Вікіпедыя

Трохвугольнік: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[недагледжаная версія][дагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
др clean up, replaced: == → == (5), гэтую → гэту (2) using AWB
дрНяма тлумачэння праўкі
Радок 30:
! colspan="3" |Віды трохвугольнікаў паводле колькасці роўных старон
|-----
| align="center" |[[Выява:Triangle-scalene.svg|119px|РознабаковыРознастаронні трохвугольнік]]<br />Рознастаронні
| align="center" |[[Выява:Triangle-isosceles.svg|120px|Раўнабедраны трохвугольнік]]<br />Раўнабедраны
| align="center" |[[Выява:Triangle-equilateral.svg|120px|РоўнабаковыРоўнастаронні трохвугольнік]]<br />Роўнастаронні
|-----
|+
|}
 
===Паводле колькасці роўных бакоўстарон===
* '''РознастаронніРознастароннім''' завеццаназываецца трохвугольнік, у якога даўжыні старон папарна розныя.
* '''[[Раўнабедраны трохвугольнік|Раўнабедраным]]''' завецца трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя. Гэтыя стораны завуцца '''бакавымі''', трэцяя старана завецца '''асновай'''. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. [[Вышыня трохвугольніка|Вышыня]], [[медыяна трохвугольніка|медыяна]] і [[бісектрыса трохвугольніка|бісектрыса]] раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
* '''[[Роўнастаронні трохвугольнік|Роўнастароннім]]''' завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры стараны роўныя. У роўнастароннім трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры [[упісаная акружнасць|упісанай]] і [[апісаная акружнасць|апісанай акружнасцей]] супадаюць.
Радок 47:
* <math>b<c+a</math>
* <math>c<a+b</math>
Калі хаця б у аднымадной з гэтых стасункаўсуадносін мае месца роўнасць, трохвугольнік называецца '''выраджаным'''. Далей усюды мяркуеццамаецца на ўвазе нявыраджаны выпадак.
 
==Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў==
Радок 56:
 
==Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам==
[[Акружнасць]], датычная ўсіх трох старон трохвугольніка, завецца яго '''[[упісаная акружнасць|упісанай акружнасцю]]'''. Яна вызначана адназначна. Акружнасць, якая праходзіць праз усёусе тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго '''[[апісаная акружнасць|апісанай акружнасцю]]'''. Апісаная акружнасць таксама вызначана адназначна.
 
'''Медыянай''' трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэту вяршыню з сярэдзінай процілеглай стараны. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт скрыжаванняперасячэння завеццаназываецца '''[[цэнтроід]]ам''' або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошняя назва звязана з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднароднага матэрыялу, [[цэнтр цяжару]] знаходзіцца ў пункце скрыжаванняперасячэння медыян. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў адносіне 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.
 
Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглую старану або яе працяг, завецца '''[[вышыня|вышынёй]]''' трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца '''[[ортацэнтр]]ам''' трохвугольніка.
 
'''[[Бісектрыса]]й''' трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэту вяршыню з пунктам на процілеглай старане і дзеліць вугал пры дадзенай вяршыні напаловупапалам. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з [[інцэнтр|цэнтрам упісанай акружнасці]].
 
У роўнастароннімраўнабедраным трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Справядліва і адваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік роўнастаронніраўнабедраны. Калі трохвугольнік рознастаронні, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.
 
ПасярэдніяСярэдзінныя перпендыкуляры да старон трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.
 
'''[[Пазаўпісаная акружнасць|Пазаўпісанай акружнасцю]]''' завецца акружнасць, датычная аднагоаднае бокустараны трохвугольніка і працягу двухдзвюх іншых бакоўстарон.
 
Сярэдзіны трох старон трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая завеццаназываецца '''[[акружнасць дзевяці пунктаў|акружнасцю дзевяці пунктаў]]'''.
 
У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца '''[[прамая Эйлера|прамойпрамою Эйлера]]'''.
 
==Суадносіны ў трохвугольніку==
Калі вядомыя тры велічыні з шасці (тры стараны і тры вуглы), то астатнія можна знайсці па наступных формулах:
 
===[[Тэарэма сінусаў]]===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма сінусаў}}
: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R </math>▼
(З тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ)▼
 
Справядлівыя наступныя суадносіны паміж даўжынямі старон і сінусамі адпаведных процілеглых вуглоў:
===[[Тэарэма косінусаў]]===▼
▲: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, </math>
:c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> — 2ab cos γ▼
дзе {{math|''R''}} — радыус апісанай акружнасці.
(З'яўляецца абагульненнем [[Тэарэма Піфагора|тэарэмы Піфагора]])▼
 
Гэтыя суадносіны называюцца [[Тэарэма сінусаў|тэарэмаю сінусаў]].
===[[Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка]]===▼
▲(ЗСярод іншага, з тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ).
 
▲===[[Тэарэма косінусаў]]===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма косінусаў}}
 
Ведаючы дзве стараны трохвугольніка і вугал паміж імі, можна вылічыць трэцюю старану па формуле:
▲:c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> — 2ab cos γ.
▲(ЗГэта формула называецца [[Тэарэма косінусаў|тэарэмаю косінусаў]] і з'яўляецца абагульненнем [[Тэарэма Піфагора|тэарэмы Піфагора]]).
 
▲===[[Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка]]===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма аб суме вуглоў трохвугольніка}}
 
Сума вуглоў любога трохвугольніка раўняецца 180° (π радыян):
: α + β + γ = 180° ([[Пі|π]])
Гэта сцвярджэнне раўназначнае [[аксіёма паралельнасці Еўкліда|аксіёме паралельнасці Еўкліда]].
 
===Іншыя суадносіны===
Радок 138 ⟶ 151:
 
===Выкарыстанне каардынат===
Калі пункт А размешчаны ў пункце пачатку адліку (0, 0) [[ДэкартаваяДэкартава сістэма каардынат|дэкартавай каардынатнай сістэмы]], а каардынаты іншых двух пунктаў B = (''x''<sub>B</sub>, ''y''<sub>B</sub>) і C = (''x''<sub>C</sub>, ''y''<sub>C</sub>), тады плошчаплошчу ''S'' можаможна быць вылічанавылічыць як ½палавіну [[абсалютная велічыня|абсалютнага значэння]] [[Вызначнік, алгебра|вызначніка]]:
:<math>S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|. </math>
Ці ў агульным выпадку:
Радок 148 ⟶ 161:
 
===Формула Герона===
Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма старанамі. Адпаведна, для таго каб палічыцьвылічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыні старон. Паводле [[Формула Герона|формулы Герона]]:
:<math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math> дзе <math>p=\frac {a+b+c}{2}</math> — '''паўперыметр'''.
 
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Трохвугольнік"