Функцыянал: Розніца паміж версіямі

[недагледжаная версія][недагледжаная версія]
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
Artificial123 (размовы | уклад)
Новая старонка: '{{значэнні|Функцыянал}} '''Функцыяна́л''' — гэта адлюстраванне, зададзенае на адвольным ...'
 
др стыль, арфаграфія
Радок 1:
{{значэнні|Функцыянал}}
 
'''Функцыяна́л'''  — гэта [[адлюстраваннефункцыя (матэматыка)|функцыя]], зададзенаеякая зададзена на адвольным [[Мноства|мностве]] і тое, якое мае лікавую [[вобласць значэнняў функцыі|вобласць значэнняў]]: звычайна мноства [[Рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]] <math>\R</math> або [[Комплексны лік|комплексных лікаў]] <math>\mathbb{C}</math>{{sfn|Математическая Энциклопедия|1984|c=692}}.
 
== ВызначэнніАзначэнні ==
Вобласць вызначэння функцыяналуфункцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з'яўляеццаз’яўляецца [[тапалагічная прастора|тапалагічнай прасторай]], можна вызначыць [[бесперапыннынеперарыўны функцыянафункцыянал]]л; калі вобласць вызначэння з'яўляеццаз’яўляецца [[лінейная прастора|лінейнай прасторай]] над <math>\R</math> або над <math>\mathbb{C}</math>, можна вызначыць [[лінейны функцыянал]]; калі вобласць вызначэння з'яўляеццаз’яўляецца спарадкаванымўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць [[манатонны функцыянал]].
 
Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы <math>X</math>, называецца бесперапынным ў кропцы <math>x \in X</math>неперарыўным, калікалi ён непарыўны ў гэтай кропцынеперарыўны як адлюстраваннеадвображанне ў тапалагічную прастору <math>\R</math> або <math>\mathbb{C}</math>.
Вобласць вызначэння функцыяналу можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з'яўляецца [[тапалагічная прастора|тапалагічнай прасторай]], можна вызначыць [[бесперапынны функцыяна]]л; калі вобласць вызначэння з'яўляецца [[лінейная прастора|лінейнай прасторай]] над <math>\R</math> або над <math>\mathbb{C}</math>, можна вызначыць [[лінейны функцыянал]]; калі вобласць вызначэння з'яўляецца спарадкаваным мноствам, можна вызначыць [[манатонны функцыянал]].
 
Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы <math>X</math>, называецца бесперапыннымнеперарыўным у кропцы <math>x \in X</math>, калiкалі ён бесперапыннымнепарыўны ў гэтай кропцы як адлюстраваннеадвображанне ў тапалагічную прастору <math>\R</math> або <math>\mathbb{C}</math>.
 
У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адлюстраваннеадвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) [[Кальцо, (матэматыка)|кальцо]].
Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы <math>X</math>, называецца бесперапынным ў кропцы <math>x \in X</math>, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адлюстраванне ў тапалагічную прастору <math>\R</math> або <math>\mathbb{C}</math>.
 
Функцыянал, зададзеныЗададзены на лінейнай прасторы функцыянал, і які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (АдлюстраваннеАдвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць [[аператар, матэматыка|аператарам]]) .
У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адлюстраванне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) [[Кальцо, матэматыка|кальцо]].
 
Мабыць, самы просты функцыянал  — [[праектар, матэматыка|праекцыя]]  — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).
Функцыянал, зададзены на лінейнай прасторы, і які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адлюстраванне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць [[аператар, матэматыка|аператарам]]) .
 
Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора [[Функцыя|функцый]] (бесперапынныянеперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэграваныяінтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адлюстраваннеадвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).
Мабыць, самы просты функцыянал — [[праектар, матэматыка|праекцыя]] — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).
 
Функцыянал на лінейнымлінейнай прасторы называецца станоўчададатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.
Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора [[Функцыя|функцый]] (бесперапынныя функцыі на адрэзку, інтэграваныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адлюстраванне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).
 
АдлюстраваннеАдвображанне, якое перакладаепераводзіць [[вектар]] у яго норму, з'яўляеццаз’яўляецца выпуклым станоўчададатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца [[Дзеянне, фізічная велічыня|дзеянне]]  — таксама функцыянал.
Функцыянал на лінейным прасторы называецца станоўча вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.
 
Задачы [[аптымізацыя, матэматыка|аптымізацыі]] фармулююцца на мове функцыяналаў : знайсці рашэнне (ўраўненняураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы уключэнняўўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.
Адлюстраванне, якое перакладае [[вектар]] у яго норму, з'яўляецца выпуклым станоўча вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца [[Дзеянне, фізічная велічыня|дзеянне]] — таксама функцыянал.
 
Задачы [[аптымізацыя, матэматыка|аптымізацыі]] фармулююцца на мове функцыяналаў : знайсці рашэнне (ўраўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы уключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.
 
== Функцыянал у лінейнай прасторы ==
 
Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыяналуфункцыянала аддзялілася паняцце функцыяналуфункцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адлюстроўваеадвображвае элементы лінейнай прасторы ў ягояе прастору скаляраў. ЧасцякомЧаста (напрыклад, калі прастора функцый з'яўляеццаз’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця "«функцыянал"» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адзінадна аднагоадну.
 
Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з'яўляюццаз’яўляюцца лінейныя функцыяналы.
 
== Прыклады ==
 
* норма функцыі
* значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы
Радок 38 ⟶ 36:
* велічыня [[інтэграл]]а ад функцыі
* даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай
* даўжыня крывой, параметрычнайпараметрычна зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргументуаргумента (даўжыня шляху)
* плошча паверхні, параметрычнайпараметрычна зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў
* скалярны здабытак на фіксаваны вектар
* [[Дзеянне, фізічная велічыня|дзеянне ў механіцы]]
Радок 45 ⟶ 43:
 
== Гл. таксама ==
* [[Аператар, (матэматыка)]]
 
* [[Аператар, матэматыка]]
 
{{зноскі}}
 
== Літаратура ==
 
* {{кніга
|загаловак=Математическая Энциклопедия
Радок 71 ⟶ 67:
{{вікіпадручнік|Тэорыя функцый рэчаіснай зменнай/Лінейныя функцыяналы}}
* [http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5964/%D0%A4%D0%A3%D0%9D%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%9E%D0%9D%D0%90%D0%9B Математическая Энциклопедия. Функционал]
* [http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/variation_r/3/01-1.htm Конев В. В., Элементы Функционального Анализа]
 
{{Math-stub}}