Вытворная функцыі: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др →Спасылкі |
др афармленне, стылявыя змены, арфаграфія |
||
Радок 3:
[[Выява:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|400px| У кожным пункце вытворная функцыі <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2)</math> роўная тангенсу вугла [[нахіл]]у [[датычная, геаметрыя|датычнай]] да графіка функцыі. Прамая на рысунку з'яўляецца датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.]]
'''
Функцыю, якая мае
Працэс знаходжання вытворнай называецца '''
== Азначэнне ==
Радок 31:
Няхай у некаторым [[Наваколле, матэматыка|наваколлі]] <math>U(x_0)\subset \R</math> [[пункт]]а <math>x_0 \in \R</math> вызначана [[функцыя]] <math>f:U(x_0) \to \R.</math>
'''
: <math>f'(x_0) := \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},</math>
калі яна існуе і
Вытворную функцыі <math>y=f(x)</math> у пункце <math>x_0</math> звычайна
: <math>f'(x_0), \quad D f(x_0), \quad \frac{df(x_0)}{dx},</math> або <math>\dot{y}(x_0).</math>
Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].
''Заўвага'': Вытворная <math>f'(x_0)</math> функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> па азначэнні ёсць граніцаю, а таму можа існаваць або не, і быць
== Спалучаныя з азначэннем паняцці ==
* Назавём <math>\Delta x = x - x_0</math> '''
*: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>
* Няхай функцыя <math>f:(a,b) \to \R</math> мае
*: <math>f':(a,b) \to \R.</math>
* Калі вытворная функцыя сама з'яўляецца непарыўнай, то функцыю <math>f</math> называюць '''
== Дыферэнцавальнасць ==
{{main|Дыферэнцавальная функцыя}}
Функцыя адной зменнай {{math|''f''(''x'')}} называецца '''
: <math>f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + o(x-x_0)</math> пры <math>x \to x_0,</math>
дзе {{math|''o''(''x''-''x''<sub>0</sub>)}} ёсць [[
'''Тэарэма'''
: Функцыя адной зменнай <math>f(x)</math> з'яўляецца дыферэнцавальнай у пункце <math>x_0</math>, калі і толькі калі яе вытворная <math>f'(x_0)</math> ў гэтым пункце існуе і
: <math>A = f'(x_0).</math>
''Заўвага'': для функцыі адной зменнай існаванне
== Вытворныя вышэйшых парадкаў ==
Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца [[
: <math>f^{(0)}(x_0) := f(x_0).</math>
Калі функцыя <math>f</math> дыферэнцавальная ў <math>x_0</math>, то вытворная першага парадку вызначаецца
: <math>f^{(1)}(x_0) := f'(x_0).</math>
Няхай цяпер вытворная {{math|''n''}}-га парадку <math>f^{(n)}</math> вызначана ў некаторым наваколлі кропкі <math>x_0</math> і дыферэнцавальная. Тады {{math|(''n''+1)}}-ая вытворная вызначаецца як вытворная {{math|''n''}}-ай вытворнай:
: <math>f^{(n+1)}(x_0) := \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>
Вытворныя вышэйшых парадкаў
: <math>f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0),</math> або <math>\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.</math>
Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].
== Абазначэнні вытворнай ==
===[[Лейбніц, Готфрыд Вільгельм|Лейбніцавы]] абазначэнні===▼
Абазначэнні, уведзеныя [[Лейбніц, Готфрыд Вільгельм|Готфрыдам Лейбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі ўраўненне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная пазначаецца як▼
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> або <math>\frac{d}{dx}f(x),</math>▼
▲=== [[Лейбніц, Готфрыд Вільгельм|Лейбніцавы]] абазначэнні ===
Калісь такі запіс разглядалі як [[дзель]] двух [[бясконца малая велічыня|бясконца малы{{націск}}х]].▼
▲Абазначэнні, уведзеныя [[Лейбніц, Готфрыд Вільгельм|Готфрыдам Лейбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі ўраўненне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная
▲Калісь такі запіс разглядалі як [[дзель]] двух [[
Вытворную ''n''-га парадку функцыі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} (па зменнай {{math|''x''}}) запісваюць як
: <math>\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),</math> або <math>\frac{d^n}{dx^n}f(x).</math>
Па сутнасці,
: <math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
У Лейбніцавых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''y''}} у пункце {{math|''x'' {{=}} ''a''}} можна запісаць двума шляхамі:
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>
Абазначэнні Лейбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку
Пры пабудове матэматычнага аналізу на аснове паняцця [[граніца, матэматыка|граніцы]], сімвал {{math|''du''}} розныя аўтары разглядаюць па-рознаму. Некаторыя аўтары не
</ref>:
: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>
=== [[Жазэф Луі Лагранж|Лагранжавы]] абазначэнні ===
Гэтыя абазначэнні былі ўведзены [[Жазэф Луі Лагранж|
{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}
</ref>. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:
: <math>(f')'=f''</math> і <math>(f'')'=f'''.</math>
Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і
: <math>f^{\mathrm{iv}}</math> або <math>f^{(4)}.</math>
Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс {{math|''f''<sup> (''n'')</sup>}} для ''n''-ай вытворнай функцыі {{math|''f''}} найбольш ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай
=== [[Ісаак Ньютан|Ньютанавы]] абазначэнні ===
[[Ісаак Ньютан|
: <math>\dot{y}</math> і <math>\ddot{y}</math>
абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя {{math|''y''}} па зменнай {{math|''t''}}. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння [[вытворная па часе|вытворных па часе]], маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі —
=== [[Леанард Ойлер|Ойлеравы]] абазначэнні ===
[[Леанард Ойлер|
Няхай {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} —
: <math>D_x y</math> або <math>D_x f(x)</math>.
Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі {{math|''x''}} адзіная зменная ў выразе.
Радок 118 ⟶ 119:
== Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай ==
=== Тангенс вугла нахілу датычнай прамой ===
{{main|Датычная прамая}}
Калі функцыя <math>f:U(x_0) \to \R</math> мае
: <math>f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Функцыя <math>f_l</math> вызначае датычную да графіка <math>f</math> у пункце <math>x_0.</math> Лік <math>f'(x_0)</math> роўны вуглавому каэфіцыенту або [[тангенс]]у [[Вугал|вугла]] [[нахіл]]у датычнай прамой.
=== Хуткасць змянення функцыі ===
Хай <math>s=s(t)</math>
Наогул, вытворная функцыі <math>y=f(x)</math> у пункце <math>x_0</math>
== Прыклады ==
Радок 143 ⟶ 145:
{{гл. таксама|Дыферэнцаванне складанай функцыі}}
Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як граніцу дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл
* ''Правіла сталай'': калі {{math|''f''(''x'')}} ёсць [[сталая велічыня|
: <math>f' = 0. \,</math>
* ''[[Лінейнасць дыферэнцавання|Правіла сумы]]'':
: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} і любых рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>.
* ''[[Правіла Лейбніца]]'' або ''правіла здабытку'':
: <math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}}.
* ''[[Правіла дзелі]]'':
: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math>
* ''[[Ланцуговае правіла]]'': Няхай <math>h(x) = f(g(x))</math>
: <math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).</math>
* Калі функцыя {{math|''f''}}
: <math>g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.</math>
== Уласцівасці вытворнай ==
*
== Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць ==
* Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, [[Непарыўная функцыя|непарыўная]] ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
*
== Гл. таксама ==
* [[Табліца вытворных]]
* [[Вытворная,
* [[Дыферэнцаванне складанай функцыі]]
* [[Першаісная]]
Радок 192 ⟶ 194:
}}
* ''В.
* В.
== Спасылкі ==
|