Формулы Віета: Розніца паміж версіямі

'''Формулы Віета'''  — формулы, якія выказваюцьвыражаюць каэфіцыенты [[мнагачлен]]а праз яго [[корань мнагачлена|карані]].

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для складаннясастаўлення мнагачлена па зададзенымзададзеных каранямкаранях.

: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!</math>

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты <math>a_1, \ldots, a_n</math> выражаюцца ў выглядзе [[сіметрычны мнагачлен|сіметрычнага мнагачлена]] ад каранёў, а менавіта:

a_1 &=& -(c_1 + c_2 + \ldots + c_n), \\

a_2 &=& c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n, \\

a_3 &=& -(c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n}), \\

a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (c_1 c_2 \ldots c_{n-1} + c_1 c_2 \ldots c_{n-2} c_n + \ldots + c_2 c_3...c_n), \\

a_n &=& (-1)^n c_1 c_2 \ldots c_n. \end{matrix}.</math>

Інакш кажучы, <math>(-1)^ka_k</math> роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з <math>k</math> каранёў.:

Калі старэйшыстаршы каэфіцыент мнагачлена <math>a_0 \ne 1</math>, то для прымянення формулы Віета неабходна папярэднеспачатку падзяліць усе каэфіцыенты на <math>a_0</math> (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносінаўадносін усіх каэфіцыентаў да старэйшагастаршага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ ажыццяўляеццавынікае разглядамз роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы, <math> a_0 = 1</math>

: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n).</math>

Калі <math>~x_1</math> і <math>~x_2</math> — карані [[квадратнае ўраўненне|квадратнага ўраўнення]] <math>\ ax^2+bx+c=0</math> ,то

~x_1+x_2=~-\dfrac{b}{a}, \\

~x_1 x_2= ~\dfrac{c}{a}.

У прыватнымасобным выпадку, калі <math>a=1</math> (прыведзеная форма <math>x^2+px+q=0</math>), то

~x_1+x_2=-p, \\

~x_1 x_2=q.
\end{cases}</math>

Калі <math>x_1, x_2, x_3</math> — карані [[кубічнае ўраўненне|кубічнага ўраўнення]] <math> p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, </math>, то

: <math>\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a},\\
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac{c}{a}, \\
x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}.
\end{cases}</math>.