прасторы (або па ўсіх ягояе абласцях, дзе {{math|'''j'''≠'''0'''}}), '''r''' — адпавядае бягучай кропцы пры інтэграванні (становішчу элемента ''d''V).
: {{math|'''r'''}} — адпавядае бягучай кропцы пры інтэграванні (становішчу элемента {{math|''dV''}}).
 
Вектарны патэнцыял:
 
: <math>\mathbf A(\mathbf r_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
Радок 55:
{|\mathbf r_0 - \mathbf r|}.</math>
 
== СледстваВынікі ==
 
Хоць у сучасным падыходзе, як правіла, сам закон Біё — Савара выступае следствамвынікам [[Ураўненні Максвела|ураўненняў Максвела]], аднак гістарычна ягоён адкрыццёбыў папярэднічалаадкрыты ўраўненнямда ўраўненняў Максвела,. тамуТаму ўраўненні Максвела для выпадку магнітастатыкі можна разглядаць як следствавынік закона Біё — Савара. ЗЧыста чыста фармальнага пункту гледжанняфармальна ў выпадку магнітастатыкі абодва падыходы можна лічыць раўнапраўнымі, г.зн. у гэтым сэнсе тое,: што з іх лічыць зыходнымі палажэннямі (аксіёмамі), а што следствамівынікамі (вывадамі), залежыць ад выбару аксіёматызацыіаксіяматызацыі, якая ў выпадку магнітастатыкі можа быць той ці іншай з роўным фармальным правам і практычна роўнай выгодайзручнасцю.
 
Асноўнымі следствамівынікамі закона Біё — Савара з'яўляюцца (у паказанымзгаданым вышэй сэнсе) ўраўненніураўненні Максвела для выпадку [[Магнітастатыка|магнітастатыкі]], якія ў інтэгральнай форме маюць від
 
: <math> \oint\limits_S \mathbf B \cdot d\mathbf S = 0</math>
 
-— варыянт [[Тэарэма Гауса|тэарэмы Гауса]] для магнітнага поля (гэта ўраўненне застаецца ў [[Электрадынаміка|электрадынаміцы]] нязменным і для агульнага выпадку)
 
і
Радок 69:
: <math> \oint\limits_{\partial S} \mathbf B \cdot d\mathbf l = \mu_0 I = \mu_0 \int\limits_S \mathbf j \cdot d \mathbf S </math>
 
-— ураўненне для цыркуляцыі магнітнага поля ў магнітастатыцы (тут дадзенапрыведзена для выпадку вакууму, у сістэме СІ). Гэтая формула (і вывад яе вывад з закона Біё — Савара) ёсць змест [[Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля|тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля]].
 
Дыферэнцыяльная форма гэтых ураўненняў:
 
: <math>\mathrmoperatorname{div}\mathbf{B} = 0,</math>
: <math>\mathrmoperatorname{rot} \mathbf B=\mu_0\mathbf{j},</math>
 
дзе {{math|'''j'''}} — [[шчыльнасць току]] (запіс у сістэме СІ, у [[СГС|гаусавай сістэме адзінак]] канстанта замест <math>\mu_0</math> прымае выгляд <math>\frac{4\pi}{c}</math>).
 
== Вывад з ураўненняў Максвела ==
 
Закон Біё — Савара — Лапласа можаможна быць атрыманыатрымаць з ураўненняў Максвела для стацыянарнага поля. Пры гэтым вытворныя па часе роўныя 0, так што ўраўненні для поля ў вакууме прымуць выгляд (у сістэме СГС):
 
: <math>\operatorname{rot}\, \mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j,</math>
: <math>\operatorname{div}\, \mathbf B = 0,</math>
: <math>\operatorname{rot}\, \mathbf E = 0,</math>
: <math>\operatorname{div}\, \mathbf E = 4\pi \rho,</math>
 
дзе <math>\mathbf j</math> — [[шчыльнасць току]] ў прасторы. Пры гэтым электрычнае і магнітнае палі аказваюцца незалежнымі. Скарыстаемся вектарным патэнцыялам для магнітнага поля (у сістэме СГС):
 
Скарыстаем вектарны патэнцыял для магнітнага поля (у сістэме СГС):
: <math>\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A</math>▼
 
▲: <math>\mathbf B = \operatorname{rot}\, \mathbf A.</math>
 
Калібравальная інварыянтнасць ураўненняў дазваляе накласці на вектарны патэнцыял адну дадатковую ўмову:
 
: <math>\operatorname{div}\, \mathbf A = 0.</math>
 
Раскрываючы двайны [[ротар, матэматыка|ротар]] па формуле вектарнага аналізу, атрымаем для вектарнага патэнцыялу ўраўненне тыпу [[ураўненне Пуасона|ўраўнення Пуасона]]:
 
: <math>\Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j.</math>
 
Яго частковае рашэнне даецца інтэгралам, аналагічным ньютанаваму патэнцыялу:
 
: <math>\mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} dV.</math>
 
Тады магнітнае поле вызначаецца інтэгралам (у сістэме СГС)
Радок 110 ⟶ 112:
\frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r),\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV</math>
 
аналагічным па форме закону Біё — Савара — Лапласа. ГэтаГэту адпаведнасць можна зрабіць дакладнымдакладнаю, калі скарыстаццаскарыстаць абагульненыміабагульненыя функцыяміфункцыі і запісаць прасторавую шчыльнасць току, якая адпавядае віткавітку з токам ў пустымпустой прасторы. [[Тэарэма Фубіні|Пераходзячы]] ад інтэгравання па ўсёй прасторы да паўторнага інтэграла ўздоўж вітка і па артаганальных яму плоскасцямплоскасцях і ўлічваючы, што
 
: <math>\mathbf j dV = I \mathbf{dl},</math>
 
атрымаем закон Біё — Савара — Лапласа для поля вітка з токам.
 
== УжываннеПрымяненне ==
 
Няхай патрабуеццатрэба знайсці модульвелічыню магнітнай індукцыі ў цэнтры вельмі тонкай (усе віткі выкладзеныя паблізу адной акружнасці) шпулькікатушкі з лікам віткоў <{{math>|''N</math>''}} віткамі, па якой цячэ ток <math>I</math>. Знойдзем магнітную індукцыю, створаную адным вітком шпулькікатушкі. З формулы
 
:<math>d \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I[\vec r \times d \vec r]}{r^3}</math>
Радок 126 ⟶ 128:
:<math>d B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I dr \sin \alpha}{r^2},</math>
 
дзе <math>r</math> — радыус шпулькікатушкі (у дадзеным выпадку — канстанта), <math>\alpha</math> — вугал паміж вектарам <math>\vec r</math> (радыус-вектарам з цэнтра вітка да элемента вітка) і <math>d \vec r</math> (элементам вітка) — роўны <math>90^\circ</math>.
 
ПраинтэграваўшыПраінтэграваўшы абедзве часткі, атрымліваем
 
:<math>B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r^2} \int dr,</math>
 
дзе <math>\int dr = 2 \pi r </math> — сума даўжынь ўсіхусіх элементаў правадыраправадніка вітка, у дадзеным выпадку — даўжыня акружнасці, тады.
 
Тады
 
:<math>B = \mu_0 \frac{I}{2 r}.</math>
 
ТакРаз яккатушка умае шпульцы змяшчаецца <{{math>|''N</math>''}} віткоў, то сумарны модуль магнітнай індукцыі роўны
 
:<math>B = \mu_0 \frac{I N}{2 r}.</math>
 
== Літаратура ==
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Закон_Біё_—_Савара_—_Лапласа"