Адваротная функцыя

Не блытаць з Адваротная велічыня.

Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыя $f$ і яе адваротная функцыя $f^{-1}$. Калі $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f ⁻¹.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне

Функцыя $g:Y\to X$ з'яўляецца адваротнаю да функцыі $f:X\to Y$, калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

• $f(g(y))=y$ для ўсіх $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для ўсіх $x\in X.$

Існаванне

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне $y=f(x)$ адносна $x$. Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да $f$, не існуе. Такім чынам, функцыя $f(x)$ абарачальная на прамежку $(a,b)$ тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі $F(y)$ выразіць $y$ з ураўнення $x-F(y)=0$ можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя $F(y)$ манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, ${\sqrt {x}}$ з'яўляецца адваротнаю да $x^{2}$ на $[0,+\infty )$, хоць на прамежку $(-\infty ,0]$ адваротная функцыя іншая: $-{\sqrt {x}}$.

Прыклады

• Калі $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$, дзе $a>0,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
• Калі $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$, дзе $a,b\in \mathbb {R}$ вызначаныя пастаянныя і $a\neq 0$, то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
• Калі $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$, то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$

Уласцівасці

• Вобласцю вызначэння $F^{-1}$ з'яўляецца мноства $Y$, а вобласцю значэнняў — мноства $X$.
• Па азначэнню маем:

$y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$

ці

$F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y,$

$F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X,$

або карацей

$F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y},$

$F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X},$

дзе $\circ$ абазначае кампазіцыю функцый, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$ — тоесныя адлюстраванні на $X$ і $Y$ адпаведна.

• Функцыя $F$ з'яўляецца адваротнаю да $F^{-1}$:

$\left(F^{-1}\right)^{-1}=F$.

• Няхай $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$ — біекцыя. Няхай $F^{-1}:Y\to X$ яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый $y=F(x)$ і $y=F^{-1}(x)$ сіметрычныя адносна прамой $y=x$.

Раскладанне ў ступенны рад

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$

дзе каэфіцыенты $A_{k}$ задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

$A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x,\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}.\end{cases}}$

Гл. таксама

• Біектыўнае адлюстраванне
• Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў
• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі