Момант імпульсу: Розніца паміж версіямі

'''Момант імпульсу''' ('''кінетычны момант''', '''вуглавы момант''', '''арбітальны момант''', '''момант колькасці руху''') характарызуе колькасць вярчальнага руху. Велічыня, якая залежыць ад таго, колькі [[маса|масы]] круціцца, як яна размеркавана адносна восі кручэння і з якой [[Хуткасцьскорасць|хуткасцюскорасцю]] адбываецца кручэнне.

Варта ўлічыць, што кручэнне тут разумеецца ў шырокім сэнсе, не толькі як рэгулярнае кручэнне вакол восі. Напрыклад, нават пры прамалінейным руху цела міма адвольнай ўяўнага пункту, якія не ляжыць на лініі руху, яно таксама валодае момантам імпульсу. Найбольшую, мабыць, ролю момант імпульсу гуляе пры апісанні уласна [[Вярчальны рух|вярчальнага руху]]. Аднак вельмі важны і для значна больш шырокага класа задач (асабліва - — калі ў задачы ёсць цэнтральная або восевая сіметрыя, але не толькі ў гэтых выпадках).

Заўвага: момант імпульсу адносна пункту - — гэта псеўдавектар, а момант імпульсу адносна восі - — псеўдаскаляр.

дзе <math>~\mathbf r</math>  — радыус-вектар часціцы адносна абранага нерухомага ў дадзенай сістэме адліку пачатку адліку, <math>~\mathbf p</math>  — імпульс часціцы.

дзе <math>~\mathbf r_i, \mathbf p_i</math>  — радыус-вектар і імпульс кожнай часціцы, якая ўваходзіць у сістэму, момант імпульсу якой вызначаецца.

(У мяжы колькасць часціц можа быць бясконцым, напрыклад, у выпадку [[Цвёрдае цела|цвёрдага цела]] з бесперапынна размеркаванай масай ці ўвогуле размеркаванай сістэмы гэта можа быць запісана як <math>~\mathbf{L}=\int\mathbf{r}\times\mathbf{dp},</math> дзе <math>\mathbf{dp}</math>  — імпульс бясконца малога кропкавага элемента сістэмы).

Так як момант імпульсу вызначаецца вектарным здабыткам, ён з'яўляеццаз’яўляецца [[псеўдавектар]]ам, перпендыкулярным абодвум вектарам <math>~\mathbf r</math> і <math>~\mathbf p</math>.

дзе <math>~\theta_{r,\;p}</math>  — вугал паміж <math>~\mathbf r</math> і <math>~\mathbf p</math>, які вызначаецца так, каб [[паварот]] ад <math>~\mathbf r</math> да <math>~\mathbf p</math> праводзіўся супраць гадзіннікавай стрэлкі з пункту гледжання назіральніка, які знаходзіцца на дадатнай часткі восі кручэння. Напрамак павароту важны пры вылічэнні, так як вызначае знак шуканай праекцыі.

Запішам <math>~\mathbf r</math> у выгядзе <math>~\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}</math>, дзе <math>~\mathbf{r_{\parallel}}</math>  — складнік радыус-вектара, [[паралельнасць|паралельны]] вектару імпульсу, а <math>~\mathbf{r_{\perp}}</math>  — аналагічна, перпендыкулярны яму. <math>~\mathbf{r_{\perp}}</math> з'яўляеццаз’яўляецца, па сутнасці, адлегласцю ад восі кручэння да вектару <math>~\mathbf p</math>, якую звычайна называюць «плячом». Аналагічна можна падзяліць вектар імпульсу на два складнікі: паралельны радыус-вектару <math>~\mathbf{p_{\parallel}}</math> і перпендыкулярны яму <math>~\mathbf{p_{\perp}}</math>.

дзе <math>~\tau_{\rm ext}</math>  — момант адной з сіл, прыкладзеных да сістэмы часціц. (Але вядома, калі знешнія сілы наогул адсутнічаюць, гэтае патрабаванне таксама выконваецца).

Матэматычна закон захавання моманту імпульсу вынікае з ізатрапіі прасторы, гэта значыць з інварыянтавасці прасторы ў адносінах даадносна павароту на адвольны вугал. Пры павароце на адвольны бясконца малы вугал <math>~\delta \varphi</math>, радыус-вектар часціцы з нумарам <math>~i</math> змяняецца на <math>~\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i</math>, а хуткасці скорасці — <math>~\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i</math>. Функцыя Лагранжа <math>~\mathcal L</math> сістэмы пры такім павароце не зменіцца, з прычыны ізатрапіі прасторы. Таму

З ўлікам <math>\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}</math>, дзе <math>~\mathbf p_i</math>  — абагульнены імпульс <math>~i</math>-тай часціцы, кожны складнік у суме з апошняга выразу можна перапісаць у выглядзе

Цяпер, карыстаючыся уласцівасцюўласцівасцю [[змешаны здабытак|змешанага здабытку]], здзейснім цыклічную перастановуперастаноўку вектараў, у выніку чаго атрымаем, выносячы агульны множнік:

дзе, <math>\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i</math>  — момант імпульсу сістэмы. З прычыны адвольнасці <math>\delta \varphi</math>, з роўнасці <math>\delta \mathcal L = 0</math> вынікае <math>~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0</math>.

Пры апісанні руху зараджанай часціцы ў [[электрамагнітнае поле|электрамагнітным поле]], кананічны імпульс <math>~p</math> не з'яўляеццаз’яўляецца інварыянтным. Як следства, кананічны момант імпульсу <math>~ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math> таксама не інварыянты. Тады бярэм рэальны імпульс, які таксама называецца «кінетычным імпульсам»:

дзе <math>~e</math>  — [[электрычны зарад]], <math>~c</math>  — [[хуткасцьскорасць святла]], <math>~A</math>  — [[вектарны патэнцыял]], Такім чынам, гамільтаныянгамільтаніян (інварыянтныйінварыянтны) зараджанай часціцы масы <math>m</math> ў электрамагнітным полеполі:

дзе <math>~\varphi</math>  — [[скалярны патэнцыял]]. З гэтага патэнцыялу вынікае [[закон Лорэнца]]. Інварыянтны момант імпульсу або «кінетычны момант імпульсу» вызначаецца:

У [[Квантавая механіка|квантавай механіцы]] момант імпульсу [[квантаванне, фізіка|квантуецца]], гэта значыць ён можа змяняцца толькі па «квантавымквантавых ўзроўнямўзроўнях» паміж дакладна пэўнымівызначанымі значэннямі. Праекцыя на любую вось моманту імпульсу часціц, абумоўленага іх прасторавым рухам, павінна быць цэлым лікам, памножанаепамножаным на [[прыведзеная пастаянная Планка|прыведзеную пастаянную Планка]] <math>\hbar</math> (<math>h</math> з рысай), якая вызначаецца, як [[пастаянная Планка]], падзеленая на <math>2 \pi </math>. Эксперыменты паказваюць, што большасць часціц маюцьмае пастаянны ўнутраны момант імпульсу, які не залежыць ад іх руху праз прастору. Гэты [[спін]]авы момант імпульсу заўсёды кратны <math>\hbar/2</math>. Напрыклад, [[электрон]] ў стане спакою мае момант імпульсу <math>\hbar/2</math>.

У класічным вызначэнні момант імпульсу залежыць ад 6 зменных <math>~r_x</math>, <math>~r_y</math>, <math>~r_z</math>, <math>~p_x</math>, <math>~p_y</math>, и <math>~p_z</math>. . Пераводзячы гэта на квантавамеханічныя вызначэнні, выкарыстоўваючы [[прынцып нявызначанасці Гейзенберга]], атрымліваем, што немагчыма вылічыць усе шэсць зменных адначасова з ''любой дакладнасцю''. Таму ёсць абмежаванне на тое, што мы можам даведацца або падлічыць аб практычным моманце імпульсу. Гэта значыць, што лепшае, што мы можам зрабіць - — гэта падлічыць адначасова велічыню вектара моманту імпульсу і яго кампаненты па восях.

Матэматычна поўны момант імпульсу ў квантавай механіцы вызначаецца як аператар фізічнай велічыні з сумы двух частак, звязаных з прасторавым рухам - — у [[Атамная фізіка|атамнай фізіцы]] такі момант называюць арбітальным, і ўнутраным спінам часціцы - — адпаведна, спінавай. Першы аператар дзейнічае на прасторавыя залежнасці хвалевай функцыі:

дзе <math>\hat{\mathbf{r}}</math> і <math>\hat{\mathbf{p}}</math>  — каардынатны і імпульсны аператар, адпаведна, а другі - — на ўнутраныя, спінавыя. У прыватнасці, для адной часціцы без [[Электрычны зарад|электрычнага зарада]] і без [[спін]]а, аператар вуглавога моманту можа быць запісаны як::

: <math>\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla),</math>

дзе <math>\nabla</math>  — [[аператар набла]]. Гэта самая распаўсюджаная форма аператара моманту імпульсу, але не самая галоўная, яна мае наступныя уласцівасціўласцівасці:

: <math>[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0</math>, дзе <math>\varepsilon_{ijk}</math>  — [[сімвал Леві-Чівіты]].

Аператары моманту імпульсу звычайна сустракаюцца пры вырашэннірашэнні задач са сферычнай сіметрыісіметрыяй ўу [[сферычныя каардынаты|сферычных каардынатах]]. Тады момант імпульсу ў прасторавым адлюстраванні:

Калі маецца матэрыяльны пункт масай <math>~m</math>, які рухаецца зса хуткасцюскорасцю <math>~\mathbf{v}</math> і які знаходзіцца ў пункце, апісанамуякі апісваецца радыус-вектарам <math>~\mathbf{r}</math>, то момант імпульсу вылічаецца па формуле:

дзе <math>\times</math>  — знак [[вектарны здабытак|вектарнага здабытку]].

(Калі лічыць, што <math>\rho(x,y,z)</math>  — абагульненая функцыя, якая ўключае, магчыма, і дэльтападобныя члены, то апошняя формула дастасоўнаяпрымянімая і да размеркаваных, і да дыскрэтных сістэм).

Для сістэм, што здзяйсняюць кручэнне як цэлае (як абсалютна цвёрдае цела) вакол адной з восяўвосей сіметрыі (ці, больш агульна - — вакол так званых галоўных восяўвосей інерцыі цела), справядлівыя суадносіны

дзе <math>~I</math>  — [[момант інерцыі]] адносна восі кручэння, <math>~\boldsymbol\omega</math>  — вектар [[Вуглавая хуткасцьскорасць|вуглавой хуткасціскорасці]].

У агульным выпадку вектар моманту звязаны з вектарам вуглавой хуткасціскорасці праз [[лінейны аператар]] [[Момант інерцыі|моманту інерцыі]] ([[тэнзар інерцыі]]):

За пачатак адліку пры вылічэнні момантаў інерцыі або тэнзара інерцыі ў прынцыпе можаможна быць ўзятаяўзяць любыя вось або пункт, пры гэтым будуць атрыманы розныя велічыні, звязаныя адзін з адным праз [[тэарэма Штэйнера|тэарэму Штэйнера]]. Аднак практычна па змаўчанні звычайна выбіраецца цэнтр мас ці замацаваная вось (цэнтр), што з'яўляеццаз’яўляецца часцей за ўсё і больш зручным.