Упісаная акружнасць: Розніца паміж версіямі

[[Акружнасць]] называюць '''упісанай''' у вугал, калі яна ляжыць ўнутры [[вугал|вугла]] і кранаеццатычыцца яго бакоў. Цэнтр акружнасці, упісанай у вугал, ляжыць на [[бісектрыса|бісектрысе]] гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанайупісанай у выпуклы шматвугольнік, калі яна ляжыць ўнутры дадзенага шматвугольніка і кранаеццадатычыцца ўсіх яго бакоў.

* Калі ў дадзены выпуклы шматвугольнік можна ўпісаць акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных кутоў дадзенага шматвугольніка перакрыжощюццаперасякаюцца ў аднымадной пункцекропцы, якіякая і з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.

Уласцівасці ўпісанайупісанай акружнасці:

* Цэнтр I упісанай акружнасці называецца [[інцэнтр]]ам, ён роўнааддалены ад усіх бакоў і з'яўляецца пунктамкропкай скрыжавання бісектрыс трыкутніка.

* Калі AB — падмуракпадстава роўнабаковага <math>\triangle ABC</math>, то акружнасць, якая кранаеццатычыцца бакоў <math>\angle ACB</math> ў пунктахкропках A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.

* Калі прамая, якая праходзіць праз пункткропку I паралельнаяпаралельна баку AB, перасякае бакі BC і CA уў пунктахкропках A₁ і B₁, то <math>A_1B_1=A_1B+AB_1</math>.

* ПунктыКропкі дотыку ўпісанайупісанай у трохвугольнік T акружнасці злучаныя адрэзкамі ствараюць— атрымліваецца трохкутнік T₁.

** бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымісярэдзінны перпендыкуляр перпендыкулярамі T₁.

** Хай T₂ — ортатрохвугольнік T₁. Тады яго бакібоку паралельныяраўналежныя бакам зыходнага трыкутніка T.

* Радыус упісанай ў прамавугольныпрастакутны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны <math>\frac{a+b-c}{2}</math>.

* Адлегласць ад вяршыні С трыкутніка да пунктакропкі, у якімякой упісаная акружнасць кранаеццатычыцца бокабоку, роўнаяроўна <math>d=\frac{a+b-c}{2}=p-c</math>.

* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўпісанайупісанай акружнасці роўнаяроўна <math>l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}</math>, дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.

* Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі <math>W</math> — пункткропка перасячэння бісектрысы кута A з апісанай акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то <math>|WI|=|WB|=|WC|</math>.

| спасылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | месца = Одесса | год = 1902 | старонкі = 130 |старонак = 334 | isbn =}}</ref>: хай акружнасць <math>V</math> тычыцца бакоў <math>AB</math>, <math>AC</math> і дугі <math>BC</math> апісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math>. Тады пунктыкропкі дотыку акружнасці <math>V</math> з бакамі і цэнтр упісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math> ляжаць на адной прамой.

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самапекрыжаванняўсамаперасекаў («просты»), павінен быць выпуклым.

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць формулаўпа формуле: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>.

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктахкропках скрыжавання процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамой Гаўса. Цэнтр упісанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункткропка перакрыжаванняперасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункцекропцы перасячэння дыяганалей і пунктахкропках скрыжавання процілеглых бакоў (тэарэма Брокараў).

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая кранаеццатычыцца ўсіх яго бакоў.

* Тангенс радыусу<ref>Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мерамеру дугі вялікага круга, якая злучае пункткропку скрыжавання радыусарадыусу сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункткропку дотыку акружнасцю боку трохвугольніка. </ref> упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны <ref name="St">{{кніга|аўтар=Степанов Н. Н.|загаловак=Сферическая тригонометрия|месца=М.—Л.|выдавецтва=ОГИЗ|год=1948|старонак=154}}</ref>{{rp|73-74}}