Ступеняванне: Розніца паміж версіямі

'''Узвядзе{{націск}}ннеУзвядзе́нне ў ступе{{націск}}ньступе́нь''' (ці '''падвышэ{{націск}}ннепадвышэ́нне да ступе{{націск}}ніступе́ні'''<ref name="МЭ"/>), або '''ступенява{{націск}}ннеступеняванне'''<ref name="МЭ">

</ref> -— [[арыфметычная аперацыя]] над двума лікамі:

'''[[Аснова, ступеняванне|асно{{націск}}вайасновай]]''' ''b'' і '''пака{{націск}}знікампака́зчыкам''' (або '''ступе{{націск}}ннюступе́нню''') ''n''. На пісьме ступеняванне пазначаецца як

Калі ''n'' ёсць [[натуральны лік|натуральным лікам]], ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) [[множанне|множанню]]; інакш кажучы, '''''b''''' ў ступені '''''n''''' ёсць— здабыткамгэта здабытак '''''n''''' множнікаў, кожны з якіх роўны '''''b''''' (такі здабытак таксама называецца '''ступенню'''):

: <math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n.</math>

тутТут відаць падабенства з аперацыяй [[множанне|множання]] на натуральны лік, якая адпавядае кратнаму [[складанне|складанню]]:

: <math>b \times n = \underbrace{b + \cdots + b}_n.</math>

Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для [[натуральны лік|натуральных лікаў]], і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя [[цэлы лік|цэлыя]] ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага [[дзяленне|дзялення]]), на [[рацыянальны лік|рацыянальныя]] ступені (такім чынам, сюды была ўключана і аперацыя [[здабыванне кораня|здабывання кораня]]). Пазней ступеняванне для адвольных [[рэчаісны лік|рэчаісных]] ступеняўступеней было вызначана як [[непарыўны працяг]] з мноства [[рацыянальны лік|рацыянальных]] ступеняўступеней.

ПаказнікПаказчык ступені звычайна запісваюць як [[надрадковы знак]] справа ад асновы. Запіс ступенявання ''b''^''n'' можна чытаць наступным чынам:

: '' '''b''' ўзве{{націск}}дзенае ў '''n'''-ую ступе{{націск}}нь'',

: '' '''b''' ўзве{{націск}}дзенае ў ступе{{націск}}нь '''n''' '',

: '' '''b''' ў ступе{{націск}}ні '''n''' '',

: або коратка, '' '''b''' ў '''n'''-ай''.

: ''b''²² звычайна называюць ''квадра{{націск}}тамквадра́там'' ліку '''''b''''' і чытаюць як '' '''b''' ў квадраце'',

: ''b''³³ называецца ''ку{{націск}}бамку́бам'' ліку '''''b''''' і чытаюць як '' '''b''' ў кубе''.

Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі ''"«ўзвядзенне ў ступень"»'' і ''"«ступеняванне"»'':

# словазлучэнне "«ўзвядзенне ў ступень"» ужываецца, калі паказчык ступені ёсць— сталайсталая велічынёйвелічыня, а аснова -— зменнайзменная.

# слова "«ступеняванне"» выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што паказчык з'яўляецца зменнай велічынёй, а аснова нязменная.

Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і "«ступеняванне"», і "«ўзвядзенне ў ступень"».

СтупеняваннемСтупеняванне глыбокапаўсюдна прасякнутысустракаецца шматлікіяў мадэлішматлікіх мадэлях і вылічэннівылічэннях ўу самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўлучыцьўключыць [[фізіка|фізіку]] ([[хвалі]], [[ядзерны распад]]), [[хімія|хімію]] ([[хімічная кінетыка]]), [[біялогія|біялогію]] ([[рост папуляцый]]), [[эканоміка|эканоміку]] ([[складаныя працэнты]]) і [[камп'ютарныя навукі]] ([[крыптаграфія з адкрытым ключом]]).

[[Выява:Expo02.svg|thumb|315px|Графікі ''y''=''b''^''x'' для розных асноў ''b'': аснова 10 (<span style="color:green">зялёны</span>), [[#Паказнікавая функцыя|аснова ''e'']] (<span style="color:red">чырвоны</span>), аснова 2 (<span style="color:blue">сіні</span>), і аснова ½ (<span style="color:cyan">блакітны</span>). Кожная крывая праходзіць праз пункт (0, 1), таму што любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы. Пры ''x''=1, значэнне ''y'' роўнае аснове.]]

== Цэлыя паказчыкі ==

=== Натуральныя паказчыкі ===

: <math>b^1 = b</math>

: <math>b^{n+1} = b^n \cdot b\,.</math>.

: <math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n\,.</math>

=== Адвольныя цэлыя паказчыкі ===

Пры ненулявых ''b'' і натуральных ''n'' зваротнызваротныя стасунаксуадносіны з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе

: <math>b^{n} = \frac{b^{n+1}}{b}.</math>

ПрымаючыЛічачы гэтыгэтыя стасунаксуадносіны за прыдатнысправядлівымі да ўсіх цэлых ''n'' і ненулявых ''b'', атрымліваем

: <math>\begin{align}

: <math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}\,.</math>

* Любы лік у першай ступені роўны самамусамому сабе.

* Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 0⁰. Гэты выраз з'яўляецца [[нявызначанасць, матэматыка|нявы{{націск}}значанасцюнявызначанасцю]] і падрабязней разглядаецца [[#Нуль у нулявой ступені|ніжэй]].

: <math>b^{m+n} = b^m b^n\,,</math>

спачатку вызначаная толькі для [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'', праўдзіццаспраўджваецца для адвольных [[цэлы лік|цэлых]] ''m'' і ''n'', з тым толькі абмежаваннем, што ''m'' і ''n'' павінны быць дадатнымі, калі ''b'' -— нуль.

| 2³³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8

| 3²² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9

=== Тоеснасці і ўласцівасці ===

* Калі аснова ''b'' не роўная нулю, наступныя [[тоеснасць, матэматыка|тоеснасці]] праўдзяццаспраўджваюцца для любых цэлых паказчыкаў ''m'' і ''n'':

: <math>\begin{align}

b^{m + n} &= b^m \cdot b^n, \\

(b^m)^n &= b^{m\cdot n}, \\

(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n.

*: <math>

*: Напрыклад, {{nowrap|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} і {{nowrap|1=2·3 = 3·2 = 6}}, але {{nowrap|1=2³ = 8}}, у той час як {{nowrap|1=3² = 9}}.

*: <math>

*: Напрыклад, {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9}} і {{nowrap|1=(2·3)·4 = 2·(3·4) = 24}}, аднак 2³³ ў 4-й ступені роўнае 8⁴ або 4,096, а 2 ў ступені 3⁴ роўнае 2⁸¹ або 2 417 851 639 229 258 349 412 352.

== Рацыянальныя паказчыкі ==

Калі'''Корань ''n''-й ступені''' з [[лік]]у ''b'' — такі лік ''x'', ''n''-ая ступень якога роўная ''b'': {{math|''x''^''n'' {{=}} ''b''}}.

Калі ''b'' — дадатны [[рэчаісны лік]], а ''n'' -— [[натуральны лік|натуральны]], тады існуе адзіныадзінае рэчаіснырэчаіснае развязакрашэнне ураўненняўраўнення {{math|''xⁿ'' {{=}} ''b''}}. ГэтыГэтае развязакрашэнне называецца [[Арыфметычны корань|'''арыфметычным коранем ступені ''n'' ''']] з ''b''. Ён пазначаеццаабазначаецца як <math>\sqrt[n]{b}</math>, дзе сімвал √<span style="text-decoration:overline">&ensp;</span> -— так званы '''радыкал'''; іншым шляхам гэта можна запісаць як {{math|''b''^{{{дроб|''n''}}}}}. Напрыклад: 4^1/2 = 2, 8^1/3 = 2.

Калі ''n'' -— [[Цотнасць, матэматыка|цотны]], то ўраўненне {{math|''xⁿ'' {{=}} ''b''}} мае два рэчаісныя развязкірашэнні пры дадатным ''b'': дадатны і адмоўны карані ''n''-й ступені.

Пры адмоўным ''b'' ураўненне не мае развязкаўрашэнняў.

Пры няцотным ''n'' ураўненне {{math|''xⁿ'' {{=}} ''b''}} мае адзіныадзінае рэчаіснырэчаіснае развязакрашэнне. ЁнЯно дадатныдадатнае пры дадатным ''b'' і адмоўныадмоўнае пры адмоўным ''b''.

Няхай {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} -— [[нескарачальны дроб]].

: Пры цотных ''m'' значэнне ступені <math>b^{\frac{m}{n}}</math> дадатнае для любых рэчаісных ''b''.

: Калі ''m'' і ''n'' абодва няцотныя, то знак ступені супадае са знакам асновы.

: Калі ж ''m'' няцотны, а ''n'' цотны, то значэнне ступені можа быць і дадатным, і адмоўным пры дадатным ''b''.

Калі ''b'' адмоўны, а ''n'' цотны, пры вызначэнні ступені {{math|''b''^''m''/''n''}} даводзіцца выкарыстоўваць [[уяўная адзінка|уяўную адзінку]] ''i'', як апісана ніжэй у раздзеле [[#Ступені камплексных лікаў|Ступені камплексных лікаў]]. Прычынай гэтага ёсцьз'яўляецца адсутнасць рэчаісных развязкаўрашэнняў ураўнення ''x''²² = −1.

: <math>b^\frac{m}{n} = \left(b^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b^m}</math>

дзе ''m'' -— цэлы лік, а ''n'' -— натуральны лік.

Напрыклад: выснова −27 = (−27)^{((2/3)⋅(3/2))} = ((−27)^2/3)^3/2 = 9^3/2 = 27

відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, палягаезаключаецца ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеняўступеней камплексных лікаў (гл. раздзел [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]]).

== Рэчаісныя паказчыкі ==

Прыведзеныя вышэй для цэлых паказчыкаў [[#Тоеснасці і ўласцівасці|тоеснасці і ўласцівасці]] праўдзяццаспраўджваюцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказчыкамі. Аднак тоеснасць

: <math>(b^r)^s = b^{r\cdot s}</math>

нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы ''b'' (гл. [[#Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі|Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі]]). НяздатнасцьНепрыдатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле [[#НяздатнасцьНепрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|НяздатнасцьНепрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].

=== Граніцы рацыянальных ступеняўступеней ===

А якраз [[ірацыянальны лік]] можна наблізіцьпрыблізіць [[рацыянальны лік|рацыянальным]], то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку ''b'' с адвольным рэчаісным паказчыкам ''x'' можна вызначыць [[непарыўны працяг|непарыўным працягам]] згодна з правілам<ref name=Fihtengolc1>

: <math> b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R),</math>

Напрыклад, няхай {{math|''x'' {{=}} π}} і {{math|''b'' > 1}}. Тады каб атрымаць сцяжныя прамежкі, якія сцягваюцца да пункта і абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеняўступеней) можна выкарыстаць бясконцаебесканечнае дзесятковае пада{{націск}}ннепрадстаўленне {{math|π {{=}} 3,14159...}}:

: <math>[b^3,b^4],\ [b^{3.1},b^{3.2}],\ [b^{3.14},b^{3.15}],\ [b^{3.141},b^{3.142}],\ [b^{3.1415},b^{3.1416}],\ [b^{3.14159},b^{3.14160}],\ \ldots.</math>

Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, пазначанагаабазначанага як {{math|''b''^π}}. Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку ''b''. Такім чынам, функцыя {{math|''f''(''x'') {{=}} ''b''^''x''}} вызначана для любога рэчаіснага ліку ''x''.

=== Паказнікавая функцыя ===

Вядомая матэматычная сталая [[Eлік (матэматычная сталая)e|''e'']] (часамтаксама яевядомая называюцьяк [[лік Ойлера|лікам Ойлера]]; янаі прыблізна роўная 2,718) ёсцьз'яўляецца асновай [[натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]]. І хоць ступеняванне ліку ''e'' можна разгледзець такім жа чынам, як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку ''e'' на іншыя віды паказчыкаў, такія як [[камплексны лік|камплексныя лікі]] ці, нават, [[Матрыца, матэматыка|матрыцы]].

: <math>\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n .</math>

Сярод іншых уласцівасцей функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказнікавуюпаказчыкавую тоеснасць:

: <math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя сутнасцівелічыні, такія як [[матрычная паказнікавая функцыя|квадратныя матрыцы]] (у гэтым выпадку паказнікаваяпаказчыкавая тоеснасць праўдзіццаспраўджваецца, толькі калі ''x'' і ''y'' [[Перастаўляльнасць, матэматыка|перастаўляльныя]]).

А якраз {{math|exp(1) {{=}} ''e''}}, і функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказнікавуюпаказчыкавую тоеснасць, то адразу атрымоўваем, што азначэнне функцыі {{math|exp(''x'')}} з дапамогай [[граніца паслядоўнасці|граніцы]] раўназначнае кратна-памнажальнамудамнажальнаму азначэнню {{math|''e''^''x''}} для цэлых ''x'', адсюль вынікае супадзенне пры ўсіх [[рацыянальны лік|рацыянальных]] паказчыках, а далей праз непарыўнасць і пры ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных]] паказчыках.

=== Ступеняванне праз лагарыфмаванне ===

[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') ёсцьз'яўляецца [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да паказнікавай функцыі ''e''^''x''. Ён вызначаны пры ''b'' > 0 і задавальняе тоеснасць

: <math>b = e^{\ln b}</math>

З лагарыфмічных і паказнікавыхпаказчыкавых тоеснасцей вынікае, што для любога рэчаіснага ліку ''x'' праўдзіццасправядліва тоеснасць

: <math>b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}.</math>.

Гэту тоеснасць можна выкарыстаць<ref name=EEM3/> у якасці яшчэ аднаго азначэння рэчаіснай ступені ''b''^''x'', якое ўзгоднена з вышэй пададзенымпрыведзеным азначэннем, заснаваным на выкарыстанні рацыянальных паказчыкаў і непарыўнасці. Азначэнне ступенявання праз лагарыфмаванне шырока ўжываецца ў камплексным аналізе, гл. ніжэй.

=== Рэчаісныя ступені з адмоўнымі асновамі ===

Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды з'яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак ураўненне ''x''²² = 4 мае два развязкірашэнні: 2 і -2−2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 4^1/2 ёсць 2, але -2−2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі, губляючыі губляюць пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.

Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Граніца, матэматыка|граніцы]] па рацыянальных паказчыках нельга вызначыць {{math|''b''^''r''}} як рэчаісны лік для ўсіх рэчаісных лікаў ''r''. ІБольш насамрэчтаго, {{math|''e''^''r''}} з'яўляецца дадатным пры любым рэчаісным значэнні ''r'', таму {{math|ln(''b'')}} не вызначаны для {{math|''b'' ≤ 0}}.

Напрыклад, разгледзім ''b'' = −1. Корань ''n''-ай ступені з −1 роўны −1 пры любых няцотных натуральных ''n''. Так што пры няцотным натуральным ''n'' ма{{націск}}еммаем {{math|(−1)^{(''m''/''n'')} {{=}} −1}} для няцотных ''m'', і {{math|(−1)^{(''m''/''n'')} {{=}} 1}} ма{{націск}}еммаем для цотных ''m''. Адсюль атрымоўваематрымліваем, што мноства рацыянальных лікаў ''q'', для якіх {{math|(−1)^''q'' {{=}} 1}}, [[шчыльнае мноства|шчыльнае]] ў мностве рацыянальных лікаў, гэтак самажа як і мноства тых ''q'', для якіх {{math|(−1)^''q'' {{=}} −1}}. Гэта азначае, што функцыя {{math|(−1)^''q''}} разрыўная ў любым рацыянальным ліку ''q'', дзе яна вызначана.

==Камплексныя= Уяўныя ступені з дадатныміасновай рэчаіснымі''e'' асновамі===

[[Выява:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|[[Паказнікавая функцыя|Паказнікавую функцыю]] {{math|''e''^''z''}} можна вызначыць як [[Граніца паслядоўнасці|граніцу]] паслядоўнасці {{math|(1 + ''z''/''N'')^''N''}} пры ''N'', накіраваным да бясконцасцібесканечнасці, і адсюль {{math|''e''^''i''π}} ёсць граніцаю паслядоўнасці {{math|(1 + ''i''π/''N'')^''N''}}. На гэтай анімацыі ''N'' прымае нарастальныя значэнні ад 1 да 100. Вылічэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')^''N''}} падаецца як сукупны вынік ''N''-кратнага памнажэннядамнажэння на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]], дзе канцавы пункт адлюстроўвае бягучае месцазнаходжанне велічыні {{math|(1 + ''i''π/''N'')^''N''}}. Відаць, што пры нарастанні ''N'' значэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')^''N''}} набліжаеццапрыбліжаецца да гранічнага пункта −1. Як вынік, праўдзіццаспраўджваецца тоеснасць {{math|''e''^''i''π {{=}} −1}}, вядомая як [[тоеснасць Ойлера]].]]

Каб усвядоміць, што ўяўляе сабой выраз {{math|''e''^''ix''}} для рэчаісных {{math|''x''}}, варта звярнуцца да геаметрычнага сэнсу аперацый над [[камплексны лік|камплекснымі лікамі]] і азначэння паказнікавай функцыі як граніцы. Разгледзім [[прамавугольны трохвугольнік]] {{math|(0, 1, 1 + ''ix''/''n'').}} Пры вялікіх значэннях ''n'' гэты трохвугольнік амаль тое ж, што і [[кругавы сектар]] с малым цэнтральным вуглом, роўным {{math|''x''/''n''}} [[радыян, матэматыка|радыянаў]]. Трохвугольнікі {{math|(0, (1 + ''ix''/''n'')^''k'', (1 + ''ix''/''n'')^''k''+1)}} ёсць узаемна [[Падобнасць, геаметрыя|падобныміпадобныя]] пры любых цэлых ''k''. Так што пры досыць вялікіх ''n'' значэнні {{math|(1 + ''ix''/''n'')^''n''}} набліжаюцца да свайго [[гранічны пункт|гранічнага пункта]], які ляжыць на [[адзінкавая акружынаакружнасць|адзінкавай акружынеакружнасці]] і ма{{націск}}емае [[палярныя каардынаты]] {{math|(''r'', ''θ'') {{=}} (1, ''x'')}} (каардыната {{math|''r''}} азначае адлегласць паміж пунктам і пачаткам каардынат, каардыната {{math|''θ''}} ёсць [[Палярныпалярны вугал|палярным вуглом]], які адлічваецца ад дадатнага прамяня [[лікавая прамая|рэчаіснай восі]]); [[дэкартавы каардынаты]] гэтага пункта роўныя {{math|(cos ''x'', sin ''x'')}}. Такім чынам, ма{{націск}}еммаем формулу

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x,</math>,

''Заўвага'': прыведзеныя разважанні — не ёсць доказамдоказ формулы Ойлера, а з'яўляюцца ўсяго толькі так званымізваныя "праўдападобнымі"«праўдападобныя», або "эўрыстычнымі"«эўрыстычныя», разважанняміразважанні.

РазвязкіРашэнні ўраўнення {{math|''e''^''z'' {{=}} 1}} з'яўляецца кратнымі цэлымі ад {{math|2π''i''}}:

: <math>\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Ці больш агульна, калі праўдзіццаспраўджваецца роўнасць {{math|e^''v'' {{=}} ''w''}}, то любылюбое развязакрашэнне ураўненняўраўнення {{math|''e''^''z'' {{=}} ''w''}} можна атрымаць складаючы {{math|''v''}} і нейкае цэлае кратнае ад {{math|2π''i''}}:

: <math>\{ z : e^z = w \} = \{ v + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Такім чынам, камплексная паказнікавая функцыя ёсцьз'яўляецца [[перыядычная функцыя|перыядычнай функцыяй]] з перыядам {{math|2π''i''}}.

=== Трыганаметрычныя функцыі ===

: <math>\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}; \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}</math>

Гістарычна ж, [[сінус]] і [[косінус]] былі вызначаны з дапамогай геаметрычных паняццяў да вынаходніцтва [[камплексны лік|камплексных лікаў]]. Дзякуючы [[формула Ойлера|формуле Ойлера]] і ўласцівасцям [[паказнікавая функцыя|паказнікавай функцыі]] складаныя формулы [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]] ад сумы можна ўлучыцьўключыць у адну простую паказнікавуюпаказчыкавую формулу

: <math>e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}.</math>

Выкарыстанне ступенявання з камплекснымі паказчыкамі дазваляе звесцізводзіць трыганаметрычныя задачы да алгебраічных.

=== Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі ===

Няхай ''b'' з'яўляецца дадатным [[рэчаісны лік|рэчаісным лікам]], а ''z'' ёсць [[камплексны лік|камплексным лікам]]. Тады ступень {{math|''b''^''z''}} вызначаецца як {{math|''e''^{''z''·ln(''b'')}}}, дзе {{math|''x'' {{=}} ln(''b'')}} з'яўляецца адзіным развязкамрашэннем ураўнення {{math|''e''^''x'' {{=}} ''b''}}. (Такім чынам, спосаб, прыдатны для рэчаісных паказчыкаў, працуе і ў выпадку камплексных паказчыкаў).

: 2^''i'' = ''e''^''i''·ln(2) = cos(ln(2)) + ''i''·sin(ln(2)) ≈ 0.76924 + 0.63896''i''

: ''e''^''i'' ≈ 0.54030 + 0.84147''i''

: 10^''i'' ≈ −0.66820 + 0.74398''i''

: (''e''^2&pi;)^''i'' ≈ 535.49^''i'' ≈ 1

Тоеснасць <math>(b^z)^u=b^{zu}</math>, увогуле кажучы, не выконваецца для камплексных ступеняўступеней. Просты [[проціпрыклад]]:

: <math>(e^{2\pi i})^i=1^i=1\neq e^{-2\pi}=e^{2\pi i\cdot i}</math>

Аб прычынах гэтай з'явы гл. раздзел [[#НяздатнасцьНепрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].

== Ступені камплексных лікаў ==

Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных паказчыкаў і камплексных асноў сутыкаюцца з цяжкасцямі. Пры гэтым прыйдзецца мець справу з [[мнагазначная функцыя|мнагазначнымі функцыямі]], якія прымаюць у пункце не адно значэнне, а адразу нейкае мноства значэнняў. Акрамя таго, адны са ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей будуць праўдзіццаспраўджвацца толькі з пэўнымі ўдакладненнямі, а другія наогул стануць неўжывальнымінепрыгоднымі.

Пры апісанні мнагазначных функцый натуральным чынам узнікае паняцце [[Рыманава паверхня|рыманавай паверхні]]. Камплексныя ступені і лагарыфмы можна разглядаць як адназначныя функцыі на адпаведных [[Рыманава паверхня|рыманавых паверхнях]]. Рыманава паверхня мнагазначнай функцыі мнагапластовая, гэта значыць аднаму пункту на звычайнай камплекснай плоскасці адпавядае мноства пунктаў рыманавай паверхні. Аднак можна зрабіць такі разрэз камплекснай плоскасці, што рыманава паверхня распадзецца на асобныя пласты (або лісты), прычым кожнаму пункту камплекснай плоскасці на такім пласце будзе адпавядаць не больш за адзін пункт. Выбіраючы пэўны пласт рыманавай паверхні, мы тым самым выбіраем пэўную адназначную [[Галіна аналітычнай функцыі|галіну функцыі]]. Значэнне выбранай галіны мае разрыў уздоўж [[Разрэз (рыманава паверхня)|разрэзу]]. Таму звычайныя правілы для ступеняўступеней могуць прывесці нас да памылкі.

А якПаколькі [[камплексны лагарыфм]] з'яўляецца мнагазначнай функцыяй, то любая нерацыянальная ступень камплекснага ліку мае бясконцуюбесканечную колькасць магчымых значэнняў. Галоўнае значэнне выбіраецца з мноства ўсіх значэнняў так, каб яно супадала са значэннем звычайнай рэчаіснай ступені ў выпадку дадатных рэчаісных асноў і рэчаісных паказчыкаў.

Узвядзенне дадатных рэчаісных лікаў у камплексную ступень фармальна адрозніваецца ад узвядзення камплексных лікаў у камплексную ступень. Гэта выклікана ў першую чаргу тым, што для вызначэння першай аперацыі дастаткова звычайнага адназначнага [[Лагарыфм|рэчаіснага лагарыфма]], у той час як для другой неабходны мнагазначны [[камплексны лагарыфм]]. Тым не менш, камплекснае ступеняванне ўлучаеўключае ў сябе і ступеняванне з дадатнымі рэчаіснымі асновамі.

=== Цэлыя ступені камплексных лікаў ===

Няхай ''n'' -— [[цэлы лік]], і

: <math>

дзе {{math|''r'' {{=}} {{!}}''z''{{!}}}} -— модуль камплекснага ліку {{math|''z''}}, {{math|''θ'' {{=}} arg ''z''}} -— аргумент ліку {{math|''z''}}.

: <math>

=== Рацыянальныя ступені камплексных лікаў ===

Рацыянальныя ступені камплексных лікаў ёсцьз'яўляюцца развязкамірашэннямі пэўных алгебраічных ураўненняў. А таму, з улікам [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай тэарэмы алгебры]], яны заўсёды маюць концуюканечную колькасць значэнняў.

'''Коранем ''n''-ай ступені''' з ліку {{math|''z''}} называецца любылюбое развязакрашэнне {{math|''w''}} ураўнення {{math|''w''^''n'' {{=}} z}}.

Згодна з [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай теарэмай алгебры]] гэтае ўраўненне ма{{націск}}емае ''n'' развязкаўрашэнняў (калі {{math|''z'' {{=}} 0}}, то ўраўненне мае адзін ''n''-кратны корань). Напрыклад, квадратны корань {{math|''w'' {{=}} ''z''^1/2}} ёсцьз'яўляецца развязкамрашэннем ураўнення {{math|''w''² {{=}} ''z''}} і, адпаведна, мае два значэнні.

: <math>

дзе <math>\scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}}</math> -— арыфметычны корань з абсалютнай велічыні [[камплексны лік|камплекснага ліку]] {{math|''z''}};

{{math|arg ''z''}} -— [[галоўнае значэнне (камплексны аналіз)|галоўнае значэнне]] [[аргумент камплекснага ліку|аргумента]] ліку {{math|''z''}}, якое належыць прамежку {{math|(−π, π]}}.

Для любых {{math|''z''}}, не роўных нулю і бясконцасцібесканечнасці, гэта формула дае ''n'' розных значэнняў, якія ляжаць на акружыне радыуса <math>\scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}}</math> і ўтвараюць [[правільны многавугольнік|правільны ''n''-вугольнік]].

: <math>

: <math>

=== Адвольныя ступені камплексных лікаў ===

: <math>

дзе {{math|Ln ''a''}} -— камплексны лагарыфм ліку {{math|''a''}}.

Варта заўважыць: раз [[камплексны лагарыфм]] ёсць— [[мнагазначная функцыя|мнагазначнай функцыяй]], то ступеняванне камплекснага ліку, ўвогуле кажучы, з'яўляецца мнагазначнай аперацыяй.

Запішам аснову {{math|''a''}} ў паказнікавайпаказчыкавай форме

: <math>

дзе {{math|''r'' {{=}} {{!}}''a''{{!}}}} -— абсалютная велічыня (модуль) ліку {{math|''a''}}, {{math|''θ'' {{=}} arg ''a''}} -— галоўнае значэнне аргумента ліку {{math|''a''}}.

: <math>

Адсюль відаць, што пры [[ірацыянальны лік|ірацыянальным]] паказчыку {{math|z}} ступень камплекснага ліку ма{{націск}}емае бясконцабесканечна многа значэнняў.

У прыведзеных прыкладах пераважна выкарыстоўваецца галоўнае значэнне лагарыфма. Абсяг вызначэння галоўнага значэння ёсць— гэта [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасцю]] з разрэзам уздоўж адмоўнага напрамку рэчаіснай восі і выкалатым нулём. Пры гэтым галоўнае значэнне аргумента {{math|''θ''}} належыць прамежку {{math|(−π, π]}}. Каб вылічыць {{math|''i''^''i''}}, запішам {{math|''i''}} ў паказнікавайпаказчыкавай і алгебраічнай формах:

: <math>\begin{align}

: <math>

Гэткім жа чынам, каб вылічыць {{math|(−2)^{3 + 4''i''}}}, запішам лік −2 ў паказнікавайпаказчыкавай форме,

: <math>-2 = 2e^{i \pi}</math>

: <math>(-2)^{3 + 4i} = e^{(3+4i)\cdot(\ln(2) + i\pi)} = e^{3\ln(2)-4\pi + i (3\pi+4\ln(2))} \approx (2.602 - 1.006 i) \cdot 10^{-5}</math>

Значэнне камплекснай ступені залежыць ад таго, якая галіна выкарыстоўваецца. Напрыклад, калі пры вылічэнні {{math|''i''^''i''}} у якасці значэння {{math|Ln ''i''}} ўзяць {{math|{{дроб|5πi|2}}}}, значэнне ступені будзе роўным {{math|''e''^{−{{дроб|5π|2}}}}}; у той час як галоўнае значэнне ступені {{math|''i''^''i''}}, вылічанае вышэй, раўняецца {{math|''e''^{−{{дроб|π|2}}}}}. Мноства ўсіх магчымых значэнняў велічыні {{math|''i''^''i''}} задаецца як:

: <math>\begin{align}

Такім чынам, існуе бясконцабесканечна многа магчымых значэнняў {{math|''i''^''i''}}, па адным для кожнага цэлага ''k''. Усе яны з'яўляецца рэчаіснымі лікамі, так што можна сказаць, што {{math|''i''^''i''}} мае бясконцабесканечна многа рэчаісных значэнняў.

===Няздатнасць Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей ===

Некаторыя тоеснасці для ступеняўступеней і лагарыфмаў, справядлівыя ў выпадку рэчаісных лікаў, няздатныянепрыдатныя для камплексных лікаў. Прычынай гэтага ёсць тое, што нельга вызначыць камплексныя лагарыфмы і камплексныя ступені так, каб яны былі адназначнымі і ўзгодненымі са сваімі рэчаіснымі адпаведнікамі, і захоўвалі пры гэтым усе свае стасункісуадносіны, якія праўдзяццасправядлівыя ў рэчаісным выпадку.

Прыклады няздатнасцінепрыдатнасці тоеснасцей:

*: НяздатнасцьТоеснасць будзене мецьбудзе месцавыконвацца, якую б галіну лагарыфма мы не ўзялі. З вышэйпрыведзенага прыклада можна было б зрабіць выснову, што:

*: Але гэта тоеснасць таксама несправядлівая, калі разглядаць {{math|ln(''x'')}} як мнагазначную функцыю. Магчымыя значэнні велічыні {{math|ln(''w''^''z'')}} утрымліваюць значэнні {{math|''z'' · ln ''w''}} як падмноства. Няхай цяпер {{math|ln(''x'')}} абазначае галоўнае значэнне лагарыфма, а {{math|Ln(''x'')}} -— мноства ўсіх магчымых значэнняў лагарыфма. Тады

* Тоеснасці {{math|(''bc'')^''x'' {{=}} ''b''^''x''''c''^''x''}} і {{math|(''b''/''c'')^''x'' {{=}} ''b''^''x''/''c''^''x''}} праўдзяццаспраўджваюцца, калі ''b'' і ''c'' з'яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі, а ''x'' з'яўляецца рэчаісным лікам. Аднак, калі пры вылічэнні ступеняўступеней выкарыстоўваць галоўныя значэнні, можна атрымаць наступныя супярэчнасці:

*:: <math>i = (-1)^\frac{1}{2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^\frac{1}{2} \not = \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i} = -i.</math>

*: З другога боку, калі ''x'' ёсць— [[цэлы лік|цэлым лікам]], тоеснасці справядлівыя для ўсіх ненулявых камплексных лікаў.

* Тоеснасць {{math|(e^''x'')^''y'' {{=}} e^''xy''}} праўдзіццасправядліва для ўсіх рэчаісных лікаў ''x'' і ''y''. Але дапушчэнне справядлівасці тоеснасці і для камплексных лікаў прыводзіць да [[супярэчнасць, матэматыка|супярэчнасці]], заўважанай у 1827 годзе [[Томас Клаўзен, матэматык|Томасам Клаўзенам]]<ref name="Clausen1827">

*:# <math>e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e,</math>

*:# <math>\left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e,</math>

*:# <math>e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e,</math>

*:# <math>e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e,</math>

*:# <math>e^{-4 \pi^2 n^2} = 1.</math>

*: Але ж гэта няпраўда для любога ''n'', не роўнага нулю.

*: Галоўная памылка -— гэта змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга: якое са значэнняў выбіраецца ў якасці галоўнага.

*: Аднак з пункту гледжанняпогляду мнагазначнасці першая памылка была зроблена раней. У першым радку лік ''e'' разглядаецца як рэчаісны, тады як вынік {{math|''e''^1+2π''in''}} з'яўляецца камплексным лікам, які лепш пада{{націск}}цьзапісаць у выглядзе {{math|''e''+0''i''}}. Падстаноўка камплекснага ліку замест рэчаіснага ў другім радку надае ступені мнагазначнасць. Змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга таксама ўплывае на мноства значэнняў выніку. Таму <math>\scriptstyle (e^z)^w \;\ne\; e^{z w}</math>, а дакладней праўдзіццаспраўджваецца роўнасць <math>\scriptstyle (e^z)^w \;=\; e^{(z \,+\, 2\pi i n) w}</math>, дзе апошні выраз прымае розныя значэнні ў залежнасці ад цэлых ''n''.

== Нуль у нулявой ступені ==

[[Выява:X^y.png|right|thumb|300px|Графік {{math|1=''z'' {{=}} ''x''^''y''}}. Чырвоныя крывыя (на якіх ''z'' ма{{націск}}емае сталае значэнне) даюць розныя [[граніца функцыі|граніцы]], калі {{math|(''x'',''y'')}} набліжаеццапрыбліжаецца да {{math|(0,0)}}. Зялёныя ж крывыя (якія маюць концыканечны сталы нахіл: {{math|1=''y'' {{=}} ''ax''}}) усе даюць [[граніца функцыі|граніцу]] 1.]]

=== Дыскрэтныя паказчыкі ступені ===

* Разгляд выразу {{math|''b''⁰}} як [[пусты здабытак, матэматыка|пустога здабытку]] налучаенадзяляе яго значэннем 1, нават калі {{math|''b'' {{=}} 0}}.

* [[#Камбінаторнае вытлумачэнне|У камбінаторыцы]] выраз 0⁰ тлумачыцца як колькасць пустых [[n-ка (тэорыя мностваў)|0-ак]] (нулёвак), складзеных з элементаў пустога мноства. Існуе адзіная пустая нулёўка.

* Гэтак сама,жа [[#Ступеняванне над мноствамі|тэорыя мностваў вытлумачвае]] выраз 0⁰ як лік функцый з пустога мноства ў пустое. Існуе адзіная такая функцыя<ref name="Bourbaki">

}} III.§ 3.5

* Пішучы <math>\scriptstyle \sum a_nx^n</math> для [[мнагаскладмнагачлен]]аў і [[ступеневыступенны шэраград|ступеневыхступенных шэрагаўрадоў]], мяркуюць, што {{math|0⁰ {{=}} 1}}. Тоеснасці накшталтна ўзор <math>\scriptstyle \frac{1}{1-x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} x^n</math> і <math>\scriptstyle e^{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>, а таксама [[біном Ньютана]] <math>\scriptstyle (1 \,+\, x)^n \;=\; \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k</math> справядлівыя для {{math|''x'' {{=}} 0}} толькі пры ўмове 0⁰ = 1 <ref>

"«Некаторыя падручнікі пакідаюць велічыню 0⁰ нявызначанай з тае прычыны, што функцыі {{math|''x''⁰}} і {{math|0^''x''}} маюць розныя [[граніца функцыі|гранічныя значэнні]], калі ''x'' імкнецца да 0. Але гэта памылка. Неабходна вызначыць {{math|''x''⁰ {{=}} 1}} пры ўсіх {{math|''x''}} дзеля таго, каб біномная тэарэма праўдзіласяспраўджвалася, калі ''x'' = 0, ''y'' = 0, і/або ''x'' = −''y''. Біномная тэарэма завельмі важная, каб яе адвольна абмяжоўваць! І, наадварот, функцыя {{math|0^''x''}} зусім неістотная"».

* У [[дыферэнцыяльнае злічэнне|дыферэнцыяльным злічэнні]] правіла дыферэнцавання [[ступеневая функцыя|ступеневай функцыі]] <math>\scriptstyle \frac{d}{dx} x^n \;=\; nx^{n-1}</math> выконваецца для ''n'' = 1 у пункце {{math|''x'' {{=}} 0}} толькі пры ўмове 0⁰ = 1.

=== У аналізе ===

* [[Граніца, матэматыка|Граніцу]] выразу часта можна вылічыць, замяніўшы падвыразы іхнімі [[граніца, матэматыка|граніцамі]], ці проста падставіўшы гранічныя значэнні аргумента. Калі ж выраз пры такой падстаноўцы страчвае сэнс, яго называюць [[нявызначанасць, матэматыка|нявызначанасцю]]<ref name="МЭ"/>. НасамрэчНа самай справе, няхайкалі ''f''(''t'') і ''g''(''t'') з'яўляецца рэчаіснымі функцыямі і абедзве імкнуцца да 0 (пры ''t'', накіраваным да рэчаіснага ліку або ±∞), і акрамя таго ''f''(''t'')>0. Але, функцыя {{math|''f''(''t'')^''g''(''t'')}} не абавязана імкнуцца да 1. У залежнасці ад ''f'' і ''g'', [[граніца функцыі|граніца]] выразу {{math|''f''(''t'')^''g''(''t'')}} можа быць любым неадмоўным рэчаісным лікам або +∞, ці можа проста не існаваць. Напрыклад, усе прыведзеныя ніжэй функцыі выглядаюць як {{math|''f''(''t'')^''g''(''t'')}}, дзе {{math|''f''(''t'')}},{{math|''g''(''t'')&nbsp;→&nbsp;0}} пры [[аднабаковая граніца функцыі|{{math|''t''&nbsp;→&nbsp;0⁺}}]], аднак іхнія [[граніца функцыі|гранічныя значэнні]] розныя:

:: <math> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}</math>.

: Такім чынам, выраз 0⁰ ёсцьз'яўляецца нявызначанасцю. Такія паводзіны паказваюць, што функцыя ад двух зменных {{math|''x''^''y''}}, хоць і непарыўная на мностве {{math|{(''x'',''y''): ''x'' > 0}}}, але не можа быць [[непарыўная функцыя|непарыўна]] працягнута ні на адно мноства, якое ўтрымлівала бўтрымлівае пункт (0,0), бо няма спосабу несупярэчліва вызначыць 0⁰.

* На [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] функцыя {{math|''f''(''z'',''w'') {{=}} ''z''^''w''}} вызначаецца для ненулявых ''z'' згодна з {{math|''z''^''w'' {{=}} ''e''^{''w'' Ln ''z''}}}. Аднак ніводная галіна функцыі {{math|Ln ''z''}} не вызначана ў пункце {{math|''z'' {{=}} 0}}.