Розніца паміж версіямі "Упісаная акружнасць"

др
Праўкі аўтарства JerzyKundrat (размова) адкочаныя; вернута апошняя версія аўтарства Paganetz
др (Праўкі аўтарства Paganetz (размова) адкочаныя; вернута апошняя версія аўтарства JerzyKundrat)
др (Праўкі аўтарства JerzyKundrat (размова) адкочаныя; вернута апошняя версія аўтарства Paganetz)
[[Файл:Okrugnost_v_mnogoug.png|міні|right|Акружнасць, упісаная ў шматвугольнік ABCDE]]
 
[[Акружнасць]] называюць '''упісанай''' у вугал, калі яна ляжыць ўнутры [[вугал|вугла]] і тычыццакранаецца яго бакоў. Цэнтр акружнасці, упісанай у вугал, ляжыць на [[бісектрыса|бісектрысе]] гэтага вугла.
 
Акружнасць называецца упісанай ўпісанай у выпуклы шматвугольнік, калі яна ляжыць ўнутры дадзенага шматвугольніка і датычыццакранаецца ўсіх яго бакоў.
 
== У шматвугольніку ==
 
* Калі ў дадзены выпуклы шматвугольнік можна ўпісаць акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных кутоў дадзенага шматвугольніка перасякаюццаперакрыжощюцца ў аднойадным кропцыпункце, якая іякі з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
 
* [[Радыус]] упісанай у шматвугольнік акружнасці роўны адносінам яго плошчы да паўперыметра
== У трохвугольніку ==
 
Уласцівасці упісанайўпісанай акружнасці:
 
* У кожны [[трохвугольнік]] можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
* Цэнтр I упісанай акружнасці называецца [[інцэнтр]]ам, ён роўнааддалены ад усіх бакоў і з'яўляецца кропкайпунктам скрыжавання бісектрыс трыкутніка.
* Радыус упісанай у трохвугольнік акружнасці роўны
 
: <math>r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}</math>
 
* Калі AB — падставападмурак роўнабаковага <math>\triangle ABC</math>, то акружнасць, якая тычыццакранаецца бакоў <math>\angle ACB</math> ў кропкахпунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
* Формула Эйлера: <math>R^2-2Rr=|OI|^2</math>, дзе <math>R</math> — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, <math>r</math> — радыус упісанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — [[Інцэнтр|цэнтр упісанай акружнасці]].
* Калі прамая, якая праходзіць праз кропкупункт I паралельнапаралельная баку AB, перасякае бакі BC і CA ўу кропкахпунктах A<sub>1</sub> і B<sub>1</sub>, то <math>A_1B_1=A_1B+AB_1</math>.
* КропкіПункты дотыку упісанайўпісанай у трохвугольнік T акружнасці злучаныя адрэзкамі — атрымліваеццаствараюць трохкутнік T<sub>1</sub>.
** бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзінны перпендыкулярсярэдзіннымі перпендыкулярамі T<sub>1</sub>.
** Хай T<sub>2</sub> — ортатрохвугольнік T<sub>1</sub>. Тады яго бокубакі раўналежныяпаралельныя бакам зыходнага трыкутніка T.
** Хай T<sub>3</sub> — пасярэдні трохвугольнік T<sub>1</sub>. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T<sub>3</sub>.
** Хай T4 — ортатрохвугольнік T<sub>3</sub>, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T<sub>4</sub>.
* Радыус упісанай ў прастакутныпрамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны <math>\frac{a+b-c}{2}</math>.
* Адлегласць ад вяршыні С трыкутніка да кропкіпункта, у якойякім упісаная акружнасць тычыццакранаецца бокубока, роўнароўная <math>d=\frac{a+b-c}{2}=p-c</math>.
* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра упісанайўпісанай акружнасці роўнароўная <math>l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}</math>, дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра упісанай акружнасці можа таксама быць знойдзена па формулах <math>l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}</math> и <math>l_c = \sqrt{ab - 4Rr}</math>
* Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі <math>W</math> — кропкапункт перасячэння бісектрысы кута A з апісанай акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то <math>|WI|=|WB|=|WC|</math>.
* Лема Вер'ера<ref>{{кніга | аўтар = {{nobr|Ефремов Д.}} | загаловак = Новая геометрия треугольника
| спасылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | месца = Одесса | год = 1902 | старонкі = 130 |старонак = 334 | isbn =}}</ref>: хай акружнасць <math>V</math> тычыцца бакоў <math>AB</math>, <math>AC</math> і дугі <math>BC</math> апісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math>. Тады кропкіпункты дотыку акружнасці <math>V</math> з бакамі і цэнтр упісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math> ляжаць на адной прамой.
 
== У чатырохвугольніку ==
 
Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасекаў самапекрыжаванняў(«просты»), павінен быць выпуклым.
 
У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых бакоў роўныя: <math>AB + CD = BC + AD</math>.
 
Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формулеформулаў: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>.
 
Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў кропкахпунктах скрыжавання процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамой Гаўса. Цэнтр упісанай у чатырохвугольнік акружнасці — кропкапункт перасячэнняперакрыжавання вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў кропцыпункце перасячэння дыяганалей і кропкахпунктах скрыжавання процілеглых бакоў (тэарэма Брокараў).
 
== У сферычным трохвугольніку ==
 
Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая тычыццакранаецца ўсіх яго бакоў.
 
* Тангенс радыусу<ref>Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мерумера дугі вялікага круга, якая злучае кропкупункт скрыжавання радыусурадыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і кропкупункт дотыку акружнасцю боку трохвугольніка. </ref> упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны <ref name="St">{{кніга|аўтар=Степанов Н. Н.|загаловак=Сферическая тригонометрия|месца=М.—Л.|выдавецтва=ОГИЗ|год=1948|старонак=154}}</ref>{{rp|73-74}}
: <math>\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,</math>