Рэчаісны лік: Розніца паміж версіямі

'''Рэчаі{{націск}}сныРэчаі́сны''' або '''сапра́ўдны''' лік  — любы дадатны, адмоўны [[лік]] ці нуль<ref>БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.</ref>.

'''Рэчаісныя (сапраўдныя) лікі'''  — матэматычная [[абстракцыя]], якая ўзнікла з патрэбы [[Вымярэнне|вымярэння]] [[Геаметрыя|геаметрычных]] і [[Фізіка|фізічных]] велічынь навакольнага свету, а таксама для ажыццяўлення такіх аперацый як вылічэнне [[Квадратны корань|квадратнага кораня]], [[лагарыфм]]аў, развязанне [[Алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]].

Калі [[Натуральны лік|натуральныя лікі]] ўзніклі пры лічэнні, [[Рацыянальны лік|рацыянальныя]]  — з патрэбы выкарыстоўваць часткі цэлага, то рэчаісныя лікі прызначаны для вымярэння непарыўных велічынь. Такім чынам, пашырэнне запасу разгляданых лікаў прывяло да мноства рэчаісных лікаў, якое апрача лікаў рацыянальных утрымлівае таксама другіяіншыя элементы, так званыя ''[[Ірацыянальны лік|ірацыянальныя лікі]]''.

Наглядна паняцце рэчаіснага ліку можна ўявіць сабе пры дапамозе ''[[Лікавая прамая|лікавай прамой]]''. Калі на прамой выбраць напрамак, пачатковую кропку і адзінку даўжыні для вымярэння адрэзкаў, то кожнаму рэчаіснаму ліку можна паставіць у адпаведнасць пэўную кропку на гэтай прамой, і наадварот, кожная кропка будзе выявай некаторага, і прытым толькі аднаго, рэчаіснага ліку. У выніку гэтай адпаведнасці словазлучэнне "«лікавая прамая"», або "«рэчаісная прамая"», звычайна ўжываецца ў якасці сіноніма да "«мноства рэчаісных лікаў"».

Паняцце рэчаіснага ліку прайшло доўгі шлях станаўлення. Яшчэ ў [[Матэматыка ў Старажытнай Грэцыі|Старажытнай Грэцыі]] ў школе [[Піфагор]]а, якая ў аснову ўсяго пакладаластавіла [[Цэлы лік|цэлыя лікі]] і іх дачыненніадносіны, было адкрыта існаванне ''несувымерных велічынь'' (несувымернасць стараны і дыяганалі квадрата), ці, на сучасны лад, ірацыянальных лікаў. Услед за гэтым [[Эўдокс Кнідскі]] зрабіў спробу пабудаваць агульную тэорыю ліку, якая ўключала б ў сябе несувымерныя велічыні. Пасля гэтага, на працягу больш чым двух тысячагоддзяў ніхто не адчуваў неабходнасці ў дакладным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, негледзячынягледзячы на паступовае пашырэнне гэтага паняцця<ref name = "Пути">

}}</ref>. Толькі ў другой палове XIX стагоддзя, калі развіццё [[Матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]] запатрабавала перабудовы яго асноваўасноў на новым, вышэйшым узроўні строгасці, у працах [[Карл Ваерштрас, Карл|К. Ваерштраса]], [[Дэдэкінд, Юліус Вільгельм Рыхард Дэдэкінд|Р. Дэдэкінда]], [[Кантар, Георг Фердынанд Людзвіг ФіліпКантар|Г. Кантара]], [[Гейне,Эдуард ЭдуардХайнэ|Э. ГейнеГейнэ]], [[Мерэ, Шарль|Ш. Мерэ]]<ref name="Пути"/> была створана строгая тэорыя рэчаісных лікаў.

СЗ пункту гледжанняпогляду сучаснай матэматыкі, мноства рэчаісных лікаў  — [[Непарыўнасць мноства рэчаісных лікаў|непарыўнае]] [[ўпарадкаванае поле]]. Гэта азначэнне, ці раўназначная сістэма [[Аксіёма|аксіём]], дакладна вызначае паняцце рэчаіснага ліку ў тым сэнсе, што існуе толькі адно, з дакладнасцю да [[ізамарфізм]]у, непарыўнае ўпарадкаванае [[Поле (алгебра)|поле]].

Мноства рэчаісных лікаў звычайна пазначаеццаабазначаецца як <math>\mathbb{R}</math> ([[Юнікод|Unicode]]: ℝ) ад {{lang-la|realis}}  — рэчаісны.

Пры канструктыўным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, на падставеаснове вядомых матэматычных аб'ектаў (напрыклад, мноства [[Рацыянальны лік|рацыянальных лікаў]] <math>\mathbb{Q}</math>), якія прымаюцьпрымаюцца азначанымівызначанымі, будуюць новыя аб'екты, якія, у пэўным сэнсе, адлюстроўваюць наша "«побытавае"» ўяўленне пра паняцце рэчаіснага ліку. Істотным адрозненнем між "«побытавымі"» рэчаіснымі лікамі і гэтымі пабудаванымі аб'ектамі ёсцьзаключаецца тоеў тым, што першыя, у адрозненне ад другіх, ўсведамляюцца намі інтуітыўна і "«пакуль"» не з'яўляюцца строга вызначаным матэматычным паняццем.

Гістарычна першымі строгімі азначэннямі рэчаіснага ліку былі менавітаіменна канструктыўныя азначэнні. У 1872 годзе былі надрукаваны адначасова тры працы: тэорыя фундаментальных паслядоўнасцей [[Кантар, Георг Фердынанд Людзвіг ФіліпКантар|Кантара]], тэорыя [[Карл Ваерштрас|Ваерштраса]] (у сучасным варыянце  — тэорыя бясконцыхбесканечных десятковых дробаў) і [[Дэдэкінд|Дэдэкіндава]]ава тэорыя сечываўсячэнняў у мностве рацыянальных лікаў<ref name="Пути"/><ref>

У дадзеным падыходзе рэчаісны лік разглядаецца як [[мяжаграніца паслядоўнасці]] рацыянальных лікаў. Каб паслядоўнасць рацыянальных лікаў збягалася, на яе накладваецца ''[[умова Кашы|ўмова Кашы&#769;]]'':

\forall \varepsilon > 0 \ \exists N(\varepsilon): \ \forall n > N(\varepsilon) \ \forall m > 0 \ | a_{n+m} - a_n | < \varepsilon.

Сэнс гэтай умовы складаеццазаключаецца ў тым, што члены паслядоўнасці, пачынаючы з некаторага нумара, будуць ляжаць адвольна блізка адзін да аднаго. Паслядоўнасці, якія задавальняюць умову Кашы, называюцца ''фундаментальнымі''.

<math>\alpha = [a_n]</math> і <math>\beta = [b_n],</math>,

азначаныявызначаныя адпаведна фундаментальнымі паслядоўнасцямі <math>\{a_n\}</math> і <math>\{b_n\}</math>, называюцца [[Дачыненне раўназначнасці|''роўнымі'']], калі

\lim_{n \to \infty} \left ( a_n - b_n\right ) = 0.

Хай дадзены два рэчаісныя лікі <math>\alpha = [a_n]</math> і <math>\beta = [b_n]</math>, то іх сумай і здабыткам называюцца лікі, азначаныявызначаныя адпаведна сумай і здабыткам паслядоўнасцей <math>\{a_n\}</math> і <math>\{b_n\}</math>:

\exists \varepsilon > 0 \ \exists N: \ \forall n > N \ a_n \ge b_n + \varepsilon.

Спосаб пабудовы мноства рэчаісных лікаў з дапамогай фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў з'яўляецца асобным выпадкам пабудовы ''папаўнення'' адвольнай [[Метрычная прастора|метрычнай прасторы]]. Як і ў агульным выпадку, атрыманае ў выніку папаўнення мноства рэчаісных лікаў само ўжо з'яўляецца ''поўным'', г.зн. утрымлівае межы[[граніца паслядоўнасці|граніцы]] ўсіх фундаментальных паслядоўнасцей сваіх элементаў.

=== Праз бясконцыябесканечныя дзесятковыя дробы ===

Рэчаісны лік азначаецца як ''бесконцыбесканечны дзесятковы дроб'', гэта значыць выраз выгляду

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots,

дзе <math>\pm</math> — ёсць аднымадзін са знакаў <math>+</math> ці <math>-</math>, называныі называецца знакам ліку, <math>a_0</math>  — цэлы неадмоўны лік, <math>a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots</math>  — паслядоўнасць дзесятковых знакаў, г. зн. элементаў лікавага мноства <math>\{0, 1, \ldots 9\}</math>.

БясконцыБесканечны дзесятковы дроб можна вытлумачыць як такі лік, штоякі ляжыць на лікавай прамой між ''рацыянальнымі'' лікамі выгляду

Параўнанне рэчаісных лікаў у форме бясконцыхбесканечных дзесятковых дробаў ажыццяўляецца паразрадна. Напрыклад, няхай дадзеныдадзеныя два неадмоўныя лікі

Калі <math>a_0 < b_0</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; калі <math>a_0 > b_0</math> то <math>\alpha > \beta</math>. У выпадку роўнасці <math>a_0 = b_0</math> пераходзяць да параўнання наступнага разрада. І гэтак далей. Калі <math>\alpha \neq \beta</math>, то пасля концагаканечнага ліку крокаў сустрэнецца першы разрад <math>n</math>, такі што <math>a_n \neq b_n</math>. Калі <math>a_n < b_n</math>, то <math>\alpha <\beta</math>; калі <math>a_n > b_n</math>, то <math>\alpha > \beta</math>.

Аднак, пры гэтым трэба улічвацьўлічваць, што лік <math>a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n}</math>. Таму калі запіс аднаго з параўноўваных лікаў, пачынаючы з некаторага разрада, уяўляе сабой перыядычны дзесятковы дроб, дзе ў перыядзе стаіць 9, то яеяго трэба замяніць на раўназначны запіс, дзе ў перыядзе нуль.

Арыфметычныя аперацыі над бясконцымібесканечнымі дробамі азначаюцца як ''непарыўны працяг''<ref>

Раз на мностве рэчаісных лікаў ужо ўведзена дачыненне лінейнага парадку, то мы можам вызначыць тапалогію лікавай прамой: у якасці адкрытых мностваў возьмем усемагчымыя аб'яднанні прамежкаў выглядувіду <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math>

Падобным жа чынам азначаеца і аперацыя множання бясконцыхбесканечных дзесятковых дробаў. Здабыткам двух ''дадатных'' рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> называецца рэчаісны лік <math>\alpha \cdot \beta</math>, які задавальняе наступную умовуўмову:

=== Праз сечывысячэнні ў мностве рацыянальных лікаў ===

У падыходзе Дэдэкінда лікі азначаюцца з дапамогай сечываўсячэнняў у мностве рацыянальных лікаў.

Тэорыя Дэдэкінда, пабудаваная ў 1858 годзе, была выдадзена ў 1872 годзе ў невялікай кніжцы "«Непарыўнасць і ірацыянальныя лікі"» ({{lang-de|"Stetigkeit und irrationale Zahlen"}})<ref>

</ref>. І на сённяшні дзень гэта кніжка застаецца адной з лепшыхнайлепшых па яснаціяснасці і даступнасці выкладання дадзенага пытання.

''СечывамСячэннем'' у мностве рацыянальных лікаў <math>\mathbb{Q}</math> называецца ўсякая разбіўка сукупнасці ўсіх рацыянальных лікаў на два непустыхнепустыя падмноствы, ці ''класакласы''  — ''ніжні'' <math>A</math> і ''верхні'' <math>A'</math>, так што кожны лік з ніжняга класа строга меншы за любы лік з верхняга:

Калі існуе лік <math>\alpha</math>, які ёсцьз'яўляецца найбольшым у ніжнім класе, альбо найменшым у верхнім класе, то гэты лік число ''падзяляераздзяляе'' мноствы <math>A</math> і <math>A'</math>: лікі ніжняга і верхняга класаў ляжаць па розныя бакі ад <math>\alpha</math>. Таксама кажуць, што рацыянальны лік <math>\alpha</math> ''учыняеажыццяўляе'' дадзенае сечывасячэнне мноства рацыянальных лікаў.

Калі ж у ніжнім падмностве няма найбольшага элемента, а ў верхнім - — найменшага, то не існуе ніякага рацыянальнага ліку, які падзяляўраздзяляў бы мноствы <math>A</math> і <math>A'</math>. У гэтым выпадку па азначэнні прымаюць, што гэта сечывасячэнне ''вызначае'' некаторы ''ірацыянальны лік'' <math>\alpha</math>, які знаходзіцца паміж ніжнім і верхнім класамі, і тым самым учыняеажыццяўляе дадзенае сечывасячэнне. Інакш кажучы, для ўсякага сечывасячэння, штоякое не ўчыняеццаажыццяўляецца ніякім ''рацыянальным'' лікам, уводзяць новы аб'ект  — ''ірацыянальны'' лік, які па азначэнні большы за ўсякі лік з ніжняга падмноства і меншы за ўсякі лік з верняга падмноства:

Сукупнасць усіх рацыянальных і ўсіх ірацыянальных лікаў называюць ''мноствам рэчаісных лікаў'', а яго элементы  — ''рэчаіснымі лікамі''.

Пабудаваць мноства рэчаісных лікаў можна рознымі спосабамі. У тэорыі Кантара рэчаісныя лікі - — гэта класы эквівалентных фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, у тэорыі Ваерштраса — - бясконцыябесканечныя дзесятковыя дробы, у тэорыі Дэдэкінда  — сечывысячэнні ў мностве рацыянальных лікаў. Ва ўсіх гэтых падыходах у выніку мы атрымліваем нейкае мноства аб'ектаў (рэчаісных лікаў), які маюць пэўныя ўласцівасці: іх можна складваць, перамнажаць, параўноўваць між сабою. Да таго ж, калі высветлены ўласцівасці гэтых аб'ектаў, мы можам больш не звяртацца да гэтых пэўных канструкцый, з дапамогай якіх яны былі пабудаваны.

У [[матэматыка|матэматыцы]] істотнымі з'яўляюцца не пэўныя пабудаванніпабудовы аб'ектаў, а толькі матэматычныя суадносіны між самімі аб'ектамі.

Чалавеку, які даследуе матэматычнае паняцце [[магутнасць мноства|колькасці элементаў]], няма розніцы, пра што казаць  — пра тры яблыкі ці пра тры камяні, і іх ядомасць ці неядомасць не мае значэння. Падчас адцягнення ад неістотных прыкмет, г.зн. [[Абстракцыя|абстрагавання]] ({{lang-la|abstractio}}  — адцягненне), ён прыходзіць да таго агульнага, што ўласціва і тром яблыкам, і тром камяням  — колькасці элементаў. Так узнікае адцягненае паняцце [[Натуральны лік|натуральнага ліку]]. З такога пункту гледжанняпогляду тры яблыкі і тры камяні - — два пэўныхпэўныя увасабленні, ''мадэлі'' адцягненага паняцця "«лік тры"».

Гэтак жа сама класы фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, бясконцыябесканечныя дзесятковыя дробы і сечывысячэнні ў мностве рацыянальных лікаў — ёсцьгэта усягоўсяго толькі пэўнымінейкія ўвасабленняміўвасабленні рэчаіснага ліку. Само ж паняцце рэчаіснага ліку вызначаецца істотнымі для яго матэматычнымі суадносінамі. Як толькі яны вызначаны, адразу ж вызначана і паняцце рэчаіснага ліку.

Тут дарэчы прывесці знакамітае выказванне [[Давід Гільберт|Д. Гільберта]], заснавальніка паслядоўнага [[Аксіяматычны падыход|аксіяматычнага падыходападыходу]] ў матэматыцы. Гільберт, маючы на ўвазе [[Аксіяматыка Гільберта|аксіяматычныя асновы геаметрыі]], неяк заўважыў:

|Варта намагчысядабіцца таго, каб з аднолькавым поспехам можна было казаць замест пунктаў, прамых і пласкасцейплоскасцей пра сталы, стулыкрэслы і піўныя кружкі.

''Мноства <math>\R</math> называецца мноствам рэчаісных лікаў, а ягоныя элементы  — рэчаіснымі лікамі, калі задавальняецца наступная сукупнасць умоваўумоў, называнаяякая называецца [[аксіёма|аксіяматыкай]] рэчаісных лікаў:''

якая супастаўляе кожнай упарадкаванай пары элементаў <math>a, b</math> з <math>\R</math> некаторы элемент <math>c</math> з таго ж мноства <math>\R</math>, называныякі называецца ''сумай'' <math>a</math> і <math>b</math> (сума элементаў <math>a</math> і <math>b</math> пазначаеццаабазначаецца праз <math>a+b</math>).

якая ставіць у адпаведнасць кожнай упарадкаванай пары элементаў <math>a, b</math> з <math>\R</math> некаторы элемент <math>a \cdot b</math>, называныякі называецца ''здабыткам'' <math>a</math> і <math>b</math>.

: <math>\text{I}_{3}.</math> ''Існаванне нуля.'' Існуе элемент <math>0 \in \R</math>, называныякі называецца ''нулём'', такі што для любога <math>a \in \R</math>

: <math>\text{I}_{4}.</math> ''Існаванне супрацьлеглагапроцілеглага элемента.'' Для любога <math>a \in \R</math> існуе элемент <math>-a \in \R</math>, называныякі называецца ''процілеглым'' да <math>a</math>, такі што

: <math>\text{I}_{7}.</math> ''Існаванне адзінкі''. Існуе элемент <math>1 \in R</math>, называныякі называецца ''адзінкаю'', такі што для любога <math>a \in R</math>

: <math>\text{I}_{8}.</math> ''Існаванне адваротнага элемента''. Для любога <math>a \in \R, a \neq 0</math> існуе элемент <math>a^{-1} \in \R</math>, які пазначаеццаабазначаецца таксама як <math> 1/a </math> і называецца ''адваротным'' да <math>a</math>, такі што

: <math>\text{I}_{10}.</math> ''Нетрывіяльнасць поля''. ''Адзінка'' і ''нольнуль''  — розныя элементы <math>\R</math>:

: <math>\text{II}_{5}.</math> ''Узгодненасць парадкапарадку са складаннем.'' Для любых <math>a, b, c \in \R</math>

: <math>\text{II}_{6}.</math>''Узгодненасць парадкапарадку з множаннем.'' Для любых <math>a, b \in \R</math>

: <math>\text{III}_{1}.</math> Якія б ні былі непустыя мноствы <math>A \subset \mathbb{R}</math> иі <math>B \subset \mathbb{R}</math>, такія што для любых двух элементаў <math>a \in A</math> і <math>b \in B</math> праўдзіццаспраўджваецца няроўнасць <math>a \leqslant b</math>, існуе такі лік <math>\xi \in \R</math>, што для ўсіх <math>a \in A</math> і <math>b \in B</math> праўдзяццасправядлівыя суадносіны

==== Заўвагі да аксіёмаўаксіём ====

Гэтых аксіёмаўаксіём дастаткова, каб строга вывесці ўсе вядомыя ўласцівасці рэчаісных лікаў<ref>

На мове сучаснай алгебры аксіёмы першай групы азначаюць, што мноства <math>\R</math> ёсцьз'яўляецца [[Поле, (алгебра)|полем]]. Аксіёмы другой групы  — што мноствомноства <math>\R</math> ёсць [[Лінейна ўпарадкаванае мноства|лінейна ўпарадкаваным мноствамўпарадкаванае]] (<math>\text{II}_{1}</math>  — <math>\text{II}_{4}</math>), прычым дачыненне парадку ўзгоднена са структурай поля <math>\text{II}_{5}</math>  — <math>\text{II}_{6}</math>. Мноствы, якія задавальняюць аксіёмы першай і другой групы, называюцца ''[[упарадкаванае поле|упарадкаваныміўпарадкаванымі палямі]]''. Нарэшце, апошняя група, якая складаецца з адной аксіёмы, сцвярджае, што мноства рэчаісных лікаў мае ўласцівасць ''непарыўнасці'', якоеякая таксама называюць ''паўнатой''. У выніку, можна даць раўназначнае азначэнне мноства рэчаісных лікаў.

Існуюць і іншыя спосабы аксіяматызацыі рэчаісных лікаў. Напрыклад, замест аксіёмы непарыўнасці <math>\text{III}_{1}</math> можна выкарыстоўваць любую раўназначную ёй умову, ці сукупнасць умоваўумоў. Напрыклад, у сістэме аксіём, прапанаванай Гільбертам, аксіёмы групаўгруп <math>\text{I}</math> і <math>\text{II}</math>, па сутнасці, тыя ж, што і вышэйпрыведзеныя, а замест аксіёмы <math>\text{III}_{1}</math> выкарыстоўваюцца наступныя дзве ўмовы:

</ref> і <math>b > 0</math>. Тады элемент <math>a</math> можна паўтарыць складнікам концуюканечную колькасць разоў так, што ўтвораная ў выніку сума пераўзыдзе <math>b</math>:

'''''Азначэнне.''''' ''Мноства рэчаісных лікаў — ёсцьгэта найшырэйшымнайшырэйшае архімедавымархімедава упарадкаванымўпарадкаванае полемполе''.

У якасці яшчэ аднаго прыклада аксіяматызацыі рэчаісных лікаў можна прывесці {{ненп5|аксіяматыка перакладзенаТарскага|ёсцьаксіяматыку = :Тарскага|en:|Tarski's axiomatization of the reals|трэба = Аксиоматика Тарского|тэкст = аксіяматыку Тарскага}}, якая складаецца ўсяго з 8 аксіёмаўаксіём.

* Рацыянальныя лікі  — 32, 36/29.

* Ірацыянальныя лікі  — [[Пі, лік|<math>\pi</math>]], <math>\sqrt 2</math>.

* С.  Б.  Стечкин. Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»

* ''Кириллов, А. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/chislo.htm Что такое число?] // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов».  — М.: Физматлит, 1993.

* ''Понтрягин, Л. С.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm Обобщения чисел] // Серия «Математическая библиотечка».  — М.: Наука, 1965.