Граніца (матэматыка): Розніца паміж версіямі

др
вікіфікацыя, стылявыя змены
[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
др (Bot: Migrating 52 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q177239 (translate me))
др (вікіфікацыя, стылявыя змены)
'''Грані{{націск}}цаГрані́ца'''<ref name="БНТ1">
{{кніга
|аўтар =
|isbn =
}}
</ref> − адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы палягаезаключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай [[сталая велічыня|сталай велічыні]]. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.
 
На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці [[матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]]: [[непарыўная функцыя|непарыўнасць]], [[вытворная функцыі|вытворная]], [[дыферэнцыял (матэматыка)|дыферэнцыял]], [[інтэграл]].
{{Галоўны артыкул|Граніца паслядоўнасці}}
 
'''Граніца паслядоўнасці''' азначаецца для паслядоўнасці <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> элементаў {{math|''x''<sub>''n''</sub>}} [[тапалагічная прастора|тапалагічнай прасторы]] {{math|''X''}} пры імкненні {{math|''n''}} да [[бясконцасць (матэматыка)бесканечнасць|бясконцасцібесканечнасці]]. Кажуць, што паслядоўнасць <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> ''збягаецца да сваёй граніцы'' <math>a\in X</math>, калі для любога наваколля {{math|''U''(''a'')}} элемента {{math|''a''}} існуе нумар {{math|''N''<sub>''U''</sub>}} , такі што для ўсіх {{math|''n'' ≥ ''N''<sub>''U''</sub>}} выконваецца <math>x_n\in U(a)</math>.
 
Збежнасць паслядоўнасці <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> да граніцы {{math|''a''}} запісваюць як
: <math>\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a.</math>
 
=== Граніца функцыі ===
{{Галоўны артыкул|Граніца функцыі}}
 
Няхай {{math|''X''}} і {{math|''Y''}} ёсць — [[тапалагічная прастора|тапалагічнымітапалагічныя прастораміпрасторы]]. Няхай функцыя {{math|''f'' : ''E'' → ''Y''}} вызначана на мностве {{math|''E''}}, якое ёсцьз'яўляецца падмноствам прасторы {{math|''X''}}. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта <math>x_0 \in X</math> ёсць прынамсіхаця б адзін пункт мноства {{math|''E''}}.
 
Пункт <math>a\in Y</math> называюць '''граніцаю функцыі''' {{math|''f''}} пры імкненні {{math|''x''}} да {{math|''x''<sub>0</sub>}} , калі для ўсякага наваколля {{math|''V''}} пункта {{math|''a''}} ў прасторы {{math|''Y''}} існуе такое наваколле {{math|''U''<sub>0</sub>}} пункта {{math|''x''<sub>0</sub>}} у прасторы {{math|''X''}}, што для адвольнага пункта <math>x\in E\cap U_0</math> яго вобраз {{math|''f''(''x'')}} належыць {{math|''V''}}, г.зн. <math>f(E\cap U_0)\subset V.</math>
 
Пры гэтым пішуць
: <math>\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = a,</math>
або {{math|''f''(''x'') → ''a''}} пры {{math|''x'' → ''x''<sub>0</sub>}}.
 
 
Няхай на адрэзку {{math|[''a'', ''b'']}} вызначана функцыя {{math| ''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}. Падзелім гэты адрэзак пунктамі {{math|''a'' {{=}} ''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ... < ''x''<sub>''n''</sub> {{=}} ''b''}} на {{math|''n''}} частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік <math>\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]</math>. [[Інтэгральная сума]] вызначаецца як
: <math>
S_n = f(\xi_1) (x_1-x_0) + f(\xi_2) (x_2-x_1) + \dots + f(\xi_n) (x_n-x_{n-1}).
</math>
Калі існуе концаяканечная граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей {{math|''x''<sub>''i''</sub> − ''x''<sub>''i''-1</sub>}}, то яна называецца ''вызначаным'' [[інтэграл Рымана|''інтэгралам Рымана'']] ад функцыі {{math|''f''}} на адрэзку {{math|[''a'', ''b'']}}.
 
[[Інтэграл Лебега]] таксама вызначаецца як граніца [[інтэгральная сума|інтэгральных сум]], толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.
 
== Зноскі ==
== Крыніцы і спасылкі ==
{{reflist}}
<references/>