Розніца паміж версіямі "Трыганаметрыя"

9 947 байтаў выдалена ,  6 гадоў таму
няма тлумачэння праўкі
др (clean up, replaced: нкцыяў → нкцый, зьм → зм, а была знішчаная → а была знішчана, == → == (6) using AWB)
'''Трыганаметрыя''' (ад {{lang-el|τρίγωνον}} "[[трохвугольнік]]" і {{lang-el|μετρειν}} "вымяраць", г. зн. "вымярэнне трохвугольнікаў") — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у [[трохвугольнік]]у. Асноўная задача трыганаметрыі — "[[рашэнне трохвугольніка]]", г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.
{{Арфаграфія}}
 
'''Трыганаметрыя''' (грэч. "трыганон" трохвугольнік + "мятрэзіс" вымярэнне), раздзел матэматыкі пра суадносіны бакоў і вуглоў у [[трохвугольнік]]у. Асноўная задача трыганаметрыі - "[[рашэнне трохвугольніка]]", г.зн., вылічэнне невядомых велічынь паводле вядомых.
 
== Гісторыя ==
{{Галоўны артыкул|Гісторыя трыганаметрыі}}
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у [[Старажытны Егіпет|старажытным Егіпце]], [[Вавілон]]е і даліне [[Інд]]а больш 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні [[алгебра|алгебры]] і трыганаметрыі да астранамічных вылічэнняў. [[Лагадха]] — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматык, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая частка прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.
 
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у [[Старажытны Егіпет|старажытным Егіпце]], [[Вавілон]]е і даліне [[Інд]]а больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні [[алгебра|алгебры]] і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. [[Лагадха]] — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.
 
Грэчаскі матэматык [[Клаўдзій Пталамей]] таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.
 
== Трыганаметрычныя функцыі ==
{{Галоўны артыкул|Трыганаметрычныя функцыі}}
'''''Асноўны артыкул: [[Уласцівасці трыганаметрычных функцый]]'''''
 
[[Выява:Unit circle2.svg|thumb|200px|Адзінкавая акружнасць]]
[[Выява:Trigonometric function.png|338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла <math>\alpha</math> на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам]]
 
Возьмем адзінкавую акружнасць на [[Каардынатная плоскасць|плоскасці]] (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). ПравядземПравядзём [[прамень]] <math>l</math> з пачаткапачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла <math>\alpha</math> ад [[Дадатны лік|дадатнага]] праменя восі <math>Ox</math> супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна лічыцьвыражаць у [[градус]]ах, [[радыян]]ах ці [[град]]ах. Мы будзем разглядвацьразглядаць у градусах. Няхай пунктам скрыжаванняперасячэння <math>l</math> з адзінкавай акружнасцю будзе <math>M</math>. Тады па азначэнніазначэнню:
* функцыя '''косінус''' <math>\cos(\alpha)</math> будзе абсцысай <math>M</math>,
[[Выява:Trigonometric function.png|338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла <math>\alpha</math> у трыганаметрычнай акружнасці з радыусам, раўным адзінке]]
* функцыя '''косінуссінус''' <math>cos\sin(\alpha)</math> будзе абсцысайардынатай <math>M</math>,
* функцыя '''сінустангенс''' <math>sin\operatorname{tg}(\alpha)</math> будзе ардынатайдзеллю ардынаты <math>M</math> і яе абсцысы: <math>\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math>
* функцыя '''тангенскатангенс''' <math>tg\operatorname{ctg}(\alpha)</math> будзе дзеллю ардынатыабсцысы <math>M</math> і яе абсцысыардынаты: <math>tg\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{sin\cos(\alpha)}{cos\sin(\alpha)}</math>
* функцыя '''катангенссеканс''' <math>ctg\sec(\alpha)</math> будзе дзеллю абсцысы <math>M</math> і яе ардынаты: <math>ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)1}{\sin(\alpha)}</math>
* функцыя '''секанскасеканс''' <math>sec\operatorname{cosec}(\alpha)</math> будзе дзеллю <math>\frac{1}{sin\cos(\alpha)}</math>
* функцыя '''касеканс''' <math>cosec(\alpha)</math> будзе дзеллю <math>\frac{1}{cos(\alpha)}</math>
 
[[Выява:Sin proportional.svg|thumb|leftright|400px|[[Графік функцыі]] y = sin(x)]]
[[Выява:Cos proportional.svg|thumb|leftright|400px|[[Графік функцыі]] y = cos(x)]]
<br clear="both" />
 
Функцыі <math>\sin(\alpha)</math> і <math>\cos(\alpha)</math> вызначаныя на ўсём <math>\mathbb{R}</math>, [[вобласць значэнняў]] [-1,1] і [[перыяд]] <math>2\pi</math>. Функцыя <math>\operatorname{tg}(\alpha)</math> не вызначана наў пунктах <math>{{\pi* n}}</math>, <math>n\in\mathbb{Z}</math>, а функцыя <math>\operatorname{ctg}(\alpha)</math> не вызначана наў пунктах <math>{{\pi* n + \pi/2}}</math>, <math>n\in\mathbb{Z}</math>, і абедзве маюць вобласць значэнняў <math>\mathbb{R}</math> і перыяд <math>\pi</math>.
 
== ЗваротныяАдваротныя трыганаметрычныя функцыі ==
Функцыя, [[ЗваротнаяАдваротная функцыя|зваротнаяадваротная]] да
 
* <math>\sin(\alpha)</math> завеццаназываецца арксінус <math>\arcsin(\alpha)</math>
* <math>\cos(\alpha)</math> завеццаназываецца арккосінус <math>\arccos(\alpha)</math>
* <math>\operatorname{tg}(\alpha)</math> завеццаназываецца арктангенс <math>\operatorname{arctg}(\alpha)</math>
* <math>\operatorname{ctg}(\alpha)</math> завеццаназываецца арккатангенс <math>\operatorname{arcctg}(\alpha)</math>
 
== Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці ==
'''''Асноўны{{Галоўны артыкул: [[|Трыганаметрычныя формулы]]'''''}}
 
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць <math>\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1</math>.
 
Формула косінуса сумы: <math>\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)</math>
 
Формула косінуса рознасці: <math>\cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)</math>
 
Формула сінуса сумы: <math>\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)</math>
 
Формула сінуса рознасці: <math>\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)</math>
 
== Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай ==
[[Выява:X sin(y) Surface Plot.png|thumb|220px|y = sin(x) на комплекснай плоскасці]]
 
РаскладземРаскладзём функцыі <math>\sin(x)</math> і <math>\cos(x)</math> ў [[рад Тэйлара]]:
 
<math>\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -... \dots + (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,</math>
 
<math>\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -... \dots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \dots</math>
 
- і вызначым трыганаметрычныя функцыі [[КомплексныКамплексны лік|комплекснайкамплекснай]] зменнай <math>z</math>:
 
<math>\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} -... \dots + (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,</math>
 
<math>\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -... \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} + \dots.</math>
 
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для сапраўднайрэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на комплекснуюкамплексную зменную. Але на комплекснайкамплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў - усё <math>\mathbb{C}</math>.
 
== ЗначэніЗначэнні трыганометрычныхтрыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў ==
{{Галоўны артыкул|Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных}}
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглов прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў паказаным пункце не вызначана, а ў её наваколлі імкнецца ў бясконцасць).
 
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
{| class="standard" cellpadding="5" cellspacing="0" align="left"
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).
 
{| class="wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" align="left"
! <math> \alpha \,\!</math> || 0°(0 рад)|| 30° ({{math|π}}/6)|| 45° ({{math|π}}/4)|| 60° ({{math|π}}/3)|| 90° ({{math|π}}/2)|| 180° ({{math|π}})|| 270° (3{{math|π}}/2)|| 360° (2{{math|π}})
|-align="center"
 
|-align="center"
||<math> \mathop{\mathrmoperatorname{tg}}\, \alpha \,\!</math>||<math>{0} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {1}\,\!</math>||<math> \sqrt{3}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \mathop{\mathrmoperatorname{ctg}}\, \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> \sqrt{3}\,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>
 
|-align="center"
||<math> \sec \alpha \,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math> \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> \sqrt{2}\,\!</math>||<math> {2}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {1}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \operatorname{cosec}\, \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {2}\,\!</math>||<math> \sqrt{2}\,\!</math>||<math> \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>
|}
[[Выява:Unit circle angles.svg|300px|thumb|right|Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.]]
 
<br clear="both" />
 
=== Значэнні трыганаметрычных функцый нестандартных вуглоў ===
{| class="standard" cellpadding="5"
|-align="center"
|<math>\alpha\,</math>
|<math>\frac{\pi}{12} = 15^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{10} = 18^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{5} = 36^\circ</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ</math>
|<math>\frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ</math>
|<math>\frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha\,</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math><!-- math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math -->
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha\,</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math><!--math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math-->
|<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>2 + \sqrt{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>2 + \sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|}
 
{{Hider|
title = Значэнні трыганаметрычных функцый астатні вуглоў |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
<math>\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},</math>
 
<math>\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>
 
<math>\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>
 
<math>\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>
 
<math>\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},</math>
 
<math>\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>
 
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}},</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16}
\left(
\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \right.
</math> <math>
\left.
+ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right)
\right),</math>
 
<math>\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.</math>
}}
 
== Ужыванне ==
 
== Глядзі таксама ==
* [[Сферычная трыганаметрыя]]
* [[Эліптычная трыганаметрыя]]
 
* [[ЭліптычнаяГіпербалічная трыганаметрыя]]
 
[[Гіпербалічная трыганаметрыя]]
 
== Літаратура ==
* ''Я.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»''
* ''Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»''
 
* ''И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»''
''Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»''
 
{{math-stub}}
''И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»''
 
[[Катэгорыя:Матэматыка]]
[[Катэгорыя:Трыганаметрыя]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]