Розніца паміж версіямі "Неперарыўная функцыя"

др
няма тлумачэння праўкі
др
'''НепарыўнаяНеперарыўная функцыя''' ('''непарыўнаенеперарыўнае адлюстраванне'''), або '''непарыўная функцыя''' ('''непарыўнае адлюстраванне''') — [[Функцыя, матэматыка|функцыя]] без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.
 
== Строгае азначэнне ==
 
=== ε-δ азначэнне ===
: <math>x\in D,\ |x-x_0|<\delta</math>
справядліва
: <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.</math>
 
Функцыя <math>f</math> называецца '''непарыўнаю на мностве''' <math>E</math>, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.
== Пункты разрыву ==
 
Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя '''мае ў дадзеным пункце разрыў'''. Іншымі словамі, калі <math>A</math>  — значэнне функцыі <math>f</math> у пункце <math>a</math>, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з <math>A</math>. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі <math>f</math> у пункце <math>a</math> атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта <math>A</math> вобласці значэнняў функцыі <math>f</math>, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту <math>a</math> вобласці вызначэння функцыі <math>f</math>, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта <math>A</math>.
 
[[Файл:Continuidad de funciones 07.svg|200px|right]]
Калі граніца функцыі ''існуе'', але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:
: <math>\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a),</math>
то пункт <math>a</math> называецца ''пунктам скасавальнага разрыву'' функцыі <math>f</math> (у [[Камплексны аналіз|камплексным аналізе]]  — [[скасавальны асаблівы пункт]]).
 
Калі «паправіць» функцыю <math>f</math> у пункце скасавальнага разрыву і прыняць <math>f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x),</math> то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца ''давызначэннем функцыі да непарыўнай'' ці ''давызначэннем функцыі па непарыўнасці'', што і абгрунтоўвае назву, як пункта ''скасавальнага'' разрыву.
 
=== Пункты разрыву першага і другога роду ===
 
Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый ''аднабаковых граніц'':
 
== Уласцівасці ==
 
=== Лакальныя ===
* Функцыя, непарыўная ў пункце <math>a\,</math>, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
=== Элементарныя функцыі ===
 
Адвольныя [[Мнагачлен|мнагачлены]], [[Рацыянальная функцыя|рацыянальныя функцыі]], [[Паказчыкавая функцыя|паказчыкавыя функцыі]], [[Лагарыфм|лагарыфмы]], [[Трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя)]] непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.
 
=== Функцыя са скасавальным разрывам ===
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}</math>
называецца [[функцыя Дзірыхле|функцыяй Дзірыхле]]. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле  — гэта [[характарыстычная функцыя мноства]] [[Рацыянальныя лікі|рацыянальных лікаў]]. Гэта функцыя з'яўляецца '''ўсюды разрыўнаю функцыяй''', бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.
 
=== Функцыя Рымана ===
Функцыя <math>f</math> называецца '''раўнамерна непарыўнаю''' на <math>E</math>, калі для любога <math>\varepsilon>0</math> існуе <math>\delta>0</math> такое, што для любых двух пунктаў <math>x_1</math> і <math>x_2</math> такіх, што <math>|x_1-x_2|<\delta</math>, спраўджваецца <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>.
 
Кожная раўнамерна непарыўная на мностве <math>E</math> функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння  — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.
 
=== Паўнепарыўнасць ===
 
Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці  — паўнепарыўнасць ''знізу'' і паўнепарыўнасць ''зверху'':
* Функцыя <math>f</math> называецца '''паўнепарыўнаю знізу''' ў пункце <math>a</math>, калі для любога <math>\varepsilon>0</math> існуе такое наваколле <math>U_E(a)</math>, што <math>f(x)>f(a)-\varepsilon</math> для ўсякага <math>x\in U_E(a)</math>;
* Функцыя <math>f</math> называецца '''паўнепарыўнаю зверху''' ў пункце <math>a</math>, калі для любога <math>\varepsilon>0</math> існуе такое наваколле <math>U_E(a)</math>, што <math>f(x)<f(a)+\varepsilon</math> для ўсякага <math>x\in U_E(a)</math>.
 
Функцыя <math>f</math> называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце <math>x_0</math> сваёй вобласці вызначэння, калі для [[аднабаковая граніца|аднабаковае граніцы]] справядліва роўнасць:
: <math>f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-0} f(x)</math>
: <math>\left(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+0} f(x)\right)</math>
 
=== Непарыўнасць амаль усюды ===