Упісаная акружнасць: Розніца паміж версіямі

[[Акружнасць]] называюць '''упісанайупісанаю''' ('''умежанаю''') у вугал, калі яна ляжыць ўнутры [[вугал|вугла]] і кранаеццадатыкаецца да яго бакоўстарон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на [[бісектрыса|бісектрысе]] гэтага вугла.

Акружнасць называецца '''ўпісанаю ўпісанай уў выпуклы шматвугольнікмногавугольнік''', калі яна ляжыць ўнутры дадзенага шматвугольнікамногавугольніка і кранаеццадатыкаецца да ўсіх яго бакоўстарон.

* Калі ў дадзены выпуклы шматвугольнікмногавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных кутоўвуглоў дадзенага шматвугольнікамногавугольніка перакрыжощюццаперасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.

* [[Радыус]] упісанай у шматвугольнікмногавугольнік акружнасці роўны адносінамадносіне яго плошчы да паўперыметра

* Цэнтр I упісанай акружнасці называецца [[інцэнтр]]ам, ён роўнааддалены ад усіх бакоўстарон і з'яўляецца пунктам скрыжаванняперасячэння бісектрыс трыкутнікатрохвугольніка.

* Калі AB  — падмуракаснова роўнабаковагароўнастаронняга <math>\triangle ABC</math>, то акружнасць, якая кранаеццадатыкаецца да бакоўстарон <math>\angle ACB</math> ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.

* Формула Эйлера: <math>R^2-2Rr=|OI|^2</math>, дзе <math>R</math> — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, <math>r</math> — радыус упісанай у яго акружнасці, O  — цэнтр апісанай акружнасці, I  — [[Інцэнтр|цэнтр упісанай акружнасці]].

* Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная бакустаране AB, перасякае бакістораны BC і CA у пунктах A₁ і B₁, то <math>A_1B_1=A_1B+AB_1</math>.

* Пункты дотыку ўпісанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі ствараюць, трохкутнікутвараюць трохвугольнік T₁.

** бісектрысыБісектрысы T з'яўляюцца [[сярэдзінны перпендыкуляр|сярэдзіннымі перпендыкулярамі]] T₁.

** Хай T₂  — ортатрохвугольнік T₁. Тады яго бакістораны паралельныя бакамсторанам зыходнага трыкутнікатрохвугольніка T.

** Хай T₃  — пасярэдні трохвугольнік T₁. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T₃.

** Хай T4  — ортатрохвугольнік T₃, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T₄.

* Адлегласць ад вяршыні С трыкутнікатрохвугольніка да пункта, у якім упісаная акружнасць кранаеццадатыкаецца бокада стараны, роўная <math>d=\frac{a+b-c}{2}=p-c</math>.

* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра упісанай акружнасці можаможна таксама быць знойдзеназнайсці па формулах <math>l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}</math> иі <math>l_c = \sqrt{ab - 4Rr}</math>

* Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі <math>W</math> — пункт перасячэння бісектрысы кутавугла A з апісанайапісанаю акружнасцю, а I  — цэнтр упісанай акружнасці, то <math>|WI|=|WB|=|WC|</math>.

| спасылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | месца = Одесса | год = 1902 | старонкі = 130 |старонак = 334 | isbn =}}</ref>: хай акружнасць <math>V</math> тычыццадатыкаецца бакоўда старон <math>AB</math>, <math>AC</math> і дугі <math>BC</math> апісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math>. Тады пункты дотыку акружнасці <math>V</math> зса бакамістаронамі і цэнтр упісанай акружнасці трохвугольніка <math>ABC</math> ляжаць на адной прамой.

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самапекрыжаванняўсамаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых бакоўстарон роўныя: <math>AB + CD = BC + AD</math>.

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць формулаў:па формуле:
<math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.</math>.

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах скрыжаванняперасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамойпрамою ГаўсаГауса. Цэнтр упісанай у чатырохвугольнік акружнасці  — пункт перакрыжаванняперасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых бакоўстарон (тэарэма Брокараў).

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка  — гэта акружнасць, якая кранаеццадатыкаецца да ўсіх яго бакоўстарон.

* Тангенс радыусурадыуса<ref>Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мера дугі вялікага круга, якая злучае пункт скрыжаванняперасячэння радыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункт дотыку акружнасцюакружнасці да бокустараны трохвугольніка. </ref> упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны <ref name="St">{{кніга|аўтар=Степанов Н. Н.|загаловак=Сферическая тригонометрия|месца=М.—Л.|выдавецтва=ОГИЗ|год=1948|старонак=154}}</ref>{{rp|73-74}}

* [[ПазаупісанаяПазаўпісаная акружнасць]]