Граніца (матэматыка): Розніца паміж версіямі

вікіфікацыя
[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
(→‎Граніца паслядоўнасці: А менавіта гэтая формула мусіць быць пад модулем)
Тэгі: Праўка з маб. прылады Праўка праз мабільную версію сайта
(вікіфікацыя)
|isbn =
}}
</ref> — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай [[сталая велічыня|сталай велічыні]]. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.
 
На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці [[матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]]: [[непарыўная функцыя|непарыўнасць]], [[вытворная функцыі|вытворная]], [[дыферэнцыял (матэматыка)|дыферэнцыял]], [[інтэграл]].
 
'''Граніца паслядоўнасці''' азначаецца для паслядоўнасці <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> элементаў {{math|''x''<sub>''n''</sub>}} [[тапалагічная прастора|тапалагічнай прасторы]] {{math|''X''}} пры імкненні {{math|''n''}} да [[бесканечнасць|бесканечнасці]]. Кажуць, што паслядоўнасць <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> ''збягаецца да сваёй граніцы'' <math>a\in X</math>, калі для любога наваколля {{math|''U''(''a'')}} элемента {{math|''a''}} існуе нумар {{math|''N''<sub>''U''</sub>}} , такі што для ўсіх {{math|''n'' ≥ ''N''<sub>''U''</sub>}} выконваецца <math>x_n\in U(a)</math>.
Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> ''збягаецца да сваёй граніцы'' <math>a\in X</math>, калі для любога {{math|''ε''}}, якое больш за нуль, існуе {{math|''N''}}, якое залежыць ад {{math|''ε''}}, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: {{math|''|<math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math>''-''a''|<''ε''}}
Збежнасць паслядоўнасці <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> да граніцы {{math|''a''}} запісваюць як
: <math>\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a.</math>
{{Галоўны артыкул|Граніца функцыі}}
 
Няхай {{math|''X''}} і {{math|''Y''}} — [[тапалагічная прастора|тапалагічныя прасторы]]. Няхай функцыя {{math|''f'' : ''E'' → ''Y''}} вызначана на мностве {{math|''E''}}, якое з'яўляеццаз’яўляецца падмноствам прасторы {{math|''X''}}. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта <math>x_0 \in X</math> ёсць хаця б адзін пункт мноства {{math|''E''}}.
 
Пункт <math>a\in Y</math> называюць '''граніцаю функцыі''' {{math|''f''}} пры імкненні {{math|''x''}} да {{math|''x''<sub>0</sub>}} , калі для ўсякага наваколля {{math|''V''}} пункта {{math|''a''}} ў прасторы {{math|''Y''}} існуе такое наваколле {{math|''U''<sub>0</sub>}} пункта {{math|''x''<sub>0</sub>}} у прасторы {{math|''X''}}, што для адвольнага пункта <math>x\in E\cap U_0</math> яго вобраз {{math|''f''(''x'')}} належыць {{math|''V''}}, г.зн. <math>f(E\cap U_0)\subset V.</math>
[[Інтэграл Лебега]] таксама вызначаецца як граніца [[інтэгральная сума|інтэгральных сум]], толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.
 
{{зноскі}}
== Зноскі ==
{{reflist}}
 
 
[[Катэгорыя:Матэматычны аналіз]]