Дыскрымінант: Розніца паміж версіямі

'''Дыскрыміна{{націск}}нтДыскрыміна́нт'''<ref name="МЭ">

</ref> ({{lang-la|discriminare}} −— падзяляць, адрозніваць) або '''адро{{націск}}знікадро́знік'''<ref name="БНТ1">

</ref> [[мнагачлен]]а −— лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від [[корань мнагачлена|каранёў]] [[мнагачлен]]а і іх узаемнае становішча.

Так, для мнагачлена

: <math>P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0</math>

: <math>D(P) = a_n^{2n-2} \prod_{1\le i < k\le n} (\alpha_i - \alpha_k)^2,</math>

дзе <math>\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n</math> − карані мнагачлена {{math|''P''(''x'')}} (г.зн. развязкірашэнні ўраўнення {{math|''P''(''x'') {{=}} 0}}) з улікам іх кратнасцей.

== Дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення ==

Развязкі (карані)Карані [[Квадратнае ўраўненне|квадратнага ўраўнення]]

: <math>a x^2 + b x + c = 0</math>

: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.</math>

Колькасць рэчаісных развязкаўрашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

: <math>b^2 - 4 a c</math>

называюць '''дыскрымінантам (адрознікам) квадратнага ўраўнення'''

: <math>a x^2 + b x + c = 0</math>

і пазначаюцьабазначаюць праз {{math|''D''}}.

* Калі {{math|''D'' > 0}}, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныхрэчаісныя развязкірашэнні <math>x_1</math> і <math>x_2</math>.

* Калі {{math|''D'' < 0}}, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у [[Поле, алгебра|полі]] [[рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]] <math>\mathbb{R}</math>. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць развязкірашэнні над полем [[камплексны лік|камплексных лікаў]]; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) развязкірашэнні, якія ёсцьз'яўляюцца [[Камплекснае спалучэнне|камплексна спалучанымі]] ў дачыненні адзін да аднаго.

Няхай <math>f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\in R[x]</math> − [[мнагаскладмнагачлен]] {{math|''n''}}-ай ступені ад адной зменнай над [[абсяг цэласнасці|абсягам цэласнасці]] {{math|''R''}} ([[перастаўляльнасць|перастаўляльным]] [[Колца з адзінкай|колцам з адзінкай]] і без [[дзельнік нуля|дзельнікаў нуля]]).

Няхай {{math|''K''}} ёсць [[поле раскладання мнагачлена|полемполе раскладання]] мнагаскладумнагачлена <math>f</math> (г.зн. у гэтым [[поле, алгебра|полі]] мнагаскладмнагачлен <math>f</math> раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады '''адрознік''' ('''дыскрымінант''') мнагаскладумнагачлена вызначаюць як<ref name="МЭ"/><ref name="ВинбергАлгебра">

дзе <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> − [[корань мнагачлена|карані]] мнагаскладумнагачлена <math>f</math>, якія ляжаць у полі {{math|''K''}}.

''Заўвага.'' Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім [[абсяг цэласнасці|абсягам цэласнасці]] {{math|''R''}} існуе [[поле раскладання мнагачлена|поле раскладання]]. Так, [[поле дзеляўдзелей]] {{math|''Q''}} [[колца, алгебра|колца]] {{math|''R''}} з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца {{math|''R''}}. І ў якасці поля раскладання {{math|''K''}} можна ўзяць [[алгебраічнае замыканне поля]] {{math|''Q''}}.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладумнагачлена <math>f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0</math> над полем {{math|''K''}} можна вылічыць як [[рэзультант]] мнагаскладумнагачлена <math>f</math> і яго [[вытворная функцыі|вытворнай]] <math>f'</math>, падзелены на старшы каэфіцыент <math>a_n</math>:<ref name="КурошАлгебра">

: <math>D(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} R(f,f').</math>

: <math>D(f)=(-1)^{n(n-1)/2} a_n^{n-2} \prod_{i=1}^n f'(\alpha_i).</math>

=== Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагаскладумнагачлена ===

[[Рэзультант]] мнагаскладумнагачлена <math>f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0</math> і яго вытворнай <math>f'(x)=n a_n x^{n-1} + \dots + a_1</math> роўны [[Вызначнік|вызна{{націск}}чнікувызначніку]] пэўнай {{math|(2''n'' − 1)×(2''n'' − 1)}}-[[Матрыца, матэматыка|матрыцы]] (так званай [[матрыца Сільвестра|матрыцы Сільвестра]]).

Таму, калі поле {{math|''K''}} мае нулявую [[характарыстыка поля, алгебра|характарыстыку]], з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

: <math>

Пры вылічэнні [[Вызначнік|вызна{{націск}}чнікавызначніка]] з першага слупка можна вынесці множнік <math>a_n</math>, які скароціцца.

*: <math>D = b^2 - 4ac.</math>

*: <math>D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.</math>

*: <math>D = \begin{vmatrix}

* [[Рэзультант]]

* [[Дыскрымінант поля]]