Градыент: Розніца паміж версіямі
| [дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
→Гл. таксама: вікіфікацыя |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1:
[[Выява:градиент холма.gif|thumb|400px|Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.]]
У [[вектарнае злічэнне|вектарным злічэнні]] '''градые́нт''' [[скалярнае поле|скалярнага поля]]
Напрыклад, калі ўзяць у якасці <math>\varphi</math> вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога
З матэматычнага пункту гледжання градыент
Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.
Тэрмін упершыню
'''Стандартныя абазначэнні''':
Радок 15:
або, з выкарыстаннем [[Аператар набла|аператара набла]],
: <math>\nabla \varphi</math>
— замест <math>\varphi</math> можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад <math>\mathrm{grad}\, V, \nabla V</math>
== Азначэнне ==
Радок 21:
У выпадку трохмернай прасторы градыентам
скалярнай [[Функцыя, матэматыка|функцыі]] <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math> каардынат <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> называецца вектарная функцыя з кампанентамі
: <math>\left(\frac {\partial \varphi} {\partial x},\frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}\right).</math>
Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z,</math> градыент можна запісаць у выглядзе:
: <math>\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.</math>
Калі <math>\varphi</math>
: <math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),</math>
Радок 32:
* Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта [[скалярнае поле]].
* '''Аператарам градыента''' (які звычайна абазначаюць як <math>\mathrm{grad}</math> або <math>\nabla</math>) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста
Сэнс градыента любой скалярнай функцыі <math>f</math> у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння <math>d\mathbf{x}</math> дае [[поўны дыферэнцыял]] гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана <math>f</math>, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення <math>f</math> пры перамяшчэнні на <math>d\mathbf{x}</math>. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:
Радок 39:
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).</math>
Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат <math>x_i</math>, г.зн. ад прыроды параметраў {{math|''x''}} увогуле, то атрыманы дыферэнцыял
<math>d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i</math>
Радок 63:
Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).
Напрыклад, ''градыент канцэнтрацыі''
Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.
Радок 72:
: <math>\gamma(h)=\{(x_1,\ldots,x_n) : \varphi(x_1,\ldots,x_n)=h\}.</math>
Няцяжка паказаць, што градыент функцыі <math>\varphi</math> у кропцы <math>\vec{x}^0</math> перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі <math>\vec{x}^0</math>, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці
== Сувязь з вытворнаю па напрамку ==
Радок 80:
: <math> \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\vec e) </math>
Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога
== Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах ==
: <math>\operatorname{grad} U(q_1,q_2,q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,</math>
дзе <math>H_i</math>
=== Палярныя каардынаты (на плоскасці) ===
Радок 120:
* [[Формулы вектарнага аналізу]]
* [[Аператар набла]]
* [[
* [[Градыент канцэнтрацыі]]
* [[4-градыент]]
Радок 126:
== Літаратура ==
* Дубровин Б. А., Новиков С. П.,
{{Дыферэнцыяльнае злічэнне}}
[[Катэгорыя:Вектары]]
| |||