Розніца паміж версіямі "Частковая вытворная"

др
няма тлумачэння праўкі
др
др
 
== Абазначэнне ==
 
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> трэба разумець як ''цэльны'' сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай <math>\frac{d f}{d x},</math> якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d_x f}{d x},</math>, дзе {{nowrap|<math>d_x f</math> —}} частковы дыферэнцыял функцыі <math>f</math> па зменнай <math>x</math>. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне <math>\partial x</math> ў выразе <math>\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}</math> <ref>Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»</ref>.
 
== Геаметрычная інтэрпрэтацыя ==
 
Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца [[Вытворная па напрамку|вытворнай па напрамку]] адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі <math>f</math> у пункце <math>\vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0)</math> па каардынаце <math>x_k</math> роўная вытворнай <math>\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}</math> па напрамку <math>\vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)</math>, дзе адзінка стаіць на <{{math>|''k</math>''}}-ым месцы.
 
== Прыклады ==
[[Файл:Cone 3d.png|міні|Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы]]
 
[[Аб'ём]] V [[конус]]уа залежыць ад [[Вышыня трохвугольніка|вышыні]] h і [[Радыус|радыуса]] r, згодна з формулай
 
: <math>V = \frac{\pi r^2 h}{3},</math>
: <math>\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},</math>
 
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусуконуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.
 
Поўная вытворная V адносна r і h
Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.
 
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусуконуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне k{{math|''s''}},
 
: <math>ks = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.</math>
 
Гэта дае поўную вытворную адносна r:
 
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + ks\frac{\pi r^2}{3}</math>
 
Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных]] і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.