Лаўрэат узнагароды Мэра горада Гданьска за выдатныя творчыя дасягненні (1999 г.), узнагароды “Фрыдэрык«Фрыдэрык-98”98» (джазавы музыка 1998 года), уладальнік Першага месца на Міжнародным конкурсе джазавай імправізацыі ў г. Катавіцэ (1994 г.), прэміі Міністра культуры і нацыянальнай спадчыны Рэспублікі Польшча “Ad«Ad Astra”Astra» для выбітных маладых музыкаў (2001). З'яўляецца лаўрэатам прэміі “Пашпарт”«Пашпарт» часопіса “Палітыка”«Палітыка» ў катэгорыі “Рок«Рок-Поп-Эстрада”Эстрада» (2004). Атрымаў Гран-пры Фонду культуры (2006) і Прыз міністра замежных спраў за прасоўванне польскай культуры за мяжой. З 1994 годзе чытачы часопіса “Jazz«Jazz Forum"» рэгулярна выбіралі яго Піяністам года. У 2012 годзе стаў патройным пераможцам анкетавання “Jazz«Jazz Top 2011”2011» у катэгорыях “Музыкант«Музыкант года”года», “Найлепшы«Найлепшы піяніст”піяніст» і “Найлепшы«Найлепшы альбом года”года» (альбом “Камедыя”«Камедыя»).
На працягу шасці гадоў быў адным з галоўных удзельнікаў джазавага ансамбля “Miłość”«Miłość» (“Каханне”«Каханне»), граў у квартэце Збігнева Намыслоўскага. Цягам доўгага часу разам са Збігневам Прайснерам запісвае музыку для кіно. Яго запрашаюць да супрацоўніцтва такія выбітныя лідары польскага джаза як Томаш Станька, Януш Муняк, Міхал Урбаняк, Пётр Вайтасік. Можджэр таксама супрацоўнічаў з прызнанымі зоркамі сусветнай джазавай сцэны: Пэтам Мэтэні, Артурам Блайтам, Бастэрам Уільямсам, Білі Харперам, Джо Лоўлі, Арчы Шэпам, Дэвідам Лібманам. Разам са шведскім кантрабасістам Ларсам Даніэльсанам і ізраільскім перкусіяністам і вакалістам Зохарам Фрэска грае ў джазавым трыа. З Анджэем Баўэрам і музыкам пад псеўданімам m.bunio.s грае ў праекце LUTOSFERA.
Лешэк Можджэр запісаў больш за 100 альбомаў, у тым ліку:
