Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці: Розніца паміж версіямі

== Зыходныя становішчыпалажэнні ==

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што [[прастора-час]] з'яўляецца рэгулярнай і бесперапыннайнеперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці пазначаюцьазначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкімгладкай дыферэнцавальнай разнастайнасцюмнагастайнасцю 4 вымярэнняў <math> M_4 </math>, г. зн. прасторай размернасці 4, для якогаякой наваколле кожнай кропкі паходзіць лакальна падобнае на чатырохмерную [[эўклідавая прастора|эўклідавую прастору]]. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

БоПаколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]], то такую разнастайнасцьмнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычныхметрычным тэнзартэнзарам з сігнатурай <math>\{-,+,+,+\}</math> (ці, што эквівалентна, <math>\{+,-,-,-\}</math>). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Дыферэнцавальная разнастайнасць мнагастайнасць<ref> Далей мы ўсюды не пішам індэкс 4, які ўдакладняе размернасць разнастайнасцімнагастайнасці «M». </ref> M, забяспечанае лоренцевымлорэнцавым метрычныхметрычным тэнзарам ''g'' , і прадстаўляе сабой такім чынам ''лорэнцавуюлорэнцаву разнастайнасцьмнагастайнасць'', якая складаез'яўляецца прыватныасобным выпадак псеўдарыманавай разнастайнасцімнагастайнасці (вызначэннеазначэнне «Лорэнцалорэнцаў» будзе удакладненаўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел [[#Лорэнцава метрыка|Лорэнцава метрыка]]) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат <math> x^{\mu} </math> ў наваколлі кропкі <math> P </math>, і хай <math>{\mathbf e}_{\mu}(x) </math> — лакальны базіс ў датычнай прасторы <math> T_xM </math> да разнастайнасцімнагастайнасці <math> M </math> ў кропцы <math>x\in M </math>. Датычны вектар <math> \mathbf w \in T_xM</math> запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў :

Пры гэтым велічыні <math> \ w^{\mu} </math> называюцца контраварыантныміконтраварыянтнымі кампанентамі вектара ''w''. [[Метрычны тэнзар]] <math> \mathbf g </math> тады — сіметрычная [[білінейная форма]]:

Далей будзем меркаваць, што кампаненты <math> g_{\mu\nu}(x) </math> метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часучасе бесперапыннанеперарыўна<ref> Больш дакладна, яны павінны быць па крайняй меры класа C². </ref>.

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай [[Матрыца, (матэматыка)|матрыцай]] 4x4 :

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. ЎмоваУмова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе , застаецца 4 дыяганальныхдыяганальныя элементаэлементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар <math>g_{\mu\nu}</math> валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.