Дыскрымінант: Розніца паміж версіямі
| [дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др Bot: Migrating 31 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q192487 (translate me) |
др clean up, replaced: раўнання → ураўнення (4), раўнанн → ураўненн, (алгебра) → , алгебра (5), Фактор → Факцёр, а у → а ў, е у → е ў, і у → і using AWB |
||
Радок 27:
|isbn =
}}
</ref> [[мнагачлен
Так для мнагачлена
:<math>P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0</math>
дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як
:<math>D(P) = a_n^{2n-2} \prod_{1\le i < k\le n} (\alpha_i - \alpha_k)^2,</math>
дзе <math>\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n</math> − карані мнагачлена {{math|''P''(''x'')}} (г.зн. развязкі
Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.
'''Дыскрымінант (адрознік)''' алгебраічнага '''
Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) [[Квадратнае ўраўненне|квадратовага
== Дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення ==
{{Гл. таксама|Квадратны трохчлен}}
{{Гл. таксама|Квадратовае
Развязкі (карані) [[Квадратнае ўраўненне|квадратнага ўраўнення]]
Радок 57:
* Калі {{math|''D'' > 0}}, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісных развязкі <math>x_1</math> і <math>x_2</math>.
* Калі {{math|''D'' {{=}} 0}}, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем
* Калі {{math|''D'' < 0}}, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан
''Заўвага.'' Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.
Радок 66:
Няхай <math>f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\in R[x]</math> − [[мнагасклад]] {{math|''n''}}-ай ступені ад адной зменнай над [[абсяг цэласнасці|абсягам цэласнасці]] {{math|''R''}} ([[перастаўляльнасць|перастаўляльным]] [[Колца з адзінкай|колцам з адзінкай]] і без [[дзельнік нуля|дзельнікаў нуля]]).
Няхай {{math|''K''}} ёсць [[поле раскладання мнагачлена|полем раскладання]] мнагаскладу <math>f</math> (г.зн. у гэтым [[поле,
Тады '''адрознік''' ('''дыскрымінант''') мнагаскладу вызначаюць як<ref name="МЭ"/><ref name="ВинбергАлгебра">
Радок 86:
дзе <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> − [[корань мнагачлена|карані]] мнагаскладу <math>f</math>, якія ляжаць у полі {{math|''K''}}.
''Заўвага.'' Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім [[абсяг цэласнасці|абсягам цэласнасці]] {{math|''R''}} існуе [[поле раскладання мнагачлена|поле раскладання]]. Так, [[поле дзеляў]] {{math|''Q''}} [[колца,
== Уласцівасці адрозніка (дыскрымінанта) ==
=== Сувязь з рэзультантам ===
{{Гл. таксама|Рэзультант}}
Няхай поле {{math|''K''}} мае [[характарыстыка поля,
Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладу <math>f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0</math> над полем {{math|''K''}} можна вылічыць як [[рэзультант]] мнагаскладу <math>f</math> і яго [[вытворная функцыі|вытворнай]] <math>f'</math>, падзелены на старшы каэфіцыент <math>a_n</math>:<ref name="КурошАлгебра">
Радок 118 ⟶ 117:
{{Гл. таксама|Матрыца Сільвестра}}
[[Рэзультант]] мнагаскладу <math>f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0</math> і яго вытворнай <math>f'(x)=n a_n x^{n-1} + \dots + a_1</math> роўны [[Вызначнік|вызна{{націск}}чніку]] пэўнай {{math|(2''n'' − 1)×(2''n'' − 1)}}-[[Матрыца,
Таму, калі поле {{math|''K''}} мае нулявую [[характарыстыка поля,
:<math>
D(f)=\frac{(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}}{a_n}\,
Радок 161 ⟶ 160:
== Крыніцы і спасылкі ==
* Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В.І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.
* Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
* {{MathWorld|title=Polynomial Discriminant|urlname=PolynomialDiscriminant}}
[[Катэгорыя:Алгебра]]
| |||